Mathématiques – 2^ème Bac Économie & Gestion
Dérivation et étude des fonctions

Durée indicative : 6–8 heures (cours + exercices) Pré-requis : limites & continuité, fonctions usuelles Outils : dérivées 1^er & 2^ème ordre, tableaux de variations

Dans ce chapitre, on définit la dérivée, on apprend ses règles de calcul (somme, produit, quotient, chaîne), on relie le signe de la dérivée aux variations, on détermine tangentes et extrema, puis on aborde la dérivée seconde pour la convexité et les points d’inflexion. Enfin, on applique ces notions à l’optimisation économique (coût/recette/profit, coût marginal, élasticité locale).

Compétences
Calculer des dérivées, dresser un tableau de variations, identifier extrema & tangentes, interpréter économiquement.

Mots-clés
Dérivée, taux instantané, tangente, variations, extremum, convexité, inflexion.

Applications
Optimisation de profit, coût marginal, élasticité, tarification.

1. Dérivée : définition et interprétation

Définition (au point \(a\)). Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\). On dit que \(f\) est dérivable en \(a\in I\) si la limite \[ f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \] existe et est finie. Alors \(f'(a)\) est le taux de variation instantané de \(f\) au voisinage de \(a\). La tangente au graphe en \(x=a\) a pour équation \[ y=f(a)+f'(a)(x-a). \]

Lecture économique. Si \(C(x)\) est un coût total (MAD) pour produire \(x\) unités, alors \(C'(a)\) est le coût marginal au niveau \(a\) (coût d’une unité supplémentaire « au voisinage » de \(a\)). De même, si \(R(x)=p(x)\,x\) est la recette, \(R'(a)\) est la recette marginale.

Lien dérivabilité / continuité. Si \(f\) est dérivable en \(a\) alors \(f\) est continue en \(a\). La réciproque est fausse en général.

2. Dérivées usuelles & règles de calcul

Fonctions de référence

\((k)'=0\), \((x^n)'=n x^{n-1}\) (\(n\in\mathbb Z\), pour \(n<0\) prendre \(x\ne0\)).
\((\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) pour \(x>0\).
\((e^x)'=e^x\), \((a^x)'=a^x\ln a\) pour \(a>0\), \(a\ne1\).
\((\ln x)'=\dfrac1x\) pour \(x>0\).
\((\sin x)'=\cos x\), \((\cos x)'=-\sin x\), \((\tan x)'=\sec^2 x\) (sur domaines).

Règles de dérivation

\((f+g)'=f'+g'\), \((k f)'=k f'\).
\((f g)'=f' g + f g'\).
\(\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\) si \(g\ne0\).
Chaîne : \((g\circ f)'=(g'\circ f)\cdot f'\).

Exemples rapides.

\(f(x)=x^3-2x \Rightarrow f'(x)=3x^2-2\).
\(g(x)=\ln(3x^2+1)\Rightarrow g'(x)=\dfrac{6x}{3x^2+1}\) (chaîne).
\(h(x)=\dfrac{(x^2+1)e^x}{x}\) (\(x\ne0\)). Par quotient + produit : \[ h'=\frac{\big((2x)e^x+(x^2+1)e^x\big)\,x-(x^2+1)e^x}{x^2}. \]

3. Signe de la dérivée, variations & extrema

Variations. Si \(f'\gt0\) sur un intervalle, alors \(f\) y est croissante. Si \(f'\lt0\), \(f\) est décroissante.

Extrema locaux. Si \(f'(a)=0\) et que le signe de \(f'\) passe de \(+\) à \(−\) (resp. de \(−\) à \(+\)) en \(a\), alors \(f\) admet un maximum (resp. minimum) local en \(a\).

Méthode type « tableau de variations ». Étudier \(f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\).

Domaine : \(\mathbb R\).
Dérivée : \(f'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\).
Signe de \(f'\) : \(f'=0\) en \(-1\) et \(1\) ; \(f'\gt0\) sur \((-1,1)\), \(f'\lt0\) ailleurs.
Variations : croissance puis décroissance ⇒ max local \(f(1)=\tfrac12\), min local \(f(-1)=-\tfrac12\).

Toujours isoler le dénominateur (positif) et étudier le signe du numérateur.

4. Tangentes et équations locales

Tangente en \(x=a\). Si \(f\) est dérivable en \(a\), la tangente \(\mathcal T_a\) : \(y=f(a)+f'(a)(x-a)\).

Exemple. \(f(x)=x^2-2x+3\). \(f'(x)=2x-2\Rightarrow f'(1)=0\), \(f(1)=2\). Tangente horizontale \(y=2\) en \(x=1\).

Lecture graphique. Le signe de \(f'(a)\) indique si la courbe monte (\(f'(a)\gt0\)) ou descend (\(f'(a)\lt0\)) au voisinage de \(a\).

5. Dérivée seconde, convexité & point d’inflexion

Si \(f\) est deux fois dérivable, la dérivée seconde décrit la courbure : \(f''\gt0\Rightarrow f\) convexe, \(f''\lt0\Rightarrow\) concave. Un point où \(f''\) change de signe peut être un point d’inflexion.

Exemple complet. \(f(x)=x^3-3x\). \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\) ⇒ max local en \(-1\), min local en \(1\). \(f''(x)=6x\) change de signe en \(0\) ⇒ inflexion en \(0\).

Test « seconde dérivée » (cas simple). Si \(f'(a)=0\) et \(f''(a)\gt0\) (resp. \(f''(a)\lt0\)), alors \(a\) est un min (resp. max) local. Si \(f''(a)=0\), conclure par le signe de \(f'\) ou l’étude plus fine de \(f''\).

6. Étude complète d’une fonction : protocole

Domaine (zéros du dénominateur, racines, logarithmes).
Limites aux bords et points singuliers (asymptotes éventuelles).
Dérivée \(f'\), étude de son signe ⇒ variations & extrema.
Dérivée seconde \(f''\) ⇒ convexité/concavité, inflexions.
Tableau récapitulatif (signes, variations, valeurs remarquables).

7. Applications économiques

Coût marginal. Pour \(C(x)=ax^2+bx+c\) (\(a>0\)), \(C'(x)=2ax+b\) croît linéairement : coût marginal croissant ⇒ rendements décroissants au-delà d’un seuil.

Recette & profit. Si \(R(x)=p(x)\,x\) avec \(p\) décroissante, alors \(R'(x)=p(x)+x\,p'(x)\). Le profit \(\Pi(x)=R(x)-C(x)\) est maximal pour \(\Pi'(x)=0 \iff R'(x)=C'(x)\) (recette marginale = coût marginal).

Élasticité locale du prix : si \(p(x)=A e^{-kx}\) (\(A,k>0\)), alors \(p'(x)=-kA e^{-kx}\lt0\) et l’élasticité \(\varepsilon=\dfrac{x\,p'(x)}{p(x)}=-kx\) (en valeur absolue croissante avec \(x\)).

8. Exercices (12) — avec solutions détaillées

Exercice 1 — Dérivée d’un produit

Soit \(f(x)=(x^2-1)(x^3+2)\). Calculer \(f'(x)\).

\(f'=2x(x^3+2)+(x^2-1)\cdot 3x^2=5x^4-3x^2+4x\).

Exercice 2 — Quotient rationnel

\(f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+1}\). Calculer \(f'(x)\) et discuter le signe de \(f'(x)\).

\(f'=\dfrac{2(x^2+1)-(2x+1)\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{-2x^2-2x+2}{(x^2+1)^2}\). Le dénominateur \(>0\). Zéros du numérateur : \(x=1\) et \(x=-2\). Étude par intervalles ⇒ variations.

Exercice 3 — Chaîne (logarithme)

\(g(x)=\ln(5x^2+4x+1)\). Déterminer \(g'(x)\) et le domaine.

Domaine : \(5x^2+4x+1>0\) (vrai pour tout \(x\) car \(\Delta=16-20<0\)). \(g'=\dfrac{10x+4}{5x^2+4x+1}\).

Exercice 4 — Tangente

Pour \(f(x)=x^2-2x+3\), écrire l’équation de la tangente au point \(x=1\).

\(f'(x)=2x-2\Rightarrow f'(1)=0\). \(f(1)=2\). Tangente \(y=2\) (horizontale).

Exercice 5 — Étude de variations

Étudier \(f(x)=x^3-3x\) : signe de \(f'\), extrema et sens de variation.

\(f'=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\). Max local en \(-1\), min local en \(1\). Croît sur \((-\infty,-1]\) et \([1,+\infty)\), décroît sur \([-1,1]\).

Exercice 6 — Convexité

Pour \(f(x)=x^4-2x^2\), déterminer la convexité et les points d’inflexion éventuels.

\(f''=12x^2-4=4(3x^2-1)\). Convexe si \(|x|>\frac{1}{\sqrt3}\), concave sinon. Inflexions en \(x=\pm \frac{1}{\sqrt3}\).

Exercice 7 — Optimisation économique (profit)

Coût \(C(x)=x^3-6x^2+15x\) et recette \(R(x)=30x-2x^2\). Maximiser le profit \(\Pi(x)=R(x)-C(x)\) pour \(x\ge0\).

\(\Pi(x)=-x^3+4x^2+15x\). \(\Pi'(x)=-3x^2+8x+15=0\Rightarrow x=\dfrac{8\pm\sqrt{64+180}}{6}=\dfrac{8\pm\sqrt{244}}{6}\). Racines \(x_1\approx -1.27\) (non admissible) et \(x_2\approx 3.94\). Vérifier \(\Pi''(x)=-6x+8\lt0\) en \(3.94\) ⇒ max local au voisinage de \(3.94\) unités.

Exercice 8 — Élasticité locale du prix

Pour \(p(x)=A e^{-kx}\) (\(A,k>0\)), calculer \(p'(x)\) puis l’élasticité \(\varepsilon(x)=\dfrac{x\,p'(x)}{p(x)}\).

\(p'(x)=-kA e^{-kx}\). \(\varepsilon(x)=\dfrac{x(-kA e^{-kx})}{A e^{-kx}}=-kx\) (élasticité en valeur absolue croît avec \(x\)).

Exercice 9 — Étude complète (rationnelle)

Étudier \(f(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}\) : domaine, limites, dérivée, variations et asymptotes.

Domaine \(\mathbb R\setminus\{1\}\). Asymptote verticale \(x=1\). Division euclidienne : \(f(x)=2+\dfrac{5}{x-1}\) ⇒ asymptote horizontale \(y=2\). \(f'(x)=\dfrac{2(x-1)-(2x+3)}{(x-1)^2}=\dfrac{-5}{(x-1)^2}\lt0\) sur chaque intervalle du domaine ⇒ décroissante sur \((-\infty,1)\) et \((1,+\infty)\).

Exercice 10 — Test de la dérivée seconde

Soit \(f(x)=x^4+2x^2\). Montrer que \(x=0\) est un minimum global.

\(f'(x)=4x^3+4x=4x(x^2+1)\Rightarrow f'(0)=0\). \(f''(x)=12x^2+4\gt0\) pour tout \(x\), donc \(f\) convexe \(\Rightarrow\) min global en \(0\) avec \(f(0)=0\).

Exercice 11 — Tableau de variations (log)

Étudier \(f(x)=x-\ln x\) sur \(]0,+\infty[\).

\(f'(x)=1-\dfrac1x=\dfrac{x-1}{x}\). Signe : \(f'\lt0\) sur \(]0,1[\), \(f'\gt0\) sur \(]1,+\infty[\). Minimum en \(x=1\) avec \(f(1)=1\).

Exercice 12 — Tangente & approximation

Donner l’approximation de \(e^{0.02}\) par la tangente de \(e^x\) en \(0\).

\(f(x)=e^x\), \(f(0)=1\), \(f'(0)=1\). Tangente \(y=1+x\). Donc \(e^{0.02}\approx 1+0.02=1.02\) (erreur d’ordre \(x^2\)).

9. Fiches-mémo & tableaux utiles

Fonction	Domaine	Dérivée	Remarque
\(x^n\)	\(\mathbb R\) (si \(n\in\mathbb N\))	\(n x^{n-1}\)	Pour \(n<0\), exclure \(x=0\)
\(e^x\)	\(\mathbb R\)	\(e^x\)	Positif, croît partout
\(\ln x\)	\(]0,+\infty[\)	\(1/x\)	Concave
\(\sqrt{x}\)	\([0,+\infty[\)	\(1/(2\sqrt{x})\)	Non dérivable en \(0\)
\(\sin x\)	\(\mathbb R\)	\(\cos x\)	Oscillante
\(\cos x\)	\(\mathbb R\)	\(-\sin x\)	Oscillante

10. Synthèse — erreurs à éviter

Oublier la règle de la chaîne dans les compositions (log, racines, exponentielles).
Confondre \(f'(a)=0\) avec extremum assuré : vérifier le changement de signe de \(f'\) (ou utiliser \(f''\)).
Étudier les variations sans traiter le domaine et les asymptotes.
Négliger l’interprétation marginale pour les applications économiques.

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