حساب الاحتمالات
١) مقدمة: لماذا ندرس حساب الاحتمالات؟
حساب الاحتمالات يهتم بدراسة الظواهر التي لا نستطيع التنبؤ بنتيجتها بدقة قبل حدوثها، لكن يمكننا تقدير درجة إمكانيتها (احتمال وقوعها). في شعبة العلوم الفيزيائية نحتاج الاحتمالات في:
- نموذجية الظواهر الفيزيائية العشوائية (القياس، الأخطاء، الذرات...).
- تحليل تجارب متكررة: سلسلة قياسات، مراقبة جودة، استطلاعات...
- اتخاذ قرارات مبنية على المخاطر: نجاح تجربة، فشل جهاز، إلخ.
في هذا الدرس سنركز على الفضاءات المنتهية (عدد محدود من النتائج) وعلى نموذج برنولي الذي يقود إلى التوزيع الثنائي وهو من أهم التوزيعات في البكالوريا.
٢) تجربة عشوائية، فضاء احتمالي، أحداث
تجربة عشوائية
تجربة عشوائية هي تجربة:
- يمكن إعادتها في نفس الشروط؛
- نعرف كل النتائج الممكنة قبل إنجازها؛
- لكن لا نستطيع التنبؤ مسبقاً بالنتيجة التي ستتحقق.
مثال: رمي قطعة نقد متوازنة؛ رمي حجر نرد؛ سحب بطاقة من مجموعة.
الفضاء العيني (فضاء النتائج)
مجموعة النتائج الممكنة لتجربة عشوائية نرمز لها بـ \(\Omega\) وتسمى الفضاء العيني.
\(\Omega = \{\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_n\}.\)
مثال: عند رمي حجر نرد مرة واحدة: \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.\)
حدث
الحدث هو كل جزء من \(\Omega\). نقول إن الحدث \(A\) يتحقق إذا كانت النتيجة المقابلة للتجربة تنتمي إلى \(A\).
- الحدث المستحيل: \(\varnothing\).
- الحدث المحقق دائماً: \(\Omega\).
- الحدث البسيط: يحتوي عنصراً واحداً فقط.
مثال: في رمي نرد، الحدث “الحصول على عدد زوجي” هو: \(A=\{2,4,6\}\).
٣) عمليات على الأحداث وقواعد الاحتمال الأساسية
عمليات منطقية على الأحداث
- التقاطع \(A\cap B\): الحدث “\(A\) و \(B\) معاً”.
- الاتحاد \(A\cup B\): الحدث “\(A\) أو \(B\) (أو كلاهما)”.
- المتمم \(\overline{A}\): الحدث “عدم تحقق \(A\)”.
- \(A\) و\(B\) متنافيان إذا كان \(A\cap B=\varnothing\).
خصائص الاحتمال (فضاء منته)
نعطي لكل حدث \(A\subset\Omega\) عدداً حقيقياً \(P(A)\) يسمى احتمال الحدث \(A\) بحيث:
- \(0\le P(A)\le1\).
- \(P(\Omega)=1\)، \(P(\varnothing)=0\).
- إذا كان الحدثان \(A,B\) متنافيين: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\).
قواعد مفيدة
- \(P(\overline{A}) = 1-P(A)\).
- \(P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).
- إذا كان \(A\subset B\) فإن \(P(A)\le P(B)\).
٤) الاحتمال على فضاء منته متساوي الاحتمال
الفضاء المتساوي الاحتمال
نقول إن النتائج في \(\Omega\) متساوية الاحتمال إذا كانت لكل نتيجة بسيطة \(\omega\in\Omega\) نفس الاحتمال.
\(\forall\omega\in\Omega,\quad P(\{\omega\})=\dfrac{1}{|\Omega|}.\)
صيغة الاحتمال في فضاء منته متساوي الاحتمال
إذا كان \(\Omega\) فضاء منته مكوَّن من \(n\) نتائج بسيطة متساوية الاحتمال، والحدث \(A\) يتكوَّن من \(k\) نتائج، فإن:
\(P(A)=\dfrac{\text{عدد الحالات الملائمة}}{\text{عدد الحالات الممكنة}} =\dfrac{k}{n}.\)
مثال: رمي نرد
نرمي نرداً عادلاً مرة واحدة. نحسب احتمال الحدث \(A\): “الحصول على عدد أولي”.
النتائج الممكنة: \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\) (عددها \(6\)).
الأعداد الأولية في \(\{1,\dots,6\}\) هي \(2,3,5\)، إذن \(A=\{2,3,5\}\) وعدد عناصره \(3\).
\(P(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.\)
٥) الاحتمال الشرطي والأحداث المستقلة
الاحتمال الشرطي
لتكن \(A,B\) حدثين مع \(P(B)>0\). الاحتمال الشرطي للحدث \(A\) علماً بأن الحدث \(B\) تحقق، يُعرَّف بـ:
\(P_B(A)=P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}.\)
قانون حاصل الضرب
\(P(A\cap B)=P(B)\,P(A\mid B)=P(A)\,P(B\mid A).\)
أحداث مستقلة
نقول إن الحدثين \(A,B\) مستقلان إذا:
\(P(A\cap B)=P(A)\,P(B).\)
في هذه الحالة، إذا كان \(P(B)>0\) فإن \(P(A\mid B)=P(A)\) (معرفة وقوع \(B\) لا يغير احتمال \(A\)).
مثال: صندوق كرات
صندوق يحتوي على \(3\) كرات حمراء و\(2\) كرات زرقاء. نسحب كرة مرة واحدة ونعيدها، ثم نسحب ثانية.
الحدث \(R\): “الحصول على حمراء في السحب الأول”، والحدث \(B\): “الحصول على زرقاء في السحب الثاني”.
بما أن السحب مع الإرجاع، فنتيجتا السحبين مستقلتان، وبالتالي:
\(P(R\cap B)=P(R)P(B)=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{25}.\)
٦) صيغة الاحتمال الكلي وقاعدة بايز
تقسيم الفضاء إلى حالات
لتكن \((B_1,B_2,\dots,B_n)\) عائلة من الأحداث في \(\Omega\) تحقق:
- \(B_i\cap B_j=\varnothing\) إذا \(i\neq j\) (متنافية اثنين اثنين)،
- \(B_1\cup B_2\cup\dots\cup B_n=\Omega\) (تغطي الفضاء).
نقول إن \((B_i)\) تشكِّل تقسيماً للفضاء \(\Omega\).
صيغة الاحتمال الكلي
لكل حدث \(A\) نحصل على:
\(P(A)=\sum_{i=1}^n P(B_i)\,P(A\mid B_i).\)
قاعدة بايز
إذا كانت \(P(B_i)>0\) لكل \(i\)، فإن:
\(P(B_k\mid A)=\dfrac{P(B_k)\,P(A\mid B_k)} {\displaystyle\sum_{i=1}^n P(B_i)\,P(A\mid B_i)}.\)
هذه القاعدة مهمة لتحديث الاحتمالات بعد الحصول على معلومة جديدة (اختبار طبي، تشخيص، إلخ).
مثال مبسط لقاعدة بايز
شركة لها مصنعان \(F_1\) و\(F_2\). ينتج \(F_1\) %\(40\) من الإنتاج، وينتج \(F_2\) %\(60\). نسبة القطع المعيبة: %\(2\) في \(F_1\) و%\(1\) في \(F_2\).
اخترنا قطعة عشوائياً ووجدناها معيبة (الحدث \(D\)). ما احتمال أن تكون صادرة من \(F_1\)؟
\(P(F_1)=0.4,\quad P(F_2)=0.6.\)
P(D\mid F_1)=0.02,\quad P(D\mid F_2)=0.01.
أولاً، نحسب \(P(D)\) (احتمال أن تكون قطعة معيبة):
\(P(D)=0.4\times0.02+0.6\times0.01=0.008+0.006=0.014.\)
ثم نستعمل بايز:
\(P(F_1\mid D)=\dfrac{0.4\times0.02}{0.014}\approx0.571.\)
٧) تجارب برنولي المتتالية والتوزيع الثنائي
تجربة برنولي
تجربة برنولي هي تجربة عشوائية نتيجتها نجاح (S) أو فشل (E) فقط. نكتب:
\(P(S)=p,\quad P(E)=1-p,\quad 0\le p\le1.\)
سلسلة برنولي من الرتبة \(n\)
هي تكرار مستقل لنفس تجربة برنولي عدد \(n\) من المرات. عشوائيًّا نحسب عدد النجاحات في السلسلة.
التوزيع الثنائي \(\mathcal{B}(n,p)\)
إذا كان \(X\) متغيراً عشوائياً يمثل عدد النجاحات في سلسلة برنولي من الرتبة \(n\) واحتمال النجاح في كل تجربة يساوي \(p\)، فإن \(X\) يتبع توزيعاً ثنائياً يرمز له بـ \(\mathcal{B}(n,p)\)، ويُعطى:
\(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k},\quad k=0,1,\dots,n.\)
مثال: نجاح في اختبار
احتمال نجاح تلميذ في مادة معينة هو \(p=0.7\). نختار عشوائياً \(n=5\) تلاميذ مستقلين.
المتغير العشوائي \(X\): “عدد التلاميذ الناجحين من بين الخمسة” يتبع \(X\sim\mathcal{B}(5,0.7)\).
احتمال أن ينجح بالضبط \(k=3\) تلاميذ:
\(P(X=3)=\binom{5}{3} 0.7^3 (0.3)^2 =10\times0.343\times0.09\approx0.3087.\)
٨) قراءة وتمثيل جداول الاحتمالات
في التمارين، يُعطى أحياناً جدول لأحجام أو تواترات أو احتمالات مرتبطة بمتغير عشوائي منتهٍ. يجب التمييز بين:
- القيم الممكنة للمتغير؛
- الاحتمال الموافق لكل قيمة؛
- التحقق أن مجموع الاحتمالات يساوي \(1\).
مثال: جدول توزيع ثنائي
ليكن \(X\sim\mathcal{B}(3,0.4)\). يمكن ملء جدول الاحتمالات كما يلي:
| \(k\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=k)\) | \(\binom{3}{0}0.4^0 0.6^3\) | \(\binom{3}{1}0.4^1 0.6^2\) | \(\binom{3}{2}0.4^2 0.6^1\) | \(\binom{3}{3}0.4^3 0.6^0\) |
٩) تمارين نموذجية مع حلول مفصلة
التمرين ١ — فضاء متساوي الاحتمال
نرمي حجر نرد عادلاً مرتين متتاليتين. نعتبر التجربة المتمثلة في مجموع العددين المحصل عليهما.
١) ما هو الفضاء العيني \(\Omega\) (جميع الأزواج الممكنة)؟ ٢) ما احتمال أن يكون المجموع يساوي \(7\)؟ ٣) ما احتمال أن يكون المجموع أكبر أو يساوي \(10\)؟
١) كل رمية تعطي عدداً من \(1\) إلى \(6\). إذن:
\(\Omega=\{(i,j)\mid 1\le i\le6,\;1\le j\le6\}\) وعدد عناصره \(36\).
٢) المجموع يساوي \(7\) في الحالات: \((1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\) عددها \(6\).
\(P(\text{مجموع }=7)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}.\)
٣) مجموع \(\ge10\) في الحالات:
\(10\): \((4,6),(5,5),(6,4)\) — \(11\): \((5,6),(6,5)\) — \(12\): \((6,6)\) إذن المجموع \(6\) حالات.
\(P(\text{مجموع }\ge10)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}.\)
التمرين ٢ — أحداث ومتمم
نختار عدداً عشوائياً من المجموعة \(\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) مع تساوي الاحتمال.
١) عرّف الحدث \(A\): “العدد زوجي”، والحدث \(B\): “العدد أكبر من \(5\)”. ٢) أحسب \(P(A)\)، \(P(B)\)، \(P(\overline{A})\)، \(P(A\cap B)\)، \(P(A\cup B)\).
\(\Omega\) فيها \(8\) عناصر.
\(A=\{2,4,6,8\}\Rightarrow P(A)=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}.\)
\(B=\{6,7,8\}\Rightarrow P(B)=\dfrac{3}{8}.\)
متمم \(A\): \(\overline{A}=\{1,3,5,7\}\Rightarrow P(\overline{A})=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}=1-P(A).\)
\(A\cap B=\{6,8\}\Rightarrow P(A\cap B)=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}.\)
\(A\cup B=\{2,4,6,7,8\}\Rightarrow P(A\cup B)=\dfrac{5}{8}.\)
يمكن التحقق من العلاقة:
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{8}.\)
التمرين ٣ — احتمال شرطي
في ثانوية، %\(40\) من التلاميذ في الجذع المشترك، و%\(60\) في السنة الثانية بكالوريا. نسبة التلاميذ المتفوقين (معدل ≥ 16) هي %\(10\) في الجذع المشترك و%\(20\) في السنة الثانية.
نختار تلميذاً عشوائياً ونعلم أنه متفوق (الحدث \(E\)). ١) أحسب \(P(E)\). ٢) أحسب \(P(\text{ثانية باك}\mid E)\).
الحدث \(G\): “تلميذ من الجذع المطلِك”، \(T\): “ثانية باك”.
\(P(G)=0.4,\;P(T)=0.6.\)
P(E\mid G)=0.10,\;P(E\mid T)=0.20.
١) باستعمال الاحتمال الكلي:
\(P(E)=0.4\times0.10+0.6\times0.20=0.04+0.12=0.16.\)
٢) باستعمال بايز:
\(P(T\mid E)=\dfrac{P(T)P(E\mid T)}{P(E)} =\dfrac{0.6\times0.20}{0.16}=0.75.\)
التمرين ٤ — استقلالية الأحداث
نرمي قطعة نقد عادلة مرتين. نعرّف الحدث \(A\): “في الرمية الأولى نحصل على وجه” والحدث \(B\): “في الرمية الثانية نحصل على وجه”.
١) مثِّل الفضاء \(\Omega\) واحسب \(P(A)\)، \(P(B)\). ٢) أحسب \(P(A\cap B)\). ٣) هل الحدثان مستقلان؟
\(\Omega=\{(و,و),(و,ن),(ن,و),(ن,ن)\}\) مع \(P(\omega)=\dfrac{1}{4}\) لكل عنصر.
\(A=\{(و,و),(و,ن)\}\Rightarrow P(A)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}.\)
\(B=\{(و,و),(ن,و)\}\Rightarrow P(B)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}.\)
\(A\cap B=\{(و,و)\}\Rightarrow P(A\cap B)=\dfrac{1}{4}.\)
بما أن \(P(A\cap B)=\dfrac{1}{4}=P(A)P(B)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\)، فالحدثان مستقلان.
التمرين ٥ — توزيع ثنائي: احتمال بالضبط k نجاحات
احتمال إصابة هدف في رمية واحدة هو \(0.3\). يرمي لاعب نفس السهم \(n=4\) مرات بشكل مستقل.
١) ما هو توزيع المتغير العشوائي \(X\): “عدد الإصابات”؟ ٢) أحسب \(P(X=2)\). ٣) أحسب احتمال أن يصيب الهدف مرة واحدة على الأكثر.
١) \(X\) يتبع توزيعاً ثنائياً: \(X\sim\mathcal{B}(4,0.3)\).
٢) نحسب:
\(P(X=2)=\binom{4}{2}0.3^2 0.7^2 =6\times0.09\times0.49\approx0.2646.\)
٣) “مرة واحدة على الأكثر” يعني \(X=0\) أو \(X=1\):
\(P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1).\)
\(P(X=0)=\binom{4}{0}0.3^0 0.7^4=0.7^4\approx0.2401.\)
\(P(X=1)=\binom{4}{1}0.3^1 0.7^3 =4\times0.3\times0.343\approx0.4116.\)
\(P(X\le1)\approx0.2401+0.4116\approx0.6517.\)
التمرين ٦ — جدول توزيع ثنائي
ليكن \(X\sim\mathcal{B}(3,p)\) حيث \(p=0.4\). ١) عبّر عن \(P(X=0)\), \(P(X=1)\), \(P(X=2)\), \(P(X=3)\). ٢) تحقق أن مجموع هذه الاحتمالات يساوي \(1\).
\(P(X=0)=\binom{3}{0}0.4^0 0.6^3=0.6^3=0.216.\)
\(P(X=1)=\binom{3}{1}0.4^1 0.6^2 =3\times0.4\times0.36=0.432.\)
\(P(X=2)=\binom{3}{2}0.4^2 0.6^1 =3\times0.16\times0.6=0.288.\)
\(P(X=3)=\binom{3}{3}0.4^3 0.6^0=0.064.\)
المجموع:
\(0.216+0.432+0.288+0.064=1.\)
التمرين ٧ — اختيار إستراتيجية (استعمال بايز)
جهاز إلكتروني يُصنع في مصنعين \(F_1\) و\(F_2\). ينتج \(F_1\) %\(30\) من الأجهزة مع نسبة عطب %\(4\)، وينتج \(F_2\) %\(70\) من الأجهزة مع نسبة عطب %\(1\).
١) ما احتمال أن يكون الجهاز المختار عشوائياً غير معطوب؟ ٢) إذا تبين أن الجهاز معطوب، ما احتمال أن يكون من المصنع \(F_1\)؟
\(P(F_1)=0.3,\;P(F_2)=0.7.\)
P(D\mid F_1)=0.04,\quad P(D\mid F_2)=0.01.
١) نحسب أولاً \(P(D)\):
\(P(D)=0.3\times0.04+0.7\times0.01=0.012+0.007=0.019.\)
إذن احتمال أن يكون غير معطوب:
\(P(\overline{D})=1-P(D)=0.981.\)
٢) بايز:
\(P(F_1\mid D)=\dfrac{0.3\times0.04}{0.019}\approx0.6316.\)
التمرين ٨ — تطبيق شامل (شرطي + ثنائي)
احتمال نجاح طالب في امتحان فيزياء هو \(0.8\) إذا حضر المراجعات، و\(0.4\) إذا لم يحضر. نسبة الطلبة الذين يحضرون المراجعات هي %\(60\).
نختار طالبين عشوائياً ومستقلين. ١) ما احتمال أن يحضر طالب معين المراجعات وينجح؟ ٢) ما احتمال أن ينجح الطالب الأول فقط؟ ٣) ما احتمال أن ينجح على الأقل واحد من الطالبين؟
الحدث \(R\): “الطالب حضر المراجعات”، \(S\): “الطالب نجح”.
\(P(R)=0.6,\;P(\overline{R})=0.4.\)
P(S\mid R)=0.8,\quad P(S\mid\overline{R})=0.4.
١) احتمال أن يحضر المراجعات وينجح هو:
\(P(R\cap S)=P(R)P(S\mid R)=0.6\times0.8=0.48.\)
٢) الطالب الأول ينجح والثاني يفشل. نعتبر \(X\): “نجاح الطالب الأول”، \(Y\): “نجاح الثاني”. نفترض أن سلوك كل طالب مستقل بنفس التوزيع السابق.
أولاً نحسب \(P(S)\) لطالب واحد باستعمال الاحتمال الكلي:
\(P(S)=0.6\times0.8+0.4\times0.4=0.48+0.16=0.64.\)
إذن \(P(\overline{S})=0.36.\) احتمال أن ينجح الأول فقط:
\(P(X=S,\;Y=\overline{S})=P(S)\,P(\overline{S})=0.64\times0.36\approx0.2304.\)
٣) “على الأقل واحد ينجح” = ليس كلاهما راسباً:
\(P(\text{على الأقل واحد ناجح})=1-P(\overline{S})^2 =1-0.36^2=1-0.1296=0.8704.\)