Mathématiques – 2ème Bac Économie & Gestion
Suites numériques

Ce chapitre a pour but de présenter les suites numériques, leurs modes de définition, leurs propriétés de variation et de convergence, ainsi que les suites particulières (arithmétiques et géométriques) et leurs applications économiques.

1. Notion de suite

Une suite numérique est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels : \[ f:\mathbb{N}\to\mathbb{R},\quad n\mapsto u_n \] où \(u_n\) est le nième terme de la suite.
Deux modes de définition :
  • Explicite : chaque terme est donné par une formule : \(u_n=f(n)\).
  • Récurrente : chaque terme est défini à partir du précédent : \(u_{n+1}=g(u_n)\).
Exemples : - \(u_n=2n+3\) (explicite) - \(v_0=1,\ v_{n+1}=2v_n\) (récurrente)

2. Représentation graphique

On représente une suite par les points de coordonnées \((n,u_n)\) dans un repère. On observe ainsi la tendance (croissante, décroissante, oscillante, etc.).

3. Suites arithmétiques

Une suite \((u_n)\) est arithmétique s’il existe un réel \(r\) tel que : \[ u_{n+1}=u_n+r \] \(r\) s’appelle la raison de la suite.
  • Formule explicite : \(u_n=u_0+n\,r\).
  • Somme des n+1 premiers termes : \[ S_n=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}. \]
Exemple : \(u_0=5, r=3 \Rightarrow u_n=5+3n.\) Pour \(n=4\), \(u_4=17\), et \(S_4=\frac{5\times(5+17)}{2}=55.\)

4. Suites géométriques

Une suite \((v_n)\) est géométrique s’il existe \(q\) tel que : \[ v_{n+1}=qv_n \] \(q\) est la raison géométrique.
  • Formule : \(v_n=v_0q^n\).
  • Somme : \(S_n=v_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\), pour \(q\ne1\).
Exemple : \(v_0=1000, q=1.05\Rightarrow v_5=1000(1.05)^5\approx1276.\)

5. Sens de variation

Une suite est :
  • croissante si \(u_{n+1}\ge u_n\)
  • décroissante si \(u_{n+1}\le u_n\)
Si \((u_n)\) est croissante et majorée, elle est convergente. Si elle est décroissante et minorée, elle est convergente aussi.
\(u_{n+1}=\frac{u_n+4}{5}\), \(u_0=0\) ⇒ croissante et bornée par 1, donc \(u_n\to1\).

6. Limites de suites

  • \(u_n\to \ell, v_n\to m\Rightarrow u_n+v_n\to\ell+m\)
  • Si \(|q|<1\), alors \(q^n\to0\)
  • Si \(u_n\) croît sans borne, \(u_n\to+\infty\)
\(u_n=\frac{3n^2+2n+1}{n^2+1}\Rightarrow u_n\to3.\)

7. Suites et raisonnement par récurrence

Pour démontrer une propriété \(P(n)\) :
  1. Initialisation : prouver \(P(0)\) ou \(P(1)\).
  2. Hérédité : montrer \(P(n)\Rightarrow P(n+1)\).
Montrer que \(1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}\) :
  • Init : \(n=1\Rightarrow1=\frac{1\times2}{2}\).
  • Hérédité : supposer \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\), alors \(S_{n+1}=S_n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\).

8. Applications économiques

Intérêts simples : \(C_n=C_0(1+nt)\), progression arithmétique.
Intérêts composés : \(C_n=C_0(1+t)^n\), progression géométrique.
Actualisation : Valeur actuelle \(V=C_n(1+t)^{-n}\).

9. Exercices corrigés (12)

Exercice 1 — Définir la suite

Soit \(u_0=2, u_{n+1}=3u_n+1\). Donner les trois premiers termes.

\(u_1=7, u_2=22, u_3=67.\)
Exercice 2 — Suite arithmétique

\(u_0=10, r=5\). Calculer \(u_6\) et \(S_6\).

\(u_6=40,\ S_6=7(10+40)/2=175.\)
Exercice 3 — Suite géométrique

\(v_0=1000,q=1.02\). Calculer \(v_5\).

\(v_5=1000(1.02)^5=1104.08.\)
Exercice 4 — Monotonicité

\(u_{n+1}=\frac{u_n+2}{3}\), \(u_0=0\). Étudier le sens de variation et la limite.

Croissante, bornée par 1 ⇒ \(u_n\to1.\)
Exercice 5 — Limite géométrique

\(u_n=(0.9)^n\).

\(|0.9|<1\Rightarrow u_n\to0.\)
Exercice 6 — Divergence

\(v_n=2^n\). Limite ?

Diverge vers \(+\infty\).
Exercice 7 — Intérêts simples

Capital 10 000 MAD, taux 4 %, 5 ans.

\(C_5=10\,000(1+5×0.04)=12\,000.\)
Exercice 8 — Intérêts composés

Capital 10 000 MAD, taux 4 %, 5 ans.

\(C_5=10\,000(1.04)^5=12\,166.53.\)
Exercice 9 — Actualisation

Valeur actuelle d’un paiement 5000 MAD dans 3 ans, taux 5 %.

\(V=5000(1.05)^{-3}=4319.\)
Exercice 10 — Récurrence

Prouver que \(2^n\ge n+1\).

Init \(n=0\Rightarrow1\ge1\). Hérédité : \(2^{n+1}=2×2^n\ge2(n+1)\ge n+2.\)
Exercice 11 — Limite rationnelle

\(u_n=\frac{2n+3}{n+1}\).

Diviser par \(n\Rightarrow u_n\to2.\)
Exercice 12 — Étude complète

\(u_n=\frac{3n+1}{n+3}\). Étudier la monotonie et la limite.

\(u_{n+1}-u_n=\frac{8}{(n+4)(n+3)}>0\Rightarrow\) croissante, \(u_n\to3.\)

10. Synthèse — points essentiels

  • Toute suite est une fonction de \(\mathbb N\) vers \(\mathbb R\).
  • Arithmétique : \(u_{n+1}=u_n+r\), géométrique : \(v_{n+1}=qv_n\).
  • Les suites bornées et monotones convergent.
  • En économie : intérêts simples (arithmétiques) et composés (géométriques).