Équations différentielles

1) Rappel : équation différentielle, ordre, solution

Une équation différentielle (ED) est une relation entre une fonction inconnue \(y\) (ou \(f\)) et ses dérivées. On écrit par exemple :

\[ y'(x) = f(x), \qquad y'(x) = a\,y(x)+b, \qquad y'(x)+a(x)\,y(x) = b(x), \dots \]

  • La quantité la plus grande dérivée qui apparaît donne l’ordre de l’équation (ici : ordre 1).
  • Une fonction \(y\) est une solution si elle est dérivable sur l’intervalle étudié et si elle vérifie l’égalité pour tout \(x\) de cet intervalle.
  • Une solution qui vérifie en plus une condition du type \(y(x_0)=y_0\) est une solution particulière du problème de Cauchy : \[ \begin{cases} \text{(ED)} \\ y(x_0)=y_0 \end{cases} \]

Au Bac Sciences Physiques, on travaille surtout avec des équations différentielles linéaires d’ordre 1 à coefficients constants, liées à la physique (radioactivité, circuits RC, refroidissement…).

2) Cas simple : équations du type \(y'(x)=f(x)\)

Si une équation différentielle est de la forme :

\[ y'(x)=f(x), \]

alors toute primitive \(F\) de \(f\) fournit une famille de solutions :

\[ y(x)=F(x)+C,\quad C\in\mathbb{R}. \]

Exemple 1

Résoudre \(y'(x)=2x\).

Une primitive de \(2x\) est \(x^2\). Donc la solution générale est :

\[ y(x)=x^2+C,\quad C\in\mathbb{R}. \]

Si en plus on impose \(y(0)=3\), alors \(3=y(0)=0^2+C\Rightarrow C=3\) et la solution particulière est \(y(x)=x^2+3\).

Exemple 2 (interprétation physique)

On connaît l’accélération constante d’un mobile : \(a(t)=g\) (chute libre sans frottements). On a :

\[ v'(t)=a(t)=g \quad \Rightarrow \quad v(t)=gt+v_0, \]

puis :

\[ x'(t)=v(t)=gt+v_0 \quad \Rightarrow \quad x(t)=\frac{1}{2}gt^2+v_0 t + x_0. \]

On retrouve les formules classiques de la cinématique avec \(x_0=x(0)\), \(v_0=v(0)\).

Ce cas \(y'=f(x)\) est un lien direct avec le chapitre primitives / calcul intégral : résoudre l’ED revient à chercher une primitive.

3) Équations linéaires du 1er ordre à coefficients constants

Une équation différentielle linéaire d’ordre 1 à coefficients constants s’écrit :

\[ y'(x) + a\,y(x) = b \]

où \(a\) et \(b\) sont des constantes réelles (\(a\neq 0\)). C’est le cas le plus fréquent au Bac (modèles d’évolution exponentielle vers un état limite).

Structure des solutions

Pour l’équation :

\[ y'(x)+a\,y(x)=b, \]

  • On commence par résoudre l’équation homogène associée : \[ y'(x)+a\,y(x)=0. \]
  • Puis on cherche une solution particulière de l’équation complète.
  • La solution générale est : \[ y(x)=y_h(x)+y_p(x). \]

3.1) Équation homogène \(y'+a y=0\)

On résout :

\[ y'(x)+a\,y(x)=0 \quad (a\neq 0). \]

On peut écrire :

\[ y'(x)=-a\,y(x) \quad \Rightarrow \quad \frac{y'(x)}{y(x)}=-a. \]

Sur un intervalle où \(y(x)\neq 0\), on intègre :

\[ \int \frac{y'(x)}{y(x)}\,dx = \int -a\,dx \quad \Rightarrow \quad \ln|y(x)|=-ax+C. \]

Donc :

\[ |y(x)|=k\,e^{-ax} \quad \Rightarrow \quad y(x)=C\,e^{-ax},\quad C\in\mathbb{R}. \]

Conclusion : la solution générale de l’équation homogène \(y'+ay=0\) est :

\[ y_h(x)=C\,e^{-ax},\quad C\in\mathbb{R}. \]

3.2) Recherche d’une solution particulière de \(y'+ay=b\)

On cherche une solution particulière constante \(y_p(x)=k\). Alors \(y_p'(x)=0\) et :

\[ 0 + a\,k = b \quad \Rightarrow \quad k=\frac{b}{a}. \]

Donc une solution particulière est :

\[ y_p(x)=\frac{b}{a}. \]

Solution générale de \(y'+ay=b\)

Pour \(a\neq 0\), l’équation :

\[ y'(x)+a\,y(x)=b \]

a pour solution générale :

\[ y(x)=C\,e^{-ax} + \frac{b}{a},\quad C\in\mathbb{R}. \]

Exemple numérique

Résoudre \(y'(x)+2y(x)=6\) puis imposer \(y(0)=1\).

  • Homogène : \(y_h(x)=C\,e^{-2x}\).
  • Particulière constante : \(2k=6\Rightarrow k=3\Rightarrow y_p(x)=3.\)

Solution générale :

\[ y(x)=C\,e^{-2x}+3. \]

Condition initiale : \(y(0)=C+3=1\Rightarrow C=-2\). Donc :

\[ y(x)=-2e^{-2x}+3. \]

Graphiquement, toutes les solutions de \(y'+ay=b\) sont des courbes exponentielles qui se rapprochent de l’asymptote horizontale \(y=\dfrac{b}{a}\) quand \(x\to +\infty\).

4) Cas particulier fondamental : \(y'=k\,y\)

L’équation :

\[ y'(x)=k\,y(x) \]

modélise une croissance (\(k>0\)) ou une décroissance exponentielle (\(k<0\)) : la variation est proportionnelle à la quantité présente.

Solution générale

Pour tout réel \(k\), la solution générale de :

\[ y'(x)=k\,y(x) \]

est :

\[ y(x)=C\,e^{kx},\quad C\in\mathbb{R}. \]

Si on connaît \(y(x_0)=y_0\), alors :

\[ y(x)=y_0\,e^{k(x-x_0)}. \]

Modèle de décroissance (radioactivité, décharge d’un condensateur)

Si \(k<0\), alors \(e^{kx}\to 0\) quand \(x\to +\infty\) et \(y(x)\to 0\). On a une décroissance vers 0.

Décroissance exponentielle \(y(t)=y_0 e^{-kt}\) \(y_0\) t y(t)
Décroissance exponentielle typique : la quantité ne devient jamais négative, mais se rapproche de 0.

Au Bac, ce modèle apparaît dans : radioactivité, décharge d’un condensateur, refroidissement simple, évolution d’une quantité chimique dans certains modèles.

5) Modèle physique type : circuit RC (mise en forme niveau Bac)

Considérons un circuit RC série (résistance \(R\), condensateur \(C\)) alimenté par un générateur de tension constante \(E\). On note \(u_C(t)\) la tension aux bornes du condensateur.

Dans le modèle simplifié (niveau Bac), on montre que l’évolution de \(u_C(t)\) lors de la charge vérifie une équation différentielle du type :

\[ \frac{du_C}{dt} + \frac{1}{RC} u_C(t) = \frac{E}{RC}. \]

C’est une équation linéaire \(y'+ay=b\) avec : \[ y(t)=u_C(t),\quad a=\frac{1}{RC},\quad b=\frac{E}{RC}. \]

Forme de la solution (admis au Bac)

Par ce qu’on a vu au §3, la solution générale est :

\[ u_C(t)=C\,e^{-t/(RC)}+\frac{b}{a}=C\,e^{-t/(RC)}+E. \]

Au début de la charge, \(u_C(0)=0\) (condensateur déchargé), donc :

\[ 0 = C + E \quad \Rightarrow \quad C=-E. \]

La solution particulière du circuit RC est alors :

\[ u_C(t)=E\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr). \]

La constante \(RC\) s’appelle la constante de temps du circuit. Pour \(t=RC\), on a \(u_C(RC)\approx 0{,}63\,E\).

6) Étude qualitative : asymptotes, tendance à l’équilibre

  • Pour \(y'(x)=k\,y(x)\) avec \(k<0\), la fonction est strictement décroissante et tend vers 0.
  • Pour \(y'(x)+a\,y(x)=b\), la solution : \[ y(x)=C\,e^{-ax}+\frac{b}{a} \] tend vers la valeur limite (ou « état d’équilibre ») : \[ \lim_{x\to+\infty} y(x)=\frac{b}{a}. \]
  • Le paramètre \(a\) contrôle la vitesse de convergence : plus \(a\) est grand, plus la convergence est rapide.

Au Bac, on exploite souvent ces modèles pour prévoir une évolution : graphique de \(u_C(t)\), comportement à long terme, stabilité d’un modèle, etc.

7) Exercices Bac (12) — solutions détaillées

Ex.1 — Équation du type \(y'=f(x)\)

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation différentielle : \(y'(x)=3x^2\). Trouver la solution qui vérifie \(y(0)=2\).

Une primitive de \(3x^2\) est \(x^3\), donc \(y(x)=x^3+C\).

Condition \(y(0)=2 \Rightarrow C=2\). Donc : \[ y(x)=x^3+2. \]

Ex.2 — Cinématique et ED simple

Un mobile est soumis à une accélération constante \(a(t)=2\ \text{m·s}^{-2}\). À l’instant \(t=0\), sa vitesse vaut \(v(0)=5\ \text{m·s}^{-1}\).

  1. Écrire l’équation différentielle vérifiée par \(v(t)\).
  2. Résoudre cette ED et donner \(v(t)\).

On a \(v'(t)=a(t)=2\), donc ED : \(v'(t)=2\).

Une primitive de 2 est \(2t\), donc \(v(t)=2t+C\). Condition \(v(0)=5\Rightarrow C=5\). Donc :

\[ v(t)=2t+5. \]

Ex.3 — Homogène \(y'+ay=0\)

Résoudre l’ED \(y'(x)+4y(x)=0\) sur \(\mathbb{R}\).

C’est une équation homogène du type \(y'+ay=0\) avec \(a=4\). On sait que la solution générale est :

\[ y(x)=C\,e^{-4x},\quad C\in\mathbb{R}. \]

Ex.4 — Equation \(y'+ay=b\) et condition initiale

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’ED \(y'(x)+2y(x)=8\) et déterminer la solution qui vérifie \(y(0)=1\).

Homogène : \(y_h(x)=C\,e^{-2x}\).

Particulière constante : \(2k=8\Rightarrow k=4\Rightarrow y_p(x)=4\).

Solution générale : \(y(x)=C\,e^{-2x}+4\).

Condition \(y(0)=1\Rightarrow C+4=1\Rightarrow C=-3\). Donc :

\[ y(x)=-3e^{-2x}+4. \]

Ex.5 — Modèle \(y'=k\,y\) (décroissance)

On considère l’ED \(y'(t)=-0{,}5\,y(t)\), avec \(y(0)=10\).

  1. Donner l’expression de \(y(t)\).
  2. Calculer \(y(2)\).

Solution générale : \(y(t)=C\,e^{-0{,}5 t}\). Condition \(y(0)=10\Rightarrow C=10\). Donc :

\[ y(t)=10\,e^{-0{,}5 t}. \]

Alors : \[ y(2)=10\,e^{-1}\approx 10\times 0{,}367\approx 3{,}67. \]

Ex.6 — Valeur limite d’un modèle \(y'+ay=b\)

On considère \(y'(t)+3y(t)=9\). Sans détailler la résolution, deviner la valeur limite de \(y(t)\) quand \(t\to +\infty\).

On sait que toutes les solutions ont la forme : \[ y(t)=C\,e^{-3t}+\frac{b}{a}=C\,e^{-3t}+3. \]

Quand \(t\to+\infty\), \(e^{-3t}\to 0\). Donc \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}y(t)=3\).

Ex.7 — Circuit RC : forme de la solution

Dans un circuit RC de constante de temps \(\tau=RC\), la tension \(u_C(t)\) vérifie :

\[ \frac{du_C}{dt}+\frac{1}{\tau}u_C(t)=\frac{E}{\tau},\quad u_C(0)=0. \]

En s’aidant de la forme générale \(y(t)=C e^{-t/\tau}+\dfrac{b}{a}\), donner l’expression de \(u_C(t)\).

Ici \(a=\dfrac{1}{\tau}\), \(b=\dfrac{E}{\tau}\). Donc la solution générale est :

\[ u_C(t)=C\,e^{-t/\tau}+\frac{b}{a}=C\,e^{-t/\tau}+E. \]

Condition \(u_C(0)=0\Rightarrow C+E=0\Rightarrow C=-E\). Donc :

\[ u_C(t)=E\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr). \]

Ex.8 — Vérifier qu’une fonction est solution

Montrer que \(y(x)=2e^{-x}+5\) est solution de l’ED \(y'(x)+y(x)=5\).

On calcule \(y'(x)=-2e^{-x}\).

Puis : \[ y'(x)+y(x)=-2e^{-x}+2e^{-x}+5=5. \]

L’égalité \(y'(x)+y(x)=5\) est vérifiée pour tout \(x\). Donc \(y\) est bien solution.

Ex.9 — Problème de Cauchy avec \(y'=k\,y\)

On cherche une fonction \(y\) telle que : \[ y'(x)=4y(x),\quad y(1)=3. \]

Déterminer \(y(x)\).

Solution générale de \(y'=4y\) : \(y(x)=C\,e^{4x}\).

Condition \(y(1)=3\Rightarrow C\,e^{4}=3\Rightarrow C=3e^{-4}\).

Donc : \[ y(x)=3e^{-4}e^{4x}=3e^{4(x-1)}. \]

Ex.10 — Interprétation graphique

Une grandeur \(y(t)\) vérifie une ED linéaire et sa représentation graphique montre une courbe croissante se rapprochant de l’horizontale \(y=5\) quand \(t\to +\infty\).

On sait que l’ED est de la forme \(y'(t)+a y(t)=b\). Que peut-on dire du rapport \(\dfrac{b}{a}\) ?

On sait que \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}y(t)=\dfrac{b}{a}\).

Or la courbe se rapproche de l’horizontale \(y=5\). Donc \(\dfrac{b}{a}=5\).

Ex.11 — Ajuster un modèle

On propose de modéliser une température \(T(t)\) par :

\[ T'(t)+0{,}2\,T(t)=18. \]

La température initiale est \(T(0)=10\). Donner l’expression de \(T(t)\).

Homogène : \(T_h(t)=C\,e^{-0{,}2 t}\).

Particulière constante : \(0{,}2 k=18\Rightarrow k=90\Rightarrow T_p(t)=90.\)

Solution générale : \(T(t)=C\,e^{-0{,}2 t}+90.\)

Condition \(T(0)=10\Rightarrow C+90=10\Rightarrow C=-80\).

Donc : \[ T(t)=-80e^{-0{,}2 t}+90. \]

Ex.12 — Reconnaître le type d’équation

Classer les ED suivantes et indiquer brièvement la méthode adaptée (sans les résoudre) :

  1. \(y'(x)=\cos x\)
  2. \(y'(x)=3y(x)\)
  3. \(y'(x)+5y(x)=10\)
  1. \(y'(x)=\cos x\) : type \(y'=f(x)\). Méthode : primitive de \(\cos x\).
  2. \(y'(x)=3y(x)\) : type \(y'=k\,y\) (croissance exponentielle). Méthode : solutions \(C\,e^{3x}\).
  3. \(y'(x)+5y(x)=10\) : linéaire \(y'+ay=b\). Méthode : homogène \(y'+5y=0\) puis solution particulière constante.

8) Mini-fiche récapitulative

  • \(y'(x)=f(x)\) ⇒ \(y(x)=F(x)+C\) où \(F\) est une primitive de \(f\).
  • \(y'(x)=k\,y(x)\) ⇒ \(y(x)=C\,e^{kx}\) (modèles exponentiels, croissance/décroissance).
  • \(y'(x)+a y(x)=b\) ⇒ \(y(x)=C\,e^{-ax}+\dfrac{b}{a}\).
  • Condition initiale \(y(x_0)=y_0\) ⇒ permet de déterminer \(C\).
  • En physique (Sciences Physiques), ces ED modélisent la radioactivité, les circuits RC, certaines évolutions thermiques, etc.

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