المتتاليات العددية
1) مقدمة: لماذا ندرس المتتاليات العددية؟
- مثال فيزيائي: درجة حرارة جسم بعد كل دقيقة من التبريد في حمام ثلجي ⇒ نستطيع نمذجتها بمتتالية \((T_n)\).
- مثال اقتصادي بسيط: رأس مال بعد كل سنة مع فائدة ثابتة ⇒ متتالية هندسية.
- في هذا المحور نركّز على: التعريف، طرق التمثيل، المتتاليات الحسابية والهندسية، الرتابة، التقييد، والتقارب.
في الامتحان، الأهم هو: فهم التعاريف، القدرة على استعمال الصيغ، ومعرفة طريقة البرهان بالترجع (الاستقراء الرياضي).
2) تعريف المتتالية وتمثيلها
تعريف عام
متتالية عددية هي تعيين يربط بكل عدد طبيعي \(n\) عددًا حقيقيًا \(u_n\). نكتب:
\[ n \longmapsto u_n,\quad n\in\mathbb{N}\ \text{أو}\ \mathbb{N}_k \]
نرمز إلى المتتالية بالرمز \((u_n)\) أو \((u_n)_{n\geq k}\)، حيث \(k\) هو الرتبة الأولى (أحيانًا 0 وأحيانًا 1).
طرق تعريف المتتالية
- تعريف صريح (direct): نعطي تعبيرًا عامًا للحد \(u_n\) بدلالة \(n\). مثال: \(u_n=2n+3\).
- تعريف بالتراجع (récurrence): نعطي قيمة أولية \(u_0\) أو \(u_1\) وعلاقة تربط \(u_{n+1}\) بـ\(u_n\). مثال: \(u_0=1\) و\(u_{n+1}=2u_n+1\).
تمثيل بياني
يمكن تمثيل المتتالية \((u_n)\) بنقط في المستوى، حيث نضع على المحور الأفقي \(n\) وعلى المحور العمودي \(u_n\). مثلًا، إذا كان \(u_n=2n+1\)، فإن النقط \((0,1)\)، \((1,3)\)، \((2,5)\)… تنتمي إلى خط مستقيم.
3) المتتاليات الحسابية (Suite Arithmétique)
تعريف
متتالية \((u_n)\) تُسمّى حسابية إذا كان الفرق بين حدين متتاليين ثابتًا:
\[ \exists r\in\mathbb{R},\ \forall n,\ u_{n+1}=u_n+r. \]
العدد \(r\) يسمى أساس المتتالية الحسابية.
تعبير الحد العام
إذا كانت \((u_n)\) متتالية حسابية أساسها \(r\) وحدها الأول \(u_0\)، فإن:
\[ \forall n\in\mathbb{N},\quad u_n=u_0+nr. \]
واذا كان الحد الأول المعطى هو \(u_1\)، فنحصل على:
\[ \forall n\geq1,\quad u_n=u_1+(n-1)r. \]
مثال
لتكن متتالية حسابية أساسها \(r=3\) وحدها الأول \(u_0=2\). إذن: \[ u_n=2+3n. \] قيم بعض الحدود: \(u_0=2\)، \(u_1=5\)، \(u_2=8\)، \(u_3=11\)…
مجموع أول \(n+1\) حد متتاليات حسابية (معرفة فقط)
كثيرًا ما يستعمل مجموع أول \(n+1\) حد لمتتالية حسابية:
\[ S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}. \]
فكرة: هو متوسط الحدين الأول والأخير مضروب في عدد الحدود.
4) المتتاليات الهندسية (Suite Géométrique)
تعريف
متتالية \((u_n)\) تُسمّى هندسية إذا كانت نسبة حدين متتاليين ثابتة:
\[ \exists q\in\mathbb{R},\ \forall n,\ u_{n+1}=q\,u_n. \]
العدد \(q\) يسمى أساس المتتالية الهندسية.
تعبير الحد العام
إذا كانت \((u_n)\) متتالية هندسية أساسها \(q\) وحدها الأول \(u_0\)، فإن:
\[ \forall n\in\mathbb{N},\quad u_n=u_0\,q^n. \]
وإذا كان الحد الأول المعطى هو \(u_1\)، فنحصل على:
\[ \forall n\geq1,\quad u_n=u_1\,q^{\,n-1}. \]
مثال
لتكن متتالية هندسية أساسها \(q=2\) وحدها الأول \(u_0=3\). إذن: \[ u_n=3\cdot2^n. \] قيم بعض الحدود: \(u_0=3\)، \(u_1=6\)، \(u_2=12\)، \(u_3=24\)…
مجموع أول \(n+1\) حد لمتتالية هندسية (حالة \(q\neq1\))
إذا كانت \((u_n)\) متتالية هندسية أساسها \(q\neq1\) وحدها الأول \(u_0\)، فإن:
\[ S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n =u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}. \]
5) رتابة المتتاليات (Monotonie)
تعريف الرتابة
- \((u_n)\) متزايدة إذا: \[ \forall n,\ u_{n+1}\geq u_n. \]
- \((u_n)\) متناقصة إذا: \[ \forall n,\ u_{n+1}\leq u_n. \]
- إذا كانت غير متزايدة ولا متناقصة ⇒ “بدون رتابة ثابتة”.
معايير عملية للرتابة
لحساب رتابة متتالية معطاة بصيغة صريحة \(u_n=f(n)\)، ندرس إشارة الفرق:
\[ u_{n+1}-u_n. \]
إذا كان \(u_{n+1}-u_n\geq0\) لكل \(n\) من المجال المدروس، فالـمتتالية متزايدة، وهكذا.
حالة المتتالية الحسابية والهندسية
- إذا كانت \((u_n)\) حسابية أساسها \(r\):
- إذا \(r>0\) ⇒ متزايدة.
- إذا \(r<0\) ⇒ متناقصة.
- إذا \(r=0\) ⇒ ثابتة.
- إذا كانت \((u_n)\) هندسية أساسها \(q>0\) وحدها الأول \(u_0>0\):
- إذا \(q>1\) ⇒ متزايدة.
- إذا \(0<q<1\) ⇒ متناقصة.
- إذا \(q=1\) ⇒ ثابتة.
6) التقييد والتقارب وحد المتتالية
متتالية محدودة
نقول إن المتتالية \((u_n)\) محدودة من الأعلى إذا: \[ \exists M\in\mathbb{R},\ \forall n,\ u_n\leq M. \] ومحدودة من الأسفل إذا: \[ \exists m\in\mathbb{R},\ \forall n,\ u_n\geq m. \] وإذا كانت محدودة من الأعلى والأسفل ⇒ محدودة.
تعريف تقارب متتالية (فكرة مبسطة)
نقول إن \((u_n)\) متقاربة نحو عدد حقيقي \(ℓ\) إذا اقتربت حدودها من \(ℓ\) عندما يكبر \(n\). نرمز:
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=ℓ. \]
حالات مهمة لمتتاليات هندسية
لتكن \((u_n)\) متتالية هندسية أساسها \(q\) وحدها الأول \(u_0\).
- إذا \(|q|<1\)، فإن \((u_n)\) متقاربة إلى 0: \[ \lim_{n\to+\infty}u_n=0. \]
- إذا \(q=1\)، فإن \((u_n)\) ثابتة؛ حدّها هو \(u_0\).
- إذا \(|q|>1\) و\(u_0\neq0\)، فإن \(|u_n|\to+\infty\)؛ المتتالية غير متقاربة.
متتالية حسابية:
- إذا كان الأساس \(r\neq0\)، فإن \(|u_n|\to+\infty\) عادةً (لا تتقارب).
- إذا \(r=0\)، فهي ثابتة ومتقاربة نحو \(u_0\).
7) البرهان بالترجع (الاستقراء) في دراسة المتتاليات
الفكرة العامة
البرهان بالترجع تقنية أساسية لإثبات خاصية \(P(n)\) لكل \(n\) أكبر أو يساوي رتبة معينة \(n_0\).
مراحل البرهان بالترجع
- الانطلاقة (Initialisation): نبرهن صحة \(P(n_0)\).
- المرحلة الانتقالية (Hérédité): نفترض صحة \(P(k)\) لرتبة عامة \(k\geq n_0\)، ثم نبرهن صحة \(P(k+1)\).
- نستنتج أن الخاصية صحيحة لكل \(n\geq n_0\).
مثال نوعي
لإثبات أن متتالية \((u_n)\) معرفة بالتراجع متزايدة، نثبت أن: \[ \forall n,\ u_{n+1}\geq u_n. \] غالبًا نستعمل البرهان بالترجع على المتراجحة \(u_{n+1}\geq u_n\).
8) تمارين تطبيقية (12 تمرين) مع حلول مفصلة
التمرين 1 — تعريف متتالية وتمثيلها
نعطي المتتالية \((u_n)\) المعرفة لكل \(n\in\mathbb{N}\) بــ: \[ u_n=2n-1. \] 1) احسب \(u_0,u_1,u_2,u_3\). 2) هل هذه المتتالية معرفة بصيغة صريحة أم بالتراجع؟
1) \[ u_0=2\cdot0-1=-1,\quad u_1=2\cdot1-1=1,\quad u_2=2\cdot2-1=3,\quad u_3=2\cdot3-1=5. \] 2) التعبير يعطي مباشرة \(u_n\) بدلالة \(n\) ⇒ تعريف صريح.
التمرين 2 — متتالية حسابية: الحد العام
لتكن المتتالية الحسابية \((u_n)\) معرفة على \(\mathbb{N}\) بحيث: \[ u_0=4,\quad u_3=13. \] 1) أوجد أساس المتتالية \(r\). 2) استنتج تعبير \(u_n\) بدلالة \(n\).
1) في متتالية حسابية: \[ u_3=u_0+3r\Rightarrow 13=4+3r\Rightarrow 3r=9\Rightarrow r=3. \] 2) إذن: \[ u_n=u_0+nr=4+3n. \]
التمرين 3 — متتالية هندسية: الحد العام
لتكن \((v_n)\) متتالية هندسية معرفة على \(\mathbb{N}\) بحيث: \[ v_0=2,\quad v_1=6. \] 1) أحسب الأساس \(q\). 2) اكتب التعبير العام \(v_n\). 3) أحسب \(v_3\).
1) \[ v_1=qv_0\Rightarrow 6=2q\Rightarrow q=3. \] 2) \[ v_n=v_0\,q^n=2\cdot3^n. \] 3) \[ v_3=2\cdot3^3=2\cdot27=54. \]
التمرين 4 — مجموع متتالية حسابية
لتكن المتتالية الحسابية \((u_n)\) ذات حد أول \(u_0=1\) وأساس \(r=2\). 1) أوجد \(u_n\). 2) أحسب مجموع أول \(10\) حدود: \[ S_9=u_0+u_1+\cdots+u_9. \]
1) \[ u_n=1+2n. \] 2) نحتاج \(u_9=1+2\cdot9=19\). عدد الحدود = \(10\). \[ S_9=\frac{(10)(u_0+u_9)}{2} =\frac{10(1+19)}{2} =5\cdot20=100. \]
التمرين 5 — مجموع متتالية هندسية
لتكن المتتالية الهندسية \((w_n)\) ذات حد أول \(w_0=5\) وأساس \(q=2\). 1) أوجد \(w_n\). 2) أحسب: \[ S_4=w_0+w_1+w_2+w_3+w_4. \]
1) \[ w_n=5\cdot2^n. \] 2) باستعمال صيغة المجموع: \[ S_4=5\frac{1-2^{5}}{1-2} =5\frac{1-32}{-1} =5\cdot31=155. \]
التمرين 6 — رتابة متتالية حسابية
لتكن المتتالية \((u_n)\) حسابية أساسها \(r=-3\). 1) ما نوع رتابة \((u_n)\)؟ 2) علّل جوابك.
1) بما أن \(r<0\) ⇒ المتتالية متناقصة. 2) في متتالية حسابية: \[ u_{n+1}-u_n=r. \] إذا كان \(r<0\)، فهذا الفرق سالب دائمًا ⇒ \(u_{n+1}<u_n\) لكل \(n\).
التمرين 7 — رتابة متتالية هندسية موجبة
لتكن المتتالية الهندسية \((v_n)\) ذات حد أول \(v_0>0\) وأساس \(q\) حيث \(0<q<1\). بيّن أن \((v_n)\) متناقصة.
لدينا: \[ v_{n+1}=qv_n. \] بما أن \(0<q<1\) و\(v_n>0\)، فإن: \[ v_{n+1}=qv_n < v_n. \] إذن \(v_{n+1}<v_n\) لكل \(n\)، فالمتتالية متناقصة.
التمرين 8 — تقارب متتالية هندسية
لتكن المتتالية \((u_n)\) معرفة بــ: \[ u_n=3\left(\frac{1}{2}\right)^n. \] 1) بيّن أنها هندسية وحدد \(u_0\) و\(q\). 2) بيّن أن \((u_n)\) متقاربة وحدد حدها.
1) نلاحظ أن: \[ u_{n+1}=3\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} =\frac{1}{2}\cdot 3\left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{1}{2}u_n. \] إذن هي متتالية هندسية أساسها \(q=\tfrac{1}{2}\) وحدها الأول: \[ u_0=3\left(\frac{1}{2}\right)^0=3. \] 2) بما أن \(|q|=\tfrac{1}{2}<1\)، فإن: \[ \lim_{n\to+\infty}u_n=0. \]
التمرين 9 — دراسة رتابة متتالية معرفة بصيغة صريحة
لتكن المتتالية \((u_n)\) المعرفة لكل \(n\in\mathbb{N}\) بــ: \[ u_n=n^2+1. \] ادرس رتابة \((u_n)\).
نحسب الفرق: \[ u_{n+1}-u_n=(n+1)^2+1-(n^2+1)=n^2+2n+1+1-n^2-1=2n+1. \] بما أن \(n\in\mathbb{N}\)، فإن \(2n+1\geq1>0\) لكل \(n\). إذن \(u_{n+1}-u_n>0\) ⇒ المتتالية متزايدة تمامًا.
التمرين 10 — متتالية معرفة بالتراجع والبرهان بالترجع
لتكن المتتالية \((u_n)\) المعرفة بــ: \[ u_0=1,\quad u_{n+1}=2u_n+1. \] 1) احسب \(u_1,u_2,u_3\). 2) خمّن تعبيرًا لـ\(u_n\). 3) برهن بالتراجع أن: \[ u_n=2^{n+1}-1,\ \forall n\in\mathbb{N}. \]
1) \[ u_1=2\cdot1+1=3,\quad u_2=2\cdot3+1=7,\quad u_3=2\cdot7+1=15. \] 2) نلاحظ: \[ u_0=1=2^1-1,\quad u_1=3=2^2-1,\quad u_2=7=2^3-1,\quad u_3=15=2^4-1. \] إذن نخمن: \[ u_n=2^{n+1}-1. \] 3) بالترجع: • الانطلاقة: لــ \(n=0\): \[ u_0=1,\quad 2^{0+1}-1=2-1=1 \] صحيحة. • المرحلة الانتقالية: نفترض أنه لرتبة \(n\): \[ u_n=2^{n+1}-1. \] نحسب: \[ u_{n+1}=2u_n+1=2(2^{n+1}-1)+1=2^{n+2}-2+1=2^{n+2}-1. \] وهذا يوافق الصيغة المتوقعة لرتبة \(n+1\). إذن بالترجع: \[ \forall n,\ u_n=2^{n+1}-1. \]
التمرين 11 — تقييد متتالية ومتقاربة
لتكن المتتالية \((u_n)\) المعرفة بــ: \[ u_n=1+\frac{1}{n+1},\quad n\in\mathbb{N}. \] 1) بيّن أن \((u_n)\) متناقصة. 2) بيّن أنها محدودة من الأسفل. 3) احسب حدها عندما \(n\to+\infty\).
1) ندرس الفرق: \[ u_{n+1}-u_n =\left(1+\frac{1}{n+2}\right)-\left(1+\frac{1}{n+1}\right) =\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1} =\frac{(n+1)-(n+2)}{(n+1)(n+2)} =-\frac{1}{(n+1)(n+2)}<0. \] إذن المتتالية متناقصة. 2) بما أن \(\dfrac{1}{n+1}>0\)، فإن: \[ u_n=1+\frac{1}{n+1}\geq1. \] إذن هي محدودة من الأسفل بالعدد 1. 3) عند \(n\to+\infty\): \[ \frac{1}{n+1}\to0 \Rightarrow u_n\to1. \]
التمرين 12 — تمرين شامل (حسابية/هندسية/تقارب)
نعتبر المتتالية \((u_n)\) المعرفة بــ: \[ u_0=4,\quad u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+1. \] 1) أحسب \(u_1,u_2\). 2) نقترح أن \((u_n)\) تكتب على الشكل: \[ u_n=a+b\left(\frac{1}{2}\right)^n. \] أوجد \(a\) و\(b\). 3) استنتج حد المتتالية عندما \(n\to+\infty\).
1)
\[
u_1=\frac{1}{2}\cdot4+1=3,\quad
u_2=\frac{1}{2}\cdot3+1=2.5.
\]
2) نكتب:
\[
u_n=a+b\left(\frac{1}{2}\right)^n.
\]
باستعمال العلاقة:
\[
u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+1.
\]
نعوّض:
\[
a+b\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}
=\frac{1}{2}\left(a+b\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)+1.
\]
نبسط:
\[
a+b\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}
=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^n+1.
\]
نكتب \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^n\)، فنقارن المعاملات:
• معامل \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^n\):
\[
b\cdot\frac{1}{2}=\frac{b}{2}\Rightarrow \text{محقق لكل }b.
\]
• الحدود الثابتة:
\[
a=\frac{a}{2}+1\Rightarrow \frac{a}{2}=1\Rightarrow a=2.
\]
كما أن:
\[
u_0=4=a+b\Rightarrow 4=2+b\Rightarrow b=2.
\]
إذن:
\[
u_n=2+2\left(\frac{1}{2}\right)^n.
\]
3) بما أن \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^n\to0\) عندما \(n\to+\infty\)، فإن:
\[
\lim_{n\to+\infty}u_n=2+2\cdot0=2.
\]
9) خلاصة — ما يجب تذكّره حول المتتاليات العددية
- متتالية عددية \((u_n)\) تربط بكل عدد طبيعي \(n\) عددًا حقيقيًا \(u_n\).
- طرق التعريف: صيغة صريحة \(u_n=f(n)\) أو تعريف بالتراجع \(u_{n+1}=g(u_n)\).
- المتتالية الحسابية: \(u_{n+1}=u_n+r\) ⇒ \(u_n=u_0+nr\).
- المتتالية الهندسية: \(u_{n+1}=q\,u_n\) ⇒ \(u_n=u_0\,q^n\).
- الرتابة: ندرس إشارة \(u_{n+1}-u_n\) أو نستعمل خواص خاصة للحسابية/الهندسية.
- التقارب: متتالية هندسية أساسها \(|q|<1\) متقاربة إلى 0؛ المتتالية الحسابية غير متقاربة إلا إذا كان الأساس صفرًا.
- البرهان بالترجع أداة أساسية لإثبات صيغ الحدود العامة والخواص (رتابة، تقييد…).
2 باك علوم فيزيائية — المتتاليات العددية — neobac.ma