انتشار مـوجة ضوئية
1) تمهيد: ما المقصود بانتشار موجة ضوئية؟
الضوء يُعامَل في مستوى البكالوريا كسيلٍ من الموجات الكهرومغناطيسية، تنتشر في الفراغ وفي الأوساط المادّية بسرعة معيّنة. عندما نقول «انتشار موجة ضوئية» فنحن نصف كيفية انتقال الاضطراب (مجال كهربائي ومغناطيسي متذاخلان) من نقطة إلى أخرى حاملاً الطاقة والمعلومة.
- في الفراغ: سرعة انتشار الضوء ثابتة تقريبًا \(c \approx 3{,}0\times10^8\ \text{m·s}^{-1}\).
- في وسط مادّي شفاف (زجاج، ماء، هواء كثيف): تقلّ السرعة إلى قيمة \(v < c\).
- يُستعمل نموذج الموجة لوصف الظواهر كالحيود والتداخل، ونموذج الشعاع لوصف الانتشار في الأوساط المتجانسة.
2) المفاهيم الأساسية للانتشار الموجي
2-1) وسط الانتشار، الجبهة والشعاع
- وسط الانتشار: الفراغ أو هواء أو زجاج ... نعتبره في هذا الدرس وسطًا متجانسًا ومتماثلًا.
- جبهة الموجة: مجموعة النقط التي لها في لحظة معيّنة نفس الحالة الاهتزازية (نفس الطور).
- شعاع ضوئي: مستقيم يبيّن جهة انتشار الطاقة، عمودي على الجبهة في الوسط المتجانس.
2-2) موجة أحادية اللون
نقول إن الموجة الضوئية أحادية اللون إذا كانت ذات تردد واحد (أو طول موجي واحد) مثل خط LASER أحمر. في هذه الحالة يمكن تمثيل الإزاحة عند نقطة من الوسط بالعلاقة: \[ y(t) = A \sin(2\pi f t + \varphi_0) \] حيث \(A\) سعة الموجة، \(f\) ترددها و \(\varphi_0\) طورها الابتدائي.
3) خصائص الموجة الضوئية: الطول الموجي، التردد، سرعة الانتشار
3-1) تعريفات
- الدور \(T\) (بالثانية): المدة اللازمة ليتم الاهتزاز دورة كاملة.
- التردد \(f\) (بالهرتز): عدد الدورات في الثانية، \(f=\dfrac{1}{T}\).
- الطول الموجي \(\lambda\) (بالمتر): المسافة التي تقطعها الموجة خلال دور واحد.
- سرعة الانتشار \(v\) (بالمتر في الثانية): المسافة التي يقطعها الاضطراب في واحدة الزمن.
العلاقة الأساسية
في أي وسط متجانس: \[ v = \lambda \, f \] وفي الفراغ: \[ c = \lambda_0 \, f \] حيث \(c\) سرعة الضوء في الفراغ، و \(\lambda_0\) الطول الموجي في الفراغ.
في البكالوريا يتم غالبًا إعطاء اثنين من المقادير \(\lambda, f, v\) ويُطلب منك حساب الثالث باستخدام العلاقة \(v = \lambda f\).
4) سرعة انتشار الموجة ومعامل الانكسار
4-1) سرعة الضوء في وسط مادّي
في وسط شفاف ذي معامل انكسار \(n\)، تكون سرعة انتشار الموجة الضوئية: \[ v = \dfrac{c}{n} \] حيث \(n\ge 1\). مثلًا: \(n_{\text{هواء}}\approx 1{,}0\)، \(n_{\text{ماء}}\approx 1{,}33\)، \(n_{\text{زجاج}}\approx 1{,}5\).
- كلما كان الوسط أكثر كثافة بصريًا (أكبر \(n\)) كانت سرعة الانتشار \(v\) أصغر.
- التردد \(f\) يبقى ثابتًا عند مرور الضوء من وسط إلى آخر، بينما يتغيّر \(\lambda\) و \(v\).
5) التأخر الزمني وانتقال الإشارة الضوئية
إذا كانت موجة ضوئية تنتشر في وسط بسرعة \(v\)، فإن الزمن الذي تستغرقه لقطع مسافة \(d\) هو: \[ \tau = \dfrac{d}{v} \] ويسمّى التأخر الزمني بين نقطة الإرسال ونقطة الاستقبال.
في كابل ألياف بصرية طولُه \(20\ \text{km}\) وسرعة الانتشار داخله تقريبًا \(v=2{,}0\times10^8\ \text{m·s}^{-1}\). يكون التأخر: \[ \tau = \dfrac{20\times10^3}{2{,}0\times10^8} = 1,0\times10^{-4}\ \text{s} = 0{,}10\ \text{ms}. \]
هذه الفكرة تُستعمل في الاتصالات الضوئية وفي حساب المسافات بواسطة قياس زمن الذهاب-والإياب لنبضة LASER.
6) المقاطع المكانية والزمنية لموجة ضوئية
مثل كل الموجات المتوالية، يمكن دراسة الموجة الضوئية إما في مقطع مكاني (تثبيت الزمن ودراسة \(y(x)\)) أو مقطع زمني (تثبيت الموضع ودراسة \(y(t)\)).
- من المقطع المكاني يمكن قياس الطول الموجي \(\lambda\).
- من المقطع الزمني يمكن قياس الدور \(T\) ثم التردد \(f\).
7) تطبيقات على انتشار الموجة الضوئية
- الألياف البصرية: موجة ضوئية تُحتجز داخل ليف زجاجي رفيع وتستعمل لحمل كميات كبيرة من المعطيات بسرعة عالية.
- الرادار والـ LiDAR: قياس المسافات عن طريق إرسال نبضات ضوئية وقياس زمن عودتها.
- الاتصالات بالأقمار الصناعية: انتشار الموجات الكهرومغناطيسية في الفراغ بسرعة \(c\).
8) تمارين تطبيقية (10) مع الحلول
التمرين 1 — استعمال العلاقة \(v=\lambda f\)
موجة ضوئية أحادية اللون تردّدها \(f = 5{,}0\times10^{14}\ \text{Hz}\). احسب طولها الموجي في الفراغ.
في الفراغ: \(c = \lambda_0 f\) ⇒ \(\lambda_0 = \dfrac{c}{f} = \dfrac{3{,}0\times10^8}{5{,}0\times10^{14}} = 6{,}0\times10^{-7}\ \text{m} = 600\ \text{nm}\). هذا يوافق ضوءًا برتقاليًا-أحمرًا.
التمرين 2 — سرعة الضوء في وسط زجاجي
معامل انكسار الزجاج \(n = 1{,}50\). احسب سرعة الضوء داخله.
نستعمل \(v = \dfrac{c}{n}\): \[ v = \dfrac{3{,}0\times10^8}{1{,}50} = 2{,}0\times10^8\ \text{m·s}^{-1}. \]
التمرين 3 — تغير الطول الموجي بين وسطين
طول موجة ضوئية في الفراغ \(\lambda_0 = 500\ \text{nm}\). انتشرت في وسط ذي معامل انكسار \(n=1{,}25\). احسب طولها الموجي في هذا الوسط.
التردد ثابت: \(c = \lambda_0 f\) و \(v = \lambda f\) مع \(v=\dfrac{c}{n}\). إذًا: \[ \lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{c/n}{c/\lambda_0} = \dfrac{\lambda_0}{n} = \dfrac{500}{1{,}25} \approx 400\ \text{nm}. \]
التمرين 4 — التأخر الزمني في ليف بصري
طول ليف بصري \(L = 15\ \text{km}\)، سرعة الانتشار داخله \(v = 2{,}0\times10^8\ \text{m·s}^{-1}\). احسب التأخر الزمني بين طرفيه.
\(\tau = \dfrac{L}{v} = \dfrac{15\times10^3}{2{,}0\times10^8} = 7{,}5\times10^{-5}\ \text{s} = 0{,}075\ \text{ms}\).
التمرين 5 — تحديد التردد من مقطع زمني
من مقطع زمني لموجة ضوئية مسجّلة عند نقطة معينة، تم قياس الدور \(T = 2{,}5\times10^{-15}\ \text{s}\). احسب التردد.
\(f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{2{,}5\times10^{-15}} = 4{,}0\times10^{14}\ \text{Hz}\).
التمرين 6 — اختيار النموذج المناسب
في تجربة حيود الضوء بواسطة شق ضيّق، أي نموذج يجب استعماله: نموذج الشعاع أم نموذج الموجة؟ فسّر بإيجاز.
يجب استعمال نموذج الموجة لأن ظاهرة الحيود مرتبطة بتداخل الموجات وانتشارها في كل الفضاء بعد عبور فتحة ضيّقة. نموذج الشعاع لا يفسّر ظهور الأهداب المضيئة والمظلمة.
التمرين 7 — حساب معامل الانكسار
سرعة الضوء في وسط مادّي هي \(v = 2{,}25\times10^8\ \text{m·s}^{-1}\). احسب معامل الانكسار لهذا الوسط.
\(n = \dfrac{c}{v} = \dfrac{3{,}0\times10^8}{2{,}25\times10^8} \approx 1{,}33\)، وهي قيمة قريبة من معامل انكسار الماء.
التمرين 8 — تمييز اللون من الطول الموجي
ضوء طوله الموجي في الفراغ \(\lambda_0 = 700\ \text{nm}\). إلى أي منطقة من الطيف المرئي ينتمي؟
القيم الكبيرة للطول الموجي (حوالي \(650\) إلى \(750\ \text{nm}\)) تناسب اللون الأحمر. إذًا الضوء أحمر.
التمرين 9 — زمن رحلة ضوء من القمر إلى الأرض
المسافة بين القمر والأرض تقريبا \(3{,}8\times10^8\ \text{m}\). احسب الزمن الذي يستغرقه الضوء لقطع هذه المسافة في الفراغ.
\(\tau = \dfrac{d}{c} = \dfrac{3{,}8\times10^8}{3{,}0\times10^8} \approx 1{,}27\ \text{s}\). إذًا تحتاج الإشارة الضوئية لأكثر من ثانية بقليل للوصول من القمر إلى الأرض.
التمرين 10 — ربط العلاقات
موجة ضوئية تنتشر في وسط حيث \(n = 1{,}5\) و \(\lambda = 420\ \text{nm}\). احسب التردد \(f\). (خذ \(c = 3{,}0\times10^8\ \text{m·s}^{-1}\)).
أولًا نحسب السرعة في الوسط: \(v = \dfrac{c}{n} = 2{,}0\times10^8\ \text{m·s}^{-1}\). ثم \(v = \lambda f\) ⇒ \[ f = \dfrac{v}{\lambda} = \dfrac{2{,}0\times10^8}{420\times10^{-9}} \approx 4{,}8\times10^{14}\ \text{Hz}. \]