التناقص الإشعاعي
1) تمهيد: الظاهرة الإشعاعية و التناقص الإشعاعي
بعض النوى الذرية غير مستقرة، فتتحوّل تلقائيًا إلى نوى أخرى مع إصدار إشعاعات (α, β, γ). هذه الظاهرة العفوية تُسمى النشاط الإشعاعي، و تتميز بأنها:
- ظاهرة عشوائية على مستوى النواة الواحدة؛
- لكنها قابلة للوصف الحتمي على مجموعة كبيرة من النوى (علاقة رياضية دقيقة)؛
- مرتبطة بثابت خاص بكل نوع من النوى المشعة.
التناقص الإشعاعي هو النقصان التدريجي لعدد النوى المشعة \(N(t)\) مع الزمن، و كذلك تناقص النشاط الإشعاعي \(A(t)\) للعينة.
في برنامج الباك شعبة العلوم الرياضية، الهدف هو إتقان العلاقات الرياضية التي تصف هذا التناقص: قانون التناقص، النشاط، العمر النصفي، و الاستغلال البياني (تمثيل لوغاريتمي).
2) قانون التناقص الإشعاعي لعدد النوى \(N(t)\)
2-1) عدد النوى المشعة و المعادلة التفاضلية
نرمز إلى:
- \(N(t)\): عدد النوى المشعة في الزمن \(t\) داخل العينة.
- \(N_0 = N(0)\): عدد النوى المشعة في اللحظة الابتدائية.
- \(\lambda\): الثابت الإشعاعي (أو ثابت التناقص)، بوحدة \(\text{s}^{-1}\) أو \(\text{h}^{-1}\) حسب الزمن المستعمل.
المعادلة التفاضلية للتناقص الإشعاعي
قانون التناقص الإشعاعي يُكتب على شكل معادلة تفاضلية:
\[ \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda N(t). \]
الإشارة السالبة تعبّر عن أن \(N(t)\) يتناقص مع الزمن.
2-2) حل المعادلة التفاضلية
هذه معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى ذات حلول من الشكل الأسي. بحلّها مع الشرط \(N(0) = N_0\)، نجد:
\[ N(t) = N_0 \, e^{-\lambda t}. \]
إذن عدد النوى المشعة يتناقص أسيًا مع الزمن. عند زيادات متساوية في الزمن، نسبة النقص تبقى ثابتة.
إذا كان \(\lambda = 0.10~\text{h}^{-1}\) و \(N_0 = 8.0\times 10^{20}\) نواة، فإن: \[ N(5~\text{h}) = 8.0\times 10^{20} e^{-0.10\times 5} = 8.0\times 10^{20} e^{-0.5}. \] يمكن تقريب القيمة عدديا عند الحاجة.
3) النشاط الإشعاعي \(A(t)\) و علاقته بـ \(N(t)\)
3-1) تعريف النشاط الإشعاعي
النشاط الإشعاعي لعينة هو عدد التحلّلات الإشعاعية التي تقع في وحدة الزمن. نرمز له بـ \(A(t)\)، و وحدته في النظام الدولي هي البيكيريل (Bq):
\[ 1~\text{Bq} = 1~\text{تحلُّل في الثانية}. \]
3-2) علاقة النشاط بعدد النوى المشعة
بما أن كل تحلّل يوافق اختفاء نواة واحدة مشعة، يمكن ربط النشاط بمشتق \(N(t)\):
\[ A(t) = -\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}. \]
باستعمال المعادلة التفاضلية السابقة:
\[ \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda N(t) \quad \Rightarrow \quad A(t) = \lambda N(t). \]
بتعويض \(N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\):
\[ A(t) = A_0 e^{-\lambda t} \quad \text{حيث} \quad A_0 = \lambda N_0. \]
إذن النشاط الإشعاعي يتناقص أيضًا أسيًا مع الزمن بنفس الثابت \(\lambda\).
4) العمر النصفي و العمر المتوسط
4-1) تعريف العمر النصفي \(T_{1/2}\)
العمر النصفي \(T_{1/2}\) لنظير مشع هو المدة الزمنية اللازمة لكي ينخفض عدد النوى المشعة إلى النصف:
\[ N(T_{1/2}) = \frac{N_0}{2}. \]
4-2) علاقة العمر النصفي بالثابت الإشعاعي
نكتب:
\[ N(T_{1/2}) = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}} = \frac{N_0}{2}. \]
بتبسيط \(N_0\):
\[ e^{-\lambda T_{1/2}} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad -\lambda T_{1/2} = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2. \]
إذن:
\[ T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}. \]
\(\ln 2 \approx 0.693\). كل نظير مشع يمتلك عمرًا نصفيًا خاصًا به (ثوانٍ، ساعات، سنوات…).
4-3) العمر المتوسط \(\tau\)
يُعرَّف العمر المتوسط (أو زمن الحياة المتوسط) للنظير المشع بالعلاقة:
\[ \tau = \frac{1}{\lambda}. \]
العلاقة بين \(T_{1/2}\) و \(\tau\) هي:
\[ T_{1/2} = \tau \ln 2. \]
5) الاستغلال البياني: التمثيل اللوغاريتمي
من قانون التناقص:
\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t}, \]
نأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين:
\[ \ln N(t) = \ln N_0 - \lambda t. \]
هذا يبيّن أن التمثيل المبياني \(\ln N(t)\) بدلالة \(t\) هو مستقيم ميله \(-\lambda\). بالمثل:
\[ \ln A(t) = \ln A_0 - \lambda t. \]
في التمارين، يتم غالبًا إعطاء جدول قيم \(N(t)\) أو \(A(t)\)، و يُطلب:
- حساب \(\ln N\) أو \(\ln A\) لكل قيمة؛
- رسم المستقيم؛
- استنتاج ميله ثم الثابت \(\lambda\) و العمر النصفي \(T_{1/2}\).
6) المردودية النسبية، الوحدات و السلامة الإشعاعية
6-1) المردودية النسبية
أحيانًا يُطلب حساب النسبة المتبقية من النوى المشعة أو النشاط بعد زمن معيّن:
\[ \frac{N(t)}{N_0} = e^{-\lambda t}, \qquad \frac{A(t)}{A_0} = e^{-\lambda t}. \]
أو كتابتها بدلالة العمر النصفي \(T_{1/2}\) باستعمال:
\[ N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}. \]
6-2) الوحدات
- الزمن: ثانية (s)، ساعة (h)، يوم، سنة…
- \(\lambda\): بالعكس (s\(^{-1}\)، h\(^{-1}\)…)، حسب وحدة الزمن.
- النشاط: البيكيريل (Bq) أو الكوري (Ci) في بعض المراجع (خارج البرنامج غالبًا).
6-3) السلامة الإشعاعية (لمستوى الباك)
التعامل مع المواد المشعة يتطلّب احترام صارم لقواعد السلامة:
- استخدام دروع ملائمة (رصاص لإشعاع γ…)
- تقليل زمن التعرض، زيادة المسافة عن المنبع، استعمال الحواجز.
- تخزين و تخلّص منظّم من النفايات المشعة.
7) منهجية حل تمارين التناقص الإشعاعي
- قراءة المعطيات: تحديد \(N_0\) أو \(A_0\)، قيمة \(\lambda\) أو \(T_{1/2}\)، و وحدة الزمن.
- اختيار العلاقة المناسبة:
- \(N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\)،
- أو \(N(t) = N_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}\)،
- أو التمثيل اللوغاريتمي لاستخراج \(\lambda\).
- تحويل الوحدات عند الحاجة (من دقائق إلى ثوانٍ، من ساعات إلى ثوانٍ…).
- تحقيق المستوى الفيزيائي: التحقق أن \(N(t)\) و \(A(t)\) تتناقصان مع الزمن.
- الاستنتاج: كتابة الجواب مع وحدة صحيحة و تقريب منطقي.
8) تمارين تطبيقية (10) مع حلول مفصّلة
تمرين 1 — حساب N(t) من λ
عيّنة من نظير مشع تحتوي في اللحظة \(t=0\) على \(N_0 = 5.0\times 10^{18}\) نواة. ثابت التناقص هو \(\lambda = 2.0\times 10^{-4}~\text{s}^{-1}\). احسب \(N(1000~\text{s})\).
من قانون التناقص: \[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t}. \] عند \(t = 1000~\text{s}\): \[ N(1000) = 5.0\times 10^{18} e^{-2.0\times 10^{-4}\times 1000} = 5.0\times 10^{18} e^{-0.2}. \]
عدديا، \(e^{-0.2} \approx 0.819\)، إذن: \[ N(1000) \approx 5.0\times 10^{18} \times 0.819 \approx 4.10\times 10^{18}. \]
تمرين 2 — حساب النشاط A(t)
لنفس العينة في التمرين السابق، احسب النشاط الإشعاعي \(A(1000~\text{s})\).
لدينا: \[ A(t) = \lambda N(t). \] من التمرين السابق: \( N(1000) \approx 4.10\times 10^{18}. \)
إذن: \[ A(1000) \approx 2.0\times 10^{-4} \times 4.10\times 10^{18} = 8.2\times 10^{14}~\text{Bq}. \]
تمرين 3 — العمر النصفي من λ
نظير مشع له ثابت إشعاعي \(\lambda = 1.5\times 10^{-3}~\text{s}^{-1}\). احسب عمره النصفي \(T_{1/2}\).
نستعمل: \[ T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}. \] بحيث \(\ln 2 \approx 0.693\).
إذن: \[ T_{1/2} = \frac{0.693}{1.5\times 10^{-3}} \approx 4.62\times 10^{2}~\text{s} = 462~\text{s}. \]
تمرين 4 — λ من العمر النصفي
نظير مشع عمره النصفي \(T_{1/2} = 5.0~\text{h}\). احسب ثابت التناقص \(\lambda\) بوحدة \(\text{h}^{-1}\) ثم بوحدة \(\text{s}^{-1}\).
من: \[ \lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{5.0} \approx 0.139~\text{h}^{-1}. \]
لتحويله إلى \(\text{s}^{-1}\)، نعلم أن \(1~\text{h} = 3600~\text{s}\)، إذن: \[ \lambda_{\text{s}^{-1}} = \frac{0.139}{3600} \approx 3.86\times 10^{-5}~\text{s}^{-1}. \]
تمرين 5 — استعمال الصيغة \(N = N_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}\)
عيّنة من نظير مشع لها عمر نصفي \(T_{1/2} = 3.0~\text{days}\) و تحتوي في البداية على \(N_0\) نواة. كم تبقّى من النوى بعد \(t = 9.0~\text{days}\)؟ عبّر عن النتيجة بدلالة \(N_0\).
نكتب: \[ N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}. \] هنا \(t/T_{1/2} = 9/3 = 3\).
إذن: \[ N(9) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{N_0}{8}. \]
تبقّى ثمن العدد الابتدائي من النوى بعد 9 أيام.
تمرين 6 — تحديد الزمن اللازم للوصول إلى نسبة معيّنة
يريد طبيب أن يتأكد من أن نشاط نظير مستعمل في فحص طبي ينخفض إلى \(1\%\) من قيمته الابتدائية قبل مغادرة المريض. عمره النصفي \(T_{1/2} = 6.0~\text{h}\). كم من الوقت يجب أن ينتظر تقريبًا؟
نبحث عن \(t\) بحيث: \[ \frac{A(t)}{A_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}} = 0.01. \] نأخذ اللوغاريتم: \[ \frac{t}{T_{1/2}} \ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln(0.01) = -4.605. \]
وبما أن \(\ln(1/2) = -\ln 2 \approx -0.693\)، فإن: \[ \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{-4.605}{-0.693} \approx 6.65. \]
إذن: \[ t \approx 6.65 \times 6.0~\text{h} \approx 39.9~\text{h} \approx 40~\text{h}. \] أي حوالي يومين تقريبًا.
تمرين 7 — استخراج λ من مستقيم ln A(t)
تمثيل \(\ln A(t)\) بدلالة الزمن \(t\) (بالثواني) أعطى مستقيمًا معادلتُه:
\[ \ln A(t) = 15.2 - 3.0\times 10^{-4} t. \]
استنتج ثابت التناقص \(\lambda\) و عمر النصف \(T_{1/2}\).
بمقارنة مع الصيغة النظرية: \[ \ln A(t) = \ln A_0 - \lambda t, \] نرى أن \(\lambda = 3.0\times 10^{-4}~\text{s}^{-1}\).
ثم: \[ T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0.693}{3.0\times 10^{-4}} \approx 2.31\times 10^{3}~\text{s} \approx 2310~\text{s} \approx 38.5~\text{min}. \]
تمرين 8 — مقارنة نظيرين مشعين
نظيران مشعان A و B لهما نفس العدد الابتدائي من النوى \(N_0\)، لكن: \[ \lambda_A = 2\lambda_B. \] أي النظيرين يتناقص أسرع؟ ما العلاقة بين عمريهما النصفيين؟
بما أن السرعة اللحظية للتناقص متناسبة مع \(\lambda\)، فإن النظير الذي له \(\lambda\) الأكبر يتناقص أسرع. إذن: النظير A يتناقص أسرع من B.
من: \[ T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}, \] نحصل على: \[ T_{1/2,A} = \frac{\ln 2}{\lambda_A},\quad T_{1/2,B} = \frac{\ln 2}{\lambda_B} \] و بما أن \(\lambda_A = 2\lambda_B\)، فإن: \[ T_{1/2,A} = \frac{1}{2} T_{1/2,B}. \]
إذن عمر النصف للنظير A أصغر مرتين من عمر النصف للنظير B.
تمرين 9 — تناقص النشاط إلى الربع
نظير مشع له عمر نصفي \(T_{1/2} = 12~\text{h}\). بعد كم من الزمن ينخفض نشاطه إلى الربع (25%) من قيمته الابتدائية؟
نبحث عن \(t\) بحيث: \[ \frac{A(t)}{A_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}} = \frac{1}{4}. \] و نعلم أن: \[ \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2. \]
إذن: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \Rightarrow \frac{t}{T_{1/2}} = 2 \Rightarrow t = 2 T_{1/2} = 24~\text{h}. \]
تمرين 10 — سؤال كيفي حول السلامة الإشعاعية
يقال إن مادة مشعة لا تُعتبر خطيرة عمليًا بعد مرور حوالي 10 أعمار نصفية. فسّر ذلك باستعمال قانون التناقص، ثم ناقش أهمية هذا في تدبير النفايات المشعة.
بعد \(n\) أعمار نصفية: \[ \frac{N(t)}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^n. \] بالنسبة لـ \(n = 10\): \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{10} \approx \frac{1}{1024} \approx 0.001. \]
إذن بعد 10 أعمار نصفية، يبقى حوالي \(0.1\%\) فقط من النشاط الابتدائي؛ في الكثير من الحالات يصبح الخطر الإشعاعي ضعيفًا جدًا، لكن تدبير النفايات يظل ضروريًا حسب نوع الإشعاع و القانون.
هذا يبرر استعمال مفهوم العمر النصفي في تخطيط تخزين المواد المشعة و تحديد مدة العزل قبل اعتبارها أقل خطورة.
9) خلاصة مركّزة للتناقص الإشعاعي
- التناقص الإشعاعي يُوصف بالمعادلة: \(\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda N\).
- الحل: \(N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\) و \(A(t) = A_0 e^{-\lambda t}\).
- العمر النصفي: \(T_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\)، و العمر المتوسط: \(\tau = \dfrac{1}{\lambda}\).
- التمثيل اللوغاريتمي \(\ln N(t)\) أو \(\ln A(t)\) بدلالة \(t\) يعطي مستقيمًا ميله \(-\lambda\).
- التطبيقات: الطب النووي، التأريخ الإشعاعي، تدبير النفايات المشعة، و السلامة الإشعاعية.
neobac.ma@