النوى والكتلة والطاقة

1) تمهيد: من النواة إلى الطاقة

في هذا الدرس نربط بين بنية النواة (بروتونات + نيوترونات)، والكتلة والطاقة وفق علاقة آينشتاين \(E = mc^2\)، ونفهم كيف ينتج عن ذلك طاقة الربط النووي التي تفسّر استقرار النوى وظواهر الاندماج والانشطار.

هدف باك: أن تكون قادراً على حساب نقص الكتلة \(\Delta m\)، وطاقة الربط \(E_L\)، وطاقة الربط لكل نوكليون، وعلى تفسير ما إذا كان تفاعل نووي محرِّراً أو ماصاً للطاقة.

2) بنية النواة: العدد الذرّي والعدد الكتلي

تعريفات أساسية

  • النواة: جزء صغير جداً من الذرّة، تحتوي على بروتونات (شحنة \(+e\)) ونيوترونات (عديمة الشحنة). مجموعهما يسمّى نوكليونات.
  • العدد الذرّي \(Z\): عدد البروتونات في النواة. يحدّد نوع العنصر الكيميائي.
  • العدد الكتلي \(A\): مجموع البروتونات والنيوترونات: \(A = Z + N\)، حيث \(N\) عدد النيوترونات.
  • يُرمَز للنواة بالصيغة: \({}^{A}_{Z}\mathrm{X}\)، حيث \(\mathrm{X}\) رمز العنصر.

النواة \({}^{16}_{8}\mathrm{O}\): عدد البروتونات \(Z=8\)، عدد النيوترونات \(N = 16-8 = 8\).
النواة \({}^{238}_{92}\mathrm{U}\): \(Z=92\)، \(A=238\)، وبالتالي \(N=238-92=146\).

النظائر (Isotopes)

نظائر عنصر معيّن لها نفس العدد الذرّي \(Z\) (نفس عدد البروتونات) لكن أعداد كتلية مختلفة \(A\) (عدد نيوترونات مختلف).

مثال: نظائر الهيدروجين: \({}^{1}_{1}\mathrm{H}\)، \({}^{2}_{1}\mathrm{H}\) (الديوتيريوم)، \({}^{3}_{1}\mathrm{H}\) (التريتيوم).

3) الكتلة الذرّية ووحدة الكتلة الذرّية

وحدة الكتلة الذرّية u

في الفيزياء النووية نستعمل غالباً وحدة الكتلة الذرّية \(\mathrm{u}\) بدلاً من الكيلوغرام. تُعرَّف تقريباً بـ: \[ 1\,\mathrm{u} \approx 1{,}660\times10^{-27}\,\mathrm{kg} \]

بعض القيم التقريبية المستعملة في تمارين الباك:

الكمّيّة القيمة التقريبية الوحدة
كتلة البروتون \(m_p\) \(1{,}0073\) \(\mathrm{u}\)
كتلة النيوترون \(m_n\) \(1{,}0087\) \(\mathrm{u}\)
كتلة الإلكترون \(m_e\) \(0{,}00055\) \(\mathrm{u}\)
ثابت التحويل \(1\,\mathrm{u}c^2 \approx 931\,\mathrm{MeV}\) طاقة

مهم: في التمارين، إن لم تُعطَ لك قيم أخرى، يمكنك استعمال \(1\,\mathrm{u}c^2 \approx 931\,\mathrm{MeV}\) لتحويل نقص الكتلة إلى طاقة.

4) نقص الكتلة \(\Delta m\) وطاقة الربط النووي

نقص الكتلة

كتلة النواة أصغر من مجموع كتل النوكليونات المكوِّنة لها وهي حرة. الفرق يسمّى نقص الكتلة: \[ \Delta m = Zm_p + Nm_n - m_\text{نواة} \] حيث \(m_\text{نواة}\) الكتلة التجريبية للنواة (بالـ \(\mathrm{u}\)).

إذا كانت \(\Delta m > 0\) فهذا يعني أنّ جزءاً من الكتلة تحوّل إلى طاقة ربط نووي أبقى النوكليونات مرتبطة داخل النواة.

طاقة الربط النووي الكلية وطاقة الربط لكل نوكليون

حسب علاقة آينشتاين: \[ E_L = \Delta m\,c^2 \] وباستعمال \(1\,\mathrm{u}c^2 \approx 931\,\mathrm{MeV}\) نحصل على: \[ E_L(\mathrm{MeV}) \approx \Delta m(\mathrm{u}) \times 931 \]

طاقة الربط لكل نوكليون هي: \[ \varepsilon = \frac{E_L}{A} \] وتُستعمل لقياس درجة استقرار النواة: كلّما كانت \(\varepsilon\) أكبر، كانت النواة أكثر استقراراً.

مثال 1: نواة الهيليوم \({}^{4}_{2}\mathrm{He}\)

معطيات تقريبية: \(m_p = 1{,}0073\,\mathrm{u}\)، \(m_n = 1{,}0087\,\mathrm{u}\)، \(m(\,{}^{4}_{2}\mathrm{He}\,) = 4{,}0015\,\mathrm{u}\).
نحسب نقص الكتلة: \[ \Delta m = 2m_p + 2m_n - m_\text{نواة} \] \[ \Delta m = 2\times1{,}0073 + 2\times1{,}0087 - 4{,}0015 \approx 0{,}0305\,\mathrm{u} \] طاقة الربط الكلية: \[ E_L \approx 0{,}0305 \times 931 \approx 28{,}4\,\mathrm{MeV} \] طاقة الربط لكل نوكليون: \[ \varepsilon \approx \frac{28{,}4}{4} \approx 7{,}1\,\mathrm{MeV/نوكليون} \]

مثال 2: نواة الديوتيريوم \({}^{2}_{1}\mathrm{H}\)

معطيات: \(m_p = 1{,}0073\,\mathrm{u}\)، \(m_n = 1{,}0087\,\mathrm{u}\)، \(m(\,{}^{2}_{1}\mathrm{H}\,) = 2{,}0136\,\mathrm{u}\).
\[ \Delta m = m_p + m_n - m_\text{نواة} = 1{,}0073 + 1{,}0087 - 2{,}0136 \approx 0{,}0024\,\mathrm{u} \] \[ E_L \approx 0{,}0024 \times 931 \approx 2{,}2\,\mathrm{MeV} \] طاقة الربط لكل نوكليون أصغر بكثير من الهيليوم \(\Rightarrow\) نواة أقل استقراراً.

5) منحنى طاقة الربط لكل نوكليون واستقرار النوى

إذا مثّلنا \(\varepsilon = E_L/A\) بدلالة العدد الكتلي \(A\)، نحصل تجريبياً على منحنى يرتفع بسرعة من النوى الخفيفة، يبلغ قيمة قصوى تقريباً حول \(A \approx 56\) (الحديد)، ثم ينقص تدريجياً للنوى الثقيلة جداً.

العدد الكتلي A طاقة الربط لكل نوكليون ε Fe تقريباً نوى ثقيلة نوى خفيفة
الحديد وما حوله يملك أكبر طاقة ربط لكل نوكليون ⇒ نوى شديدة الاستقرار.

نتائج مهمّة من المنحنى

  • نوى خفيفة جداً (مثل \(\mathrm{H}\), \(\mathrm{He}\)) تحتاج إلى الاندماج للوصول إلى قيم أكبر لـ \(\varepsilon\).
  • نوى ثقيلة جداً (مثل \(\mathrm{U}\), \(\mathrm{Pu}\)) يمكن أن تُكسر (انشطار) إلى نوى متوسطة أكثر استقراراً.
  • العمليات التي تزيد من \(\varepsilon\) تؤدي إلى تحرير طاقة.

6) الطاقة في التفاعلات النووية: الاندماج والانشطار

التفاعل النووي والكمية \(Q\)

النوى الابتدائية ⟶ النوى النهائية + طاقة

لتفاعل نووي عام نعرّف: \[ Q = \left( \sum m_i - \sum m_f \right)c^2 \]

  • \(\sum m_i\): مجموع كتل النوى الابتدائية.
  • \(\sum m_f\): مجموع كتل النوى النهائية.
  • إذا كان \(Q > 0\): التفاعل محرِّر للطاقة (إكسو-طاقة).
  • إذا كان \(Q < 0\): التفاعل ماص للطاقة (إندو-طاقة).

الاندماج النووي (Fusion)

هو اجتماع نوى خفيفة (مثل نظائر الهيدروجين) لتشكيل نواة متوسطة (مثل الهيليوم) أكثر استقراراً وبطاقة ربط لكل نوكليون أكبر ⇒ تحرير طاقة كبيرة جداً. هذا ما يحدث في الشمس والنجوم.

الانشطار النووي (Fission)

هو انقسام نواة ثقيلة (مثل \({}^{235}\mathrm{U}\)) إلى نواتج متوسطة الكتلة (مثل \(\mathrm{Ba}\), \(\mathrm{Kr}\)) مع تحرير نيوترونات وطاقة كبيرة؛ تُستغل هذه الظاهرة في المفاعلات النووية.

مثال نوعي

إذا كان مجموع كتل النوى في الحالة الابتدائية أكبر من مجموع كتل النوى في الحالة النهائية، فإن الفرق في الكتلة يتحوّل إلى طاقة تُحسب بالعلاقة: \[ Q = \Delta m c^2 = \left( \sum m_i - \sum m_f \right)c^2 \]

7) منهجية حل تمارين الكتلة والطاقة

  1. كتابة المعطيات بوضوح: قيم الكتل، عدد البروتونات والنيوترونات، \(A\) و\(Z\).
  2. حساب نقص الكتلة بإحدى الصيغ: \[ \Delta m = Zm_p + Nm_n - m_\text{نواة} \quad \text{أو} \quad \Delta m = \sum m_i - \sum m_f \]
  3. تحويل نقص الكتلة إلى طاقة: \[ E = \Delta m c^2 \approx \Delta m(\mathrm{u})\times 931\,\mathrm{MeV} \]
  4. عند الحاجة، احسب طاقة الربط لكل نوكليون \(\varepsilon = E_L/A\) لمقارنة الاستقرار.
  5. فسّر النتيجة: هل التفاعل محرِّر أم ماصّ للطاقة؟ هل النواة المدروسة أكثر أو أقل استقراراً من أخرى؟

8) تمارين تطبيقية (10) مع حلول مفصّلة

تمرين 1 — تحديد \(Z\) و\(A\) وعدد النيوترونات

أعطِ \(Z\)، \(A\) وعدد النيوترونات \(N\) لكل من النوى التالية: \({}^{16}_{8}\mathrm{O}\)، \({}^{56}_{26}\mathrm{Fe}\)، \({}^{235}_{92}\mathrm{U}\).

\({}^{16}_{8}\mathrm{O}\): \(Z=8\)، \(A=16\)، \(N = 16-8=8\).
\({}^{56}_{26}\mathrm{Fe}\): \(Z=26\)، \(A=56\)، \(N=56-26=30\).
\({}^{235}_{92}\mathrm{U}\): \(Z=92\)، \(A=235\)، \(N=235-92=143\).

تمرين 2 — نظائر

بيّن أنّ \({}^{1}_{1}\mathrm{H}\)، \({}^{2}_{1}\mathrm{H}\)، \({}^{3}_{1}\mathrm{H}\) نظائر لنفس العنصر، واذكر ما الذي يختلف بينها.

لكلّ هذه النوى \(Z=1\) ⇒ نفس العنصر (الهيدروجين).
الأعداد الكتلية مختلفة: \(A=1,2,3\) ⇒ عدد النيوترونات يختلف (0، 1، 2). إذن فهي نظائر.

تمرين 3 — نقص الكتلة لطريقة مباشرة

نعتبر النواة \({}^{4}_{2}\mathrm{He}\) بالمعطيات السابقة: \(m_p=1{,}0073\,\mathrm{u}\)، \(m_n=1{,}0087\,\mathrm{u}\)، \(m(\,{}^{4}_{2}\mathrm{He}\,) = 4{,}0015\,\mathrm{u}\).
1) احسب نقص الكتلة \(\Delta m\).
2) احسب طاقة الربط \(E_L\) وطاقة الربط لكل نوكليون.

1) لدينا: \[ \Delta m = 2m_p + 2m_n - m_\text{نواة} \] \[ \Delta m = 2\times1{,}0073 + 2\times1{,}0087 - 4{,}0015 \approx 0{,}0305\,\mathrm{u} \]

2) طاقة الربط: \[ E_L \approx 0{,}0305\times 931 \approx 28{,}4\,\mathrm{MeV} \] طاقة الربط لكل نوكليون: \[ \varepsilon = \frac{28{,}4}{4} \approx 7{,}1\,\mathrm{MeV/نوكليون} \]

تمرين 4 — طاقة الربط لنواة الديوتيريوم

معطيات: \(m_p=1{,}0073\,\mathrm{u}\)، \(m_n=1{,}0087\,\mathrm{u}\)، \(m(\,{}^{2}_{1}\mathrm{H}\,) = 2{,}0136\,\mathrm{u}\).
1) احسب \(\Delta m\).
2) احسب \(E_L\) و \(\varepsilon\). قارن مع نواة الهيليوم.

1) نقص الكتلة: \[ \Delta m = m_p + m_n - m_\text{نواة} = 1{,}0073 + 1{,}0087 - 2{,}0136 \approx 0{,}0024\,\mathrm{u} \]

2) طاقة الربط: \[ E_L \approx 0{,}0024\times 931 \approx 2{,}2\,\mathrm{MeV} \] وطاقة الربط لكل نوكليون: \[ \varepsilon \approx \frac{2{,}2}{2} \approx 1{,}1\,\mathrm{MeV/نوكليون} \] بالمقارنة مع \({}^{4}_{2}\mathrm{He}\) (\(\approx 7{,}1\) MeV/نوكليون)، الديوتيريوم أقل استقراراً.

تمرين 5 — من نقص الكتلة إلى الطاقة بوحدة الجول

نقص الكتلة في تفاعل نووي هو \(\Delta m = 0{,}010\,\mathrm{u}\).
1) احسب الطاقة المحرَّرة \(E\) بالـ MeV.
2) حوّلها إلى جول علماً أن \(1\,\mathrm{eV} = 1{,}6\times10^{-19}\,\mathrm{J}\).

1) بالـ MeV: \[ E(\mathrm{MeV}) \approx 0{,}010 \times 931 \approx 9{,}31\,\mathrm{MeV} \]

2) بالـ eV: \[ 9{,}31\,\mathrm{MeV} = 9{,}31\times10^{6}\,\mathrm{eV} \] وبالجول: \[ E(\mathrm{J}) \approx 9{,}31\times10^{6}\times1{,}6\times10^{-19} \approx 1{,}49\times10^{-12}\,\mathrm{J} \]

تمرين 6 — مقارنة الاستقرار باستعمال \(\varepsilon\)

لدينا نواتان تتميّزان بطاقات ربط لكل نوكليون: \(\varepsilon_1 = 5\,\mathrm{MeV/نوكليون}\)، \(\varepsilon_2 = 8\,\mathrm{MeV/نوكليون}\). أيّ النواتين أكثر استقراراً؟ فَسِّر.

النواة الثانية (\(\varepsilon_2 = 8\)) أكثر استقراراً لأنّ طاقة الربط لكل نوكليون أكبر ⇒ يحتاج كل نوكليون إلى طاقة أكبر للخروج من النواة.

تمرين 7 — إشارة الكمية \(Q\)

لتفاعل نووي معيّن، نحسب: \[ \sum m_i = 3{,}000\,\mathrm{u},\quad \sum m_f = 2{,}997\,\mathrm{u} \] 1) احسب \(\Delta m\).
2) استنتج إشارة \(Q\) وطبيعة التفاعل.

1) نقص الكتلة: \[ \Delta m = 3{,}000 - 2{,}997 = 0{,}003\,\mathrm{u} \]

2) بما أنّ \(\Delta m > 0\)، فإنّ \[ Q = \Delta m c^2 > 0 \] وبالتالي التفاعل محرِّر للطاقة (إكسو-طاقة).

تمرين 8 — طاقة الربط لنواة متوسطة الكتلة

نواة متوسطة الكتلة لديها طاقة ربط كلية \(E_L = 520\,\mathrm{MeV}\)، وعدد كتلي \(A=56\).
1) احسب طاقة الربط لكل نوكليون \(\varepsilon\).
2) علِّق على استقرار هذه النواة مقارنة مع نواة أخرى لها \(\varepsilon = 2\,\mathrm{MeV/نوكليون}\).

1) \[ \varepsilon = \frac{520}{56} \approx 9{,}3\,\mathrm{MeV/نوكليون} \]

2) هذه النواة شديدة الاستقرار لأنّ \(\varepsilon\) كبيرة. مقارنة مع نواة لها \(\varepsilon = 2\) MeV/نوكليون، فهي أكثر ارتباطاً بشكل واضح.

تمرين 9 — فكرة عن الاندماج

يقال إنّ تفاعل اندماج نواتين خفيفتين يعطي نواة ذات طاقة ربط لكل نوكليون أكبر من النواتين الأصليتين. بيّن بشكل كيفي لماذا يكون هذا التفاعل محرِّراً للطاقة.

قبل التفاعل، مجموع طاقات الربط أقل (بسبب \(\varepsilon\) الأصغر). بعد التفاعل، نحصل على نواة جديدة ذات \(\varepsilon\) أكبر ⇒ طاقة الربط الكلية أكبر، أي أنّ النظام فقد جزءاً من كتلته \(\Delta m\) الذي تحوّل إلى طاقة محرَّرة وفق \(E = \Delta m c^2\).

تمرين 10 — فكرة عن الانشطار

في الانشطار، تنشطر نواة ثقيلة إلى نواتج متوسطة الكتلة. ماذا تقول عن طاقة الربط لكل نوكليون قبل وبعد الانشطار؟ وما النتيجة بخصوص الطاقة المحرَّرة؟

في النواة الثقيلة تكون \(\varepsilon\) أصغر من قيمتها في النوى المتوسطة (حسب منحنى طاقة الربط). بعد الانشطار نحصل على نوى متوسطة ذات \(\varepsilon\) أكبر ⇒ طاقة الربط الكلية تزداد، والفرق في الطاقة يظهر على شكل طاقة محرَّرة (حرارة، حركة نيوترونات، إشعاع…).

9) خلاصة سريعة للباك

  • النواة توصف بـ \({}^{A}_{Z}\mathrm{X}\)، حيث \(A = Z + N\).
  • نقص الكتلة: \[ \Delta m = \sum m_\text{النوكليونات الحرة} - m_\text{النواة} \]
  • طاقة الربط: \[ E_L = \Delta m c^2 \approx \Delta m(\mathrm{u})\times 931\,\mathrm{MeV} \]
  • طاقة الربط لكل نوكليون \(\varepsilon = E_L/A\) معيار لاستقرار النوى.
  • التفاعل النووي محرِّر للطاقة إذا كان \[ Q = \left( \sum m_i - \sum m_f \right)c^2 > 0. \]
  • الاندماج يجمع نوى خفيفة ⇒ نوى متوسطة أكثر استقراراً ⇒ تحرير طاقة كبيرة (النجوم).
  • الانشطار يُكسِّر نوى ثقيلة ⇒ نوى متوسطة أكثر استقراراً ⇒ أيضاً تحرير طاقة كبيرة (المفاعلات).