الدوال اللوغاريتمية

1) مقدمة: لماذا الدوال اللوغاريتمية ؟

  • تحليل سلوك الدوال (نهايات، رتابة، تقارب...).
  • حل المعادلات والمتراجحات الأسية.
  • معالجة منحنيات تجريبية في الفيزياء (نمو/اضمحلال، قانون أرينيوس، قانون Beer–Lambert بعد التحويل...).

هذا الدرس يركّز على الدالة \(\ln\) (اللوغاريتم الطبيعي) المعرّفة على \(]0,+\infty[\) وخصائصها الأساسية، مع ربط دائم بالتطبيقات البَكّية.

في الامتحان الوطني، الأسئلة حول \(\ln\) لا تأتي منفردة؛ غالبًا تكون داخل تمارين دراسة دوال، أو في تمارين فيزياء تتطلّب تحويل علاقة أسية إلى علاقة خطية باستعمال \(\ln\).

2) تعريف الدالة اللوغاريتمية الطبيعية ومجال تعريفها

تعريف

تُعرَّف الدالة اللوغاريتمية الطبيعية: \[ \ln : ]0,+\infty[ \longrightarrow \mathbb{R} \] كدالة:

  • متزايدة تمامًا على \(]0,+\infty[\).
  • مستمرة على \(]0,+\infty[\).
  • تحقّق: \[ \ln(1)=0 \quad \text{و} \quad \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\ \text{لكل } a,b>0. \]

مجال التعريف ومجموعة القيم

  • مجال التعريف: \[ \mathcal{D}_{\ln}=]0,+\infty[. \]
  • مجموعة القيم: \[ \text{Im}(\ln)=\mathbb{R}. \] أي أن \(\ln(x)\) يمكن أن يأخذ أي قيمة حقيقية.

مهم جدًا: \(\ln(x)\) غير معرّفة للأعداد السالبة أو الصفر: \[ \ln(x)\ \text{غير معرّفة إذا } x\le0. \] في التمارين، أوّل خطوة هي تحديد الشرط \(x>0\) لكل تعبير يحتوي \(\ln(x)\) أو \(\ln(f(x))\).

3) الخصائص الجبرية الأساسية للدالة اللوغاريتمية

خواص مهمّة (لبّ الدرس)

  • \[ \ln(1)=0,\quad \ln(e)=1. \]
  • \[ \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\quad (a>0,\ b>0). \]
  • \[ \ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)\quad (a>0,\ b>0). \]
  • \[ \ln(a^n)=n\ln(a)\quad (a>0,\ n\in\mathbb{Z}). \]
  • \[ \ln\left(\sqrt[n]{a}\right)=\frac{1}{n}\ln(a)\quad (a>0,\ n\in\mathbb{N}^{\ast}). \]

أمثلة سريعة

  • \[ \ln(5e^2)=\ln(5)+\ln(e^2)=\ln(5)+2. \]
  • \[ \ln\left(\frac{3}{e}\right)=\ln(3)-\ln(e)=\ln(3)-1. \]
  • \[ \ln(\sqrt{a})=\ln(a^{\frac12})=\frac12\ln(a). \]

هذه الخواص ضرورية لتبسيط التعبيرات وللانتقال من أشكال أسية إلى أشكال خطية (خصوصًا في التحليل الفيزيائي للمنحنيات).

4) التمثيل البياني لـ \(\ln(x)\) والسلوك العام

معطيات أساسية عن المنحنى

نرمز لمنحنى الدالة \(\ln\) في معلم متعامد ممنظم بـ \(C_{\ln}\). من أهم خصائصه:

  • يمر بالنقطة \(A(1,0)\) لأن \(\ln(1)=0\).
  • يمر بالنقطة \(B(e,1)\) لأن \(\ln(e)=1\).
  • يوجد على يمين محور الفواصل فقط (لأن \(x>0\)).
  • له فرع غير منتهٍ قريب من محور التراتيب عندما \(x\to0^+\).

رتابة وتقعّر تقريبية

  • \(\ln(x)\) متزايدة تمامًا على \(]0,+\infty[\).
  • المنحنى يكون مقعّرًا نحو الأسفل (اشتقاق ثانٍ سالب كما سنرى).

استنتاج عملي: بما أن \(\ln\) متزايدة، فإن: \[ 0<a<b \Rightarrow \ln(a)<\ln(b). \] هذا الاستنتاج يُستعمل كثيرًا لتحويل متراجحات تتضمّن \(\ln\) أو \(\mathrm{e}^x\).

5) النهايات الأساسية للدالة اللوغاريتمية

نهايات أساسية

لدينا: \[ \lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty. \]

سلوك مقارن مع دوال أخرى

  • بالمقارنة مع القوى: \[ \forall n\in\mathbb{N}^{\ast},\quad \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^n}=0. \] أي أن الدوال الحدودية من درجة موجبة تنمو أسرع من \(\ln(x)\).
  • بالمقارنة مع الأسية: \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{\mathrm{e}^x}=0. \] أي أن الدالة الأسية تنمو أسرع بكثير من اللوغاريتمية.

هذه المقارنات مفيدة لتحديد حدود تعابير من نوع: \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x},\quad \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^2},\dots \]

6) اشتقاق الدالة \(\ln(x)\) وترتيبها

الاشتقاق

الدالة \(\ln\) قابلة للاشتقاق على \(]0,+\infty[\)، ومشتقها هو: \[ (\ln(x))'=\frac{1}{x}. \]

نتائج حول الرتابة

بما أن: \[ \frac{1}{x}>0 \quad \text{على } ]0,+\infty[, \] فإن \(\ln(x)\) متزايدة تمامًا على مجال تعريفها.

اشتقاق تركيب مع دالة أخرى

إذا كانت \(f(x)>0\) وقابلة للاشتقاق على مجال معيّن، فإن: \[ (\ln(f(x)))'=\frac{f'(x)}{f(x)}. \]

أمثلة

  • \[ f(x)=\ln(3x)\quad (x>0)\Rightarrow f'(x)=\frac{3}{3x}=\frac1x. \]
  • \[ g(x)=\ln(x^2+1)\Rightarrow g'(x)=\frac{2x}{x^2+1}. \]

7) حلّ معادلات ومتراجحات أسية باستعمال اللوغاريتم

معادلات من الشكل \(\mathrm{e}^u=a\)

إذا كان \(a>0\)، فإن: \[ \mathrm{e}^{u}=a \iff u=\ln(a). \] بشكل عام، إذا كانت: \[ \mathrm{e}^{f(x)}=a, \] فإن الحلول تتحقق من: \[ f(x)=\ln(a), \] مع مراعاة مجال التعريف.

متراجحات من الشكل \(\mathrm{e}^{f(x)}\ \square\ \mathrm{e}^{g(x)}\)

بما أن الدالة \(\mathrm{e}^x\) متزايدة تمامًا، لدينا: \[ \mathrm{e}^{f(x)}\le \mathrm{e}^{g(x)} \iff f(x)\le g(x). \] وبالتالي يمكن استعمال \(\ln\) أيضًا لكتابة: \[ f(x)\le g(x)\iff \mathrm{e}^{f(x)}\le \mathrm{e}^{g(x)}. \]

مثال تطبيقي

حلّ في \(\mathbb{R}\): \[ 3\mathrm{e}^{2x}=15. \] نقسم على 3: \[ \mathrm{e}^{2x}=5. \] إذن: \[ 2x=\ln(5)\Rightarrow x=\frac{\ln(5)}{2}. \]

8) تطبيقات Bac: دراسة دوال وتحليل منحنيات تجريبية

1) دراسة دالة تتضمّن \(\ln\)

لتكن مثلاً: \[ f(x)=x-\ln(x)\quad (x>0). \]

  • مجال التعريف: \(]0,+\infty[\).
  • المشتق: \[ f'(x)=1-\frac1x=\frac{x-1}{x}. \] يتغيّر إشارته عند \(x=1\)، مما يعطي جدول تغيّرات فيه أدنى قيمة للدالة.
هذا النوع من الدوال يظهر بكثرة في الوطني.

2) تحويل علاقة أسية إلى علاقة خطية باللوغاريتم

إذا كان لدينا في الفيزياء علاقة: \[ y=A\mathrm{e}^{kx}, \] نأخذ اللوغاريتم: \[ \ln(y)=\ln(A\mathrm{e}^{kx})=\ln(A)+kx. \] إذن تمثيل \(\ln(y)\) بدلالة \(x\) يعطي خطًا مستقيمًا معامل توجيهه \(k\) ومرتبة أصله \(\ln(A)\). هذا يُستعمل مثلاً في قانون أرينيوس: \[ k(T)=k_0\mathrm{e}^{-\frac{E_a}{RT}}. \]

9) تمارين تطبيقية (12 تمرين) مع حلول مفصّلة

التمرين 1 — مجال تعريف تعابير تحتوي \(\ln\)

حدّد مجال تعريف كل دالة مما يلي:

  1. \(f(x)=\ln(x-1)\).
  2. \(g(x)=\ln(2x+3)\).
  3. \(h(x)=\ln\left(\dfrac{x}{x+2}\right)\).

1) يجب أن يكون: \[ x-1>0\Rightarrow x>1. \] إذن: \[ \mathcal{D}_f=]1,+\infty[. \]

2) يجب أن يكون: \[ 2x+3>0\Rightarrow x>-\frac{3}{2}. \] إذن: \[ \mathcal{D}_g=]\!-\frac{3}{2},+\infty[. \]

3) يجب أن يكون: \[ \frac{x}{x+2}>0. \] ندرس إشارة الكسر:

  • البسط \(x\) يغيّر إشارته عند 0.
  • المقام \(x+2\) يغيّر إشارته عند \(-2\).
جدول الإشارة يعطي: \[ \frac{x}{x+2}>0\iff x\in]-\infty,-2[ \cup ]0,+\infty[. \] كما أن \(x\neq-2\) لتفادي قسمة على الصفر. إذن: \[ \mathcal{D}_h=]-\infty,-2[\cup]0,+\infty[. \]

التمرين 2 — تبسيط تعابير باستعمال خواص \(\ln\)

بسّط ما يلي قدر الإمكان:

  1. \(\ln(3e^2)\).
  2. \(\ln\left(\dfrac{5}{e^3}\right)\).
  3. \(\ln(\sqrt{a})-\dfrac12\ln(a)\) حيث \(a>0\).

1) \[ \ln(3e^2)=\ln(3)+\ln(e^2)=\ln(3)+2. \]

2) \[ \ln\left(\dfrac{5}{e^3}\right)=\ln(5)-\ln(e^3)=\ln(5)-3. \]

3) \[ \ln(\sqrt{a})=\ln(a^{1/2})=\frac12\ln(a). \] إذن: \[ \ln(\sqrt{a})-\frac12\ln(a)=\frac12\ln(a)-\frac12\ln(a)=0. \]

التمرين 3 — اشتقاق دوال لوغاريتمية بسيطة

احسب مشتق كل دالة:

  1. \(f(x)=\ln(x)\) على \(]0,+\infty[\).
  2. \(g(x)=\ln(4x)\) على \(]0,+\infty[\).
  3. \(h(x)=\ln(x^2+1)\) على \(\mathbb{R}\).

1) \[ f'(x)=\frac{1}{x}. \]

2) نكتب: \[ g(x)=\ln(4x)=\ln(4)+\ln(x). \] مشتق \(\ln(4)\) هو 0، ومشتق \(\ln(x)\) هو \(\frac1x\)، إذن: \[ g'(x)=\frac1x. \]

3) باستعمال قاعدة التركيب: \[ h'(x)=\frac{(x^2+1)'}{x^2+1}=\frac{2x}{x^2+1}. \]

التمرين 4 — دراسة تغيّرات دالة تحتوي \(\ln\)

لتكن الدالة: \[ f(x)=\ln(x)-x+1 \quad (x>0). \] 1) احسب \(f'(x)\). 2) ادرس إشارة \(f'(x)\). 3) استنتج جدول تغيّرات \(f\).

1) \[ f'(x)=\frac1x-1=\frac{1-x}{x}. \]

2) إشارة \(f'(x)\) هي إشارة \(\dfrac{1-x}{x}\). بالنسبة لـ \(x>0\)، إشارة الكسر هي إشارة البسط \(1-x\):

  • \(1-x>0\iff x<1\) ⇒ \(f'(x)>0\).
  • \(1-x<0\iff x>1\) ⇒ \(f'(x)<0\).

3) إذن:

  • \(f\) متزايدة على \(]0,1]\).
  • \(f\) متناقصة على \([1,+\infty[\).
عند \(x=1\): \[ f(1)=\ln(1)-1+1=0. \] إذن \(x=1\) يعطي قيمة عظمى للدالة.

التمرين 5 — معادلة أسية بسيطة

حلّ في \(\mathbb{R}\): \[ 5\mathrm{e}^{2x}=20. \]

نقسم على 5: \[ \mathrm{e}^{2x}=4. \] نأخذ \(\ln\) للطرفين: \[ 2x=\ln(4)\Rightarrow x=\frac{\ln(4)}{2}. \]

التمرين 6 — معادلة من الشكل \(\mathrm{e}^{f(x)}=g(x)\)

حل في \(\mathbb{R}\): \[ \mathrm{e}^{x+1}=7. \]

نكتب: \[ \mathrm{e}^{x+1}=7\iff x+1=\ln(7)\iff x=\ln(7)-1. \]

التمرين 7 — متراجحة أسية

حل في \(\mathbb{R}\): \[ \mathrm{e}^{2x}\le \mathrm{e}^{x+1}. \]

بما أن \(\mathrm{e}^x\) متزايدة تمامًا، فإن: \[ \mathrm{e}^{2x}\le \mathrm{e}^{x+1}\iff 2x\le x+1. \] أي: \[ 2x-x\le1\Rightarrow x\le1. \] إذن مجموعة حلول المتراجحة هي: \[ S=(-\infty,1]. \]

التمرين 8 — علاقة من نوع \(y=A\mathrm{e}^{kx}\)

تُعطى علاقة فيزيائية: \[ y=A\mathrm{e}^{kx} \] حيث \(A>0\) و\(k\) عدد حقيقي. 1) بيّن أن: \[ \ln(y)=kx+\ln(A). \] 2) ماذا يمثّل تمثيل \(\ln(y)\) بدلالة \(x\)؟

1) \[ \ln(y)=\ln(A\mathrm{e}^{kx})=\ln(A)+\ln(\mathrm{e}^{kx})=\ln(A)+kx. \]

2) العلاقة: \[ \ln(y)=kx+\ln(A) \] هي معادلة مستقيم في المعلم \((x,\ln(y))\) معامل توجيهه \(k\) ومرتبة أصله \(\ln(A)\). إذن بتمثيل \(\ln(y)\) بدلالة \(x\) نحصل على خط مستقيم يساعد في تحديد \(k\) و\(A\) انطلاقًا من التجربة.

التمرين 9 — نهاية تتضمّن \(\ln\)

احسب: \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x}. \]

نعلم أن: \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^n}=0\quad \text{لكل } n\ge1. \] بأخذ \(n=1\)، نحصل على: \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0. \]

التمرين 10 — حل معادلة \(\ln\)

حل في المجال \(]0,+\infty[\): \[ \ln(x)=2. \]

نطبّق الدالة الأسية \(\mathrm{e}^x\) للطرفين: \[ \ln(x)=2 \iff x=\mathrm{e}^2. \] لأن \(\mathrm{e}^x\) عكسية لـ \(\ln(x)\) على \(]0,+\infty[\).

التمرين 11 — دراسة دالة بسيطة باستعمال \(\ln\)

لتكن: \[ f(x)=x\ln(x)\quad (x>0). \] 1) احسب \(f'(x)\). 2) ادرس إشارة \(f'(x)\). 3) استنتج رتابة \(f\) على \(]0,+\infty[\).

1) باستعمال جداء دالتين: \[ f'(x)=\ln(x)+x\cdot\frac1x=\ln(x)+1. \]

2) إشارة \(f'(x)\) هي إشارة \(\ln(x)+1\): \[ \ln(x)+1>0\iff \ln(x)>-1\iff x>\mathrm{e}^{-1}=\frac1e. \] إذن:

  • بالنسبة لـ \(0<x<\frac1e\): \(\ln(x)<-1\Rightarrow f'(x)<0\).
  • بالنسبة لـ \(x>\frac1e\): \(\ln(x)>-1\Rightarrow f'(x)>0\).

3) إذن:

  • \(f\) متناقصة على \(]0,\frac1e]\).
  • \(f\) متزايدة على \([\frac1e,+\infty[\).

التمرين 12 — تمرين شامل في التحويل اللوغاريتمي

في تجربة فيزيائية، نحصل على علاقة بين ثابت السرعة \(k\) ودرجة الحرارة \(T\) (قانون أرينيوس): \[ k(T)=k_0\mathrm{e}^{-\frac{E_a}{RT}}, \] حيث \(k_0,E_a,R\) ثوابت موجبة. 1) خذ \(\ln\) للطرفين واستنتج تعبير \(\ln(k)\) بدلالة \(\frac1T\). 2) بيّن أن تمثيل \(\ln(k)\) بدلالة \(\frac1T\) يعطي مستقيمًا، واذكر معامل توجيهه ومرتبة أصله.

1) \[ \ln(k)=\ln\left(k_0\mathrm{e}^{-\frac{E_a}{RT}}\right)=\ln(k_0)+\ln\left(\mathrm{e}^{-\frac{E_a}{RT}}\right) =\ln(k_0)-\frac{E_a}{RT}. \] نكتب: \[ \ln(k)=-\frac{E_a}{R}\cdot\frac1T+\ln(k_0). \]

2) هذه العلاقة من الشكل: \[ \ln(k)=a\cdot X+b \] مع: \[ X=\frac1T,\quad a=-\frac{E_a}{R},\quad b=\ln(k_0). \] إذن تمثيل \(\ln(k)\) بدلالة \(\frac1T\) يعطي مستقيمًا معامل توجيهه \(-\dfrac{E_a}{R}\) ومرتبة أصله \(\ln(k_0)\). من ميل المستقيم يمكن حساب \(E_a\).

10) خلاصة — الدوال اللوغاريتمية (2 باك علوم فيزيائية)

  • الدالة \(\ln(x)\) معرّفة فقط على \(]0,+\infty[\) وقيمها في \(\mathbb{R}\).
  • خواص أساسية: \(\ln(1)=0\)، \(\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\)، \(\ln(a^n)=n\ln(a)\)...
  • السلوك عند النهايات: \(\ln(x)\to-\infty\) عندما \(x\to0^+\)، و\(\ln(x)\to+\infty\) عندما \(x\to+\infty\).
  • الاشتقاق: \((\ln(x))'=\dfrac1x\) ⇒ \(\ln\) متزايدة تمامًا على \(]0,+\infty[\).
  • إذا كانت \(f(x)>0\)، فإن \((\ln(f(x)))'=\dfrac{f'(x)}{f(x)}\).
  • لحل معادلات من الشكل \(\mathrm{e}^{f(x)}=a\) نستعمل: \(f(x)=\ln(a)\).
  • استعمالات في الفيزياء: تحويل علاقات أسية إلى شكل خطّي باستعمال \(\ln\) (قانون أرينيوس، نماذج نمو/اضمحلال...).

2 باك علوم فيزيائية — الدوال اللوغاريتمية — neobac.ma