Nombres complexes (Partie 2)

1) Rappel de la Partie 1 & objectifs de cette partie

Dans la Partie 1 (Nombres complexes), tu as normalement vu :

la définition d’un nombre complexe : \(z=a+ib\) avec \(a,b\in\mathbb{R}\) ;
les notions de partie réelle \(\Re(z)=a\) et partie imaginaire \(\Im(z)=b\) ;
la représentation géométrique dans le plan (point \(M(a,b)\) d’affixe \(z\)) ;
les opérations : addition, soustraction, multiplication, conjugaison…

Dans cette Partie 2, on va approfondir :

la notion de module et d’argument d’un complexe ;
la forme trigonométrique \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) ;
le produit, le quotient, les puissances et les racines en forme trigonométrique (formule de Moivre) ;
les applications géométriques : rotations, homothéties, symétries dans le plan complexe ;
des exercices type Bac 2^ème Sciences Physiques.

Réflexe Bac

À chaque fois que tu vois un module \(|z|\) et/ou un argument \(\arg(z)\), pense immédiatement à la forme :

\[ z = |z|\big(\cos\theta + i\sin\theta\big), \] qui simplifie beaucoup les produits, quotients, puissances et racines.

2) Module et argument d’un nombre complexe

Module

Pour \(z=a+ib\), on définit le module de \(z\) par :

\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2}. \]

Géométriquement, c’est la distance entre l’origine \(O(0,0)\) et le point \(M(a,b)\) d’affixe \(z\).

Argument

Si \(z\neq 0\), on appelle argument de \(z\) tout réel \(\theta\) tel que :

\[ \cos\theta = \frac{a}{|z|},\quad \sin\theta = \frac{b}{|z|}. \]

On note parfois \(\theta = \arg(z)\) (défini modulo \(2\pi\)).

Rappels importants

\(z=0 \iff |z|=0\) et dans ce cas l’argument n’est pas défini.
Si \(z\neq 0\), les arguments de \(z\) sont tous les réels de la forme \(\theta + 2k\pi\) avec \(k\in\mathbb{Z}\).
On choisit souvent un argument principal dans un intervalle donné (par exemple \((-\pi,\pi]\)).

Exemples

Pour \(z=3+4i\) : \(|z|=\sqrt{3^2+4^2}=5\). \(\cos\theta = \frac{3}{5}\), \(\sin\theta=\frac{4}{5}\). Un argument possible : \(\theta \approx 0{,}93\) rad.
Pour \(z=-1+i\) : \(|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\). Le point est dans le 2^ème quadrant \(\Rightarrow\) un argument principal est \(\theta=\frac{3\pi}{4}\).

3) Forme trigonométrique d’un complexe non nul

Définition

Si \(z\neq0\), avec \(|z|=r>0\) et un argument \(\theta\), on peut écrire :

\[ z = r(\cos\theta + i\sin\theta). \]

C’est la forme trigonométrique (ou polaire) de \(z\).

Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique

Calculer \(|z| = \sqrt{a^2+b^2}\).
Déterminer un argument \(\theta\) en utilisant \(\cos\theta=\dfrac{a}{|z|}\) et \(\sin\theta=\dfrac{b}{|z|}\), puis le quart de plan (signe de \(a\) et \(b\)).
Écrire \(z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)\).

Exemple détaillé

Écrire \(z=1+i\sqrt{3}\) sous forme trigonométrique.

\(|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=2\).

\(\cos\theta=\dfrac{1}{2}\), \(\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(a>0\), \(b>0\) \(\Rightarrow\) \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\).

Donc : \[ z = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right). \]

4) Produit et quotient en forme trigonométrique

Produit de deux complexes

Soient \(z_1=r_1(\cos\alpha + i\sin\alpha)\) et \(z_2=r_2(\cos\beta + i\sin\beta)\) avec \(r_1,r_2>0\).

Alors : \[ z_1z_2 = r_1r_2\big(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\big). \]

Interprétation : on multiplie les modules et on additionne les arguments.

Quotient de deux complexes non nuls

Si \(z_2\neq0\) : \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\big(\cos(\alpha-\beta)+i\sin(\alpha-\beta)\big). \]

On divise les modules et on soustrait les arguments.

Exemple

Soient \(z_1=2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\) et \(z_2=3\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)\).

\(z_1z_2 = 6\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right)\right) = 6\left(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\right).\)

\(\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{2}{3}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)\right) = \dfrac{2}{3}\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right).\)

5) Puissances entières : formule de Moivre

Formule de Moivre

Pour tout entier relatif \(n\) et tout réel \(\theta\) :

\[ (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta). \]

Cas d’un complexe général

Si \(z=r(\cos\theta + i\sin\theta)\) avec \(r>0\) et \(n\in\mathbb{Z}\) :

\[ z^n = r^n\big(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\big). \]

Exemple

Calculer \(z^4\) pour \(z=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\).

\(z^4 = (\sqrt{2})^4\big(\cos(4\cdot\frac{\pi}{4})+i\sin(4\cdot\frac{\pi}{4})\big)=4(\cos\pi + i\sin\pi)=4(-1+0i)=-4.\)

On retrouve que \(z^4=-4\), réel négatif.

6) Racines \(n\)-ièmes d’un nombre complexe

Problème posé

Soit \(w\) un nombre complexe non nul. On cherche tous les complexes \(z\) tels que :

\[ z^n = w, \] avec \(n\in\mathbb{N}^{\ast}\).

Résultat (cas général)

On écrit \(w\) sous forme trigonométrique : \[ w = R\big(\cos\varphi + i\sin\varphi\big),\quad R=|w|>0. \]

Les solutions \(z\) de \(z^n=w\) sont alors :

\[ z_k = \sqrt[n]{R}\Big(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n} + i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\Big),\quad k=0,1,\dots,n-1. \]

On obtient exactement \(n\) racines, réparties régulièrement sur un cercle.

Exemple : racines carrées de \(-4\)

D’abord, \(-4 = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\).

On cherche \(z\) tel que \(z^2=-4\). Ici, \(R=4\), \(\varphi=\pi\), \(n=2\).

Les solutions sont : \[ z_k = \sqrt{4}\Big(\cos\frac{\pi+2k\pi}{2} + i\sin\frac{\pi+2k\pi}{2}\Big), \quad k=0,1. \]

Pour \(k=0\) : \(z_0=2\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=2i.\)
Pour \(k=1\) : \(z_1=2\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)=-2i.\)

Donc \(z^2=-4\iff z=\pm 2i\).

7) Interprétations géométriques (rotations, homothéties)

Affixe d’un point

À tout point \(M(x,y)\) du plan, on associe un unique complexe \(z=x+iy\) appelé affixe de \(M\). Réciproquement, tout complexe correspond à un point.

Multiplication par un réel \(k>0\)

Si on remplace \(z\) par \(kz\) avec \(k\in\mathbb{R}^{+}\) :

on multiplie le module par \(k\) : \(|kz| = k|z|\) ;
l’argument ne change pas.

Géométriquement : c’est une homothétie de centre O et de rapport \(k\).

Multiplication par \(\cos\alpha + i\sin\alpha\)

Si on remplace \(z\) par \((\cos\alpha+i\sin\alpha)\,z\) :

le module ne change pas ;
on ajoute \(\alpha\) à l’argument.

Géométriquement : c’est une rotation de centre O et d’angle \(\alpha\).

Exemple

Multiplier par \(2\) : homothétie de rapport 2 (les points s’éloignent deux fois plus de l’origine).
Multiplier par \(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\) : rotation de centre O et d’angle \(\frac{\pi}{3}\).
Multiplier par \(-1 = \cos\pi + i\sin\pi\) : rotation de \(\pi\) (demi-tour).

8) Résolution d’équations du type \(z^n = a\)

Beaucoup de problèmes se ramènent à résoudre \(z^n=a\) avec \(a\in\mathbb{C}\) (souvent réel). La stratégie est toujours :

mettre \(a\) sous forme trigonométrique \(R(\cos\varphi + i\sin\varphi)\) ;
appliquer la formule des racines \(n\)-ièmes ;
interpréter éventuellement sur un cercle dans le plan complexe.

Exemple type Bac

Résoudre \(z^3 = 8\).

On écrit \(8=8(\cos0 + i\sin0)\). On cherche les racines cubiques :

\[ z_k = \sqrt[3]{8}\Big(\cos\frac{0+2k\pi}{3} + i\sin\frac{0+2k\pi}{3}\Big) = 2\Big(\cos\frac{2k\pi}{3} + i\sin\frac{2k\pi}{3}\Big), \] pour \(k=0,1,2\).

\(k=0\) : \(z_0 = 2\).
\(k=1\) : \(z_1 = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right) = 2\left(-\frac12 + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1 + i\sqrt{3}.\)
\(k=2\) : \(z_2 = 2\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right) = 2\left(-\frac12 - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1 - i\sqrt{3}.\)

Les solutions sont donc : \(z\in\left\{2,\,-1+i\sqrt{3},\,-1-i\sqrt{3}\right\}.\)

9) Exercices Bac (12) — solutions détaillées

Ex.1 — Module & argument

Déterminer le module et un argument de \(z=-3+3\sqrt{3}i\).

\(|z|=\sqrt{(-3)^2+(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6.\)

\(\cos\theta=\dfrac{-3}{6}=-\dfrac12\), \(\sin\theta=\dfrac{3\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Ceci correspond à \(\theta=\dfrac{2\pi}{3}\) (2^ème quadrant : cos négatif, sin positif).

Donc \(|z|=6\) et un argument possible est \(\dfrac{2\pi}{3}\).

Ex.2 — Forme trigonométrique

Écrire \(z=-1-i\) sous forme trigonométrique.

\(|z|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.\)

Le point est dans le 3^ème quadrant (\(a<0\), \(b<0\)).

On reconnaît \(\cos\theta=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\), \(\sin\theta=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\) \(\Rightarrow \theta=-\dfrac{3\pi}{4}\) (ou \(\dfrac{5\pi}{4}\)).

Donc : \[ z = \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right). \]

Ex.3 — Produit en forme trigonométrique

Soient \(z_1=4\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)\) et \(z_2=3\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)\). Calculer \(z_1z_2\).

\(z_1z_2 = 12\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)\right) = 12\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=12i.\)

Ex.4 — Quotient en forme trigonométrique

Avec les mêmes \(z_1\) et \(z_2\), calculer \(\dfrac{z_1}{z_2}\).

\(\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{4}{3}\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}\right)\right) =\dfrac{4}{3}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right).\)

On pourrait aussi écrire \(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{6}\) et \(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\frac{\pi}{6}\).

Ex.5 — Puissance par Moivre

Calculer \(\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)^6\).

Par Moivre : \[ \left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)^6 =\cos\frac{6\pi}{4}+i\sin\frac{6\pi}{4} =\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2} =0-i=-i. \]

Ex.6 — Puissance d’un complexe général

Soit \(z=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)\). Calculer \(z^5\).

\(z^5=2^5\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right)=32\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right).\)

On peut encore exprimer \(\cos\frac{5\pi}{3}=\dfrac12\) et \(\sin\frac{5\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) pour avoir la forme algébrique :

\(z^5=32\left(\dfrac12 - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=16-16\sqrt{3}i.\)

Ex.7 — Racines d’un réel négatif

Trouver les solutions de \(z^4=16\).

Ici \(16=16(\cos0+i\sin0)\). Les racines 4^èmes sont :

\(z_k=\sqrt[4]{16}\Big(\cos\frac{0+2k\pi}{4}+i\sin\frac{0+2k\pi}{4}\Big) =2\Big(\cos\frac{k\pi}{2}+i\sin\frac{k\pi}{2}\Big)\), pour \(k=0,1,2,3\).

\(k=0\) : \(z_0=2\).
\(k=1\) : \(z_1=2i\).
\(k=2\) : \(z_2=-2\).
\(k=3\) : \(z_3=-2i\).

Ex.8 — Racines d’un complexe quelconque

Résoudre \(z^3 = 8i\).

On écrit \(8i = 8\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)\).

Les racines cubiques sont : \[ z_k= \sqrt[3]{8}\Big(\cos\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3} + i\sin\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}\Big) =2\Big(\cos\frac{\pi+4k\pi}{6}+i\sin\frac{\pi+4k\pi}{6}\Big), \] pour \(k=0,1,2\).

\(k=0\) : \(z_0=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}+i.\)
\(k=1\) : \(z_1=2\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)=-\sqrt{3}+i.\)
\(k=2\) : \(z_2=2\left(\cos\frac{9\pi}{6}+i\sin\frac{9\pi}{6}\right)=2\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)=-2i.\)

Ex.9 — Rotation autour de l’origine

On considère le point \(M\) d’affixe \(z=2\). On effectue une rotation de centre O et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\). Donner l’affixe \(z'\) de l’image \(M'\).

La rotation de centre O et d’angle \(\alpha\) correspond à la multiplication par \(\cos\alpha + i\sin\alpha\).

Ici, \(z'=z\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=2i.\)

L’image de \(2\) est donc \(2i\).

Ex.10 — Homothétie & rotation combinées

On envoie un point d’affixe \(z\) sur \(z'=3\,\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{3}}z\). Interpréter cette transformation géométriquement.

Multiplier par \(3\) : homothétie de centre O et de rapport 3.

Multiplier par \(\mathrm{e}^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\) : rotation de centre O et d’angle \(\frac{\pi}{3}\).

La transformation est donc la composition d’une homothétie de rapport 3 et d’une rotation d’angle \(\frac{\pi}{3}\) autour de O.

Ex.11 — Équation \(z^2 + 1 = 0\)

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 + 1 = 0\).

\(z^2+1=0\iff z^2=-1.\)

On sait que \(-1=\cos\pi + i\sin\pi\).

Les racines carrées sont : \[ z_k = \sqrt{1}\Big(\cos\frac{\pi+2k\pi}{2}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{2}\Big),\quad k=0,1. \]

\(k=0\) : \(z_0=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i.\)
\(k=1\) : \(z_1=\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}=-i.\)

Donc \(z=\pm i\).

Ex.12 — Problème global type Bac

Soit \(z=\sqrt{3}-i\).

Donner \(|z|\) et un argument \(\theta\) de \(z\).
Écrire \(z\) sous forme trigonométrique.
Calculer \(z^3\) en forme trigonométrique puis algébrique.

1. \(|z|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}=\sqrt{3+1}=2.\)

\(\cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin\theta=\dfrac{-1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\theta=-\dfrac{\pi}{6}\) (4^ème quadrant).

2. \(z = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right).\)

3. \(z^3 = 2^3\left(\cos\left(3\cdot -\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(3\cdot -\frac{\pi}{6}\right)\right) =8\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right).\)

Or \(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0\), \(\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1\), donc \(z^3=8(0 - i)= -8i.\)

10) Mini-fiche récapitulative

Pour \(z=a+ib\) : \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\), \(\arg(z)=\theta\) tel que \(\cos\theta=\dfrac{a}{|z|}\), \(\sin\theta=\dfrac{b}{|z|}\).
Forme trigonométrique : \(z=|z|\big(\cos\theta + i\sin\theta\big)\) (pour \(z\neq0\)).
Produit/quotient : les modules se multiplient/se divisent, les arguments s’additionnent/se soustraient.
Formule de Moivre : \((\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\).
Racines \(n\)-ièmes : \(z_k = \sqrt[n]{R}\Big(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\Big)\).
Multiplication par un réel positif : homothétie de centre O. Multiplication par \(\cos\alpha + i\sin\alpha\) : rotation de centre O et d’angle \(\alpha\).

Nombres complexes — Partie 2 — 2^ème Bac Sciences Physiques — neobac.ma