Calcul intégral

Intégrales — Cours complet (Bac Maths)

Table des matières

1. Introduction et construction

Le concept d'intégrale remonte à l'Antiquité avec la méthode d'exhaustion d'Archimède, mais c'est au XVIIe siècle que Newton et Leibniz ont développé le calcul intégral moderne, établissant le lien fondamental entre dérivation et intégration.

1.1 Construction par les fonctions en escalier

Subdivision d'un segment

Une subdivision du segment \([a, b]\) est une famille \(\sigma = (a_i)_{0 \leq i \leq n}\) telle que :

\( a = a_0 < a_1 < \cdots < a_n = b \)

Le pas de la subdivision est \(\delta(\sigma) = \max_{0 \leq i \leq n-1} |a_{i+1} - a_i|\).

Fonction en escalier

Une fonction \(\varphi : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) est dite en escalier s'il existe une subdivision \(\sigma\) telle que \(\varphi\) soit constante sur chaque intervalle \([a_i, a_{i+1}]\).

L'ensemble des fonctions en escalier sur \([a, b]\) est noté \(\mathcal{E}([a, b])\).

Intégrale d'une fonction en escalier

Pour \(\varphi \in \mathcal{E}([a, b])\) constante égale à \(c_k\) sur \([a_k, a_{k+1}]\), on définit :

\( \int_a^b \varphi(t)dt = \sum_{k=0}^{n-1} c_k(a_{k+1} - a_k) \)

Cette valeur représente la somme algébrique des aires des rectangles.

1.2 Extension aux fonctions continues

Théorème d'approximation

Soit \(f\) continue sur \([a, b]\). Il existe une suite \((\varphi_n)\) de fonctions en escalier telle que :

\( \lim_{n \to +\infty} \max_{x \in [a, b]} |\varphi_n(x) - f(x)| = 0 \)

Intégrale d'une fonction continue

Pour \(f\) continue sur \([a, b]\), on définit :

\( \int_a^b f(t)dt = \lim_{n \to +\infty} \int_a^b \varphi_n(t)dt \)

Cette limite existe et ne dépend pas du choix de la suite \((\varphi_n)\).

Interprétation géométrique

\(\int_a^b f(t)dt\) représente l'aire algébrique entre la courbe de \(f\), l'axe des abscisses, et les droites \(x = a\) et \(x = b\).

Si \(f \geq 0\), c'est l'aire de la surface délimitée. Si \(f\) change de signe, les aires au-dessus et au-dessous de l'axe se compensent algébriquement.

2. Définition et propriétés fondamentales

Propriétés de base

Pour \(f, g\) continues sur \([a, b]\) et \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) :

  1. Linéarité : \(\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g\)
  2. Relation de Chasles : \(\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f\) pour tout \(c \in [a, b]\)
  3. Intégrale sur un point : \(\int_a^a f = 0\)
  4. Positivité : Si \(f \geq 0\) sur \([a, b]\), alors \(\int_a^b f \geq 0\)
  5. Croissance : Si \(f \leq g\) sur \([a, b]\), alors \(\int_a^b f \leq \int_a^b g\)

Démonstration de la linéarité

Soient \((\varphi_n)\) et \((\psi_n)\) des suites de fonctions en escalier convergeant uniformément vers \(f\) et \(g\).

Alors \((\alpha\varphi_n + \beta\psi_n)\) converge uniformément vers \(\alpha f + \beta g\).

Par linéarité de l'intégrale des fonctions en escalier :

\( \int_a^b (\alpha\varphi_n + \beta\psi_n) = \alpha \int_a^b \varphi_n + \beta \int_a^b \psi_n \)

En passant à la limite, on obtient le résultat.

Exemple : Calcul d'une intégrale simple

Calculer \(\int_0^1 x dx\) en utilisant la définition avec des subdivisions régulières.

Pour la subdivision régulière de pas \(\frac{1}{n}\), on prend \(\varphi_n\) valant \(\frac{k}{n}\) sur \([\frac{k}{n}, \frac{k+1}{n}]\).

Alors \(\int_0^1 \varphi_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{k}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^2} \sum_{k=0}^{n-1} k = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n(n-1)}{2} \to \frac{1}{2}\).

Donc \(\int_0^1 x dx = \frac{1}{2}\).

3. Primitives et théorème fondamental

Primitive d'une fonction

Une fonction \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si \(F\) est dérivable sur \(I\) et \(F' = f\).

Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors toutes les primitives sont de la forme \(F + C\), où \(C\) est une constante.

Théorème fondamental de l'analyse

Soit \(f\) continue sur \([a, b]\). La fonction \(F\) définie par :

\( F(x) = \int_a^x f(t)dt \)

est l'unique primitive de \(f\) qui s'annule en \(a\).

Démonstration

Pour \(h > 0\) petit :

\( \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t)dt \)

Par continuité de \(f\), pour \(t \in [x, x+h]\), \(f(t) \approx f(x)\), donc :

\( \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t)dt \approx f(x) \)

Plus rigoureusement, on utilise le théorème de la moyenne.

Formule fondamentale du calcul intégral

Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a, b]\), alors :

\( \int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a) \)

On note souvent \(F(b) - F(a) = [F(t)]_a^b\).

Exemple

\(\int_0^{\pi} \sin x dx = [-\cos x]_0^{\pi} = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = 1 - (-1) = 2\)

Dérivation d'une intégrale à bornes variables

Si \(F(x) = \int_{v(x)}^{u(x)} f(t)dt\), avec \(u, v\) dérivables et \(f\) continue, alors :

\( F'(x) = u'(x)f(u(x)) - v'(x)f(v(x)) \)

4. Propriétés de l'intégrale

4.1 Inégalité de la moyenne

Si \(f\) est continue sur \([a, b]\), alors :

\( \left| \int_a^b f(t)dt \right| \leq \int_a^b |f(t)|dt \)

De plus, si \(|f(t)| \leq M\) pour tout \(t \in [a, b]\), alors :

\( \left| \int_a^b f(t)dt \right| \leq M(b - a) \)

4.2 Méthode des rectangles

Soit \(f\) continue et monotone sur \([n, n+1]\), alors :

Si \(f\) est croissante :

\( \int_{n-1}^n f(t)dt \leq f(n) \leq \int_n^{n+1} f(t)dt \)

Si \(f\) est décroissante :

\( \int_n^{n+1} f(t)dt \leq f(n) \leq \int_{n-1}^n f(t)dt \)

Application aux séries

Pour \(f(x) = \frac{1}{x}\) (décroissante sur \([1, +\infty[\)), on a :

\( \int_n^{n+1} \frac{1}{t}dt \leq \frac{1}{n} \leq \int_{n-1}^n \frac{1}{t}dt \)

En sommant, on retrouve des encadrements classiques pour la série harmonique.

4.3 Télescopage

Si \(a = u_0 < u_1 < \cdots < u_{n+1} = b\), alors :

\( \sum_{k=0}^n \int_{u_k}^{u_{k+1}} f(t)dt = \int_a^b f(t)dt \)

Cette propriété est une conséquence directe de la relation de Chasles.

5. Théorème de la moyenne

Théorème de la moyenne intégrale

Soit \(f\) continue sur \([a, b]\). Il existe \(c \in [a, b]\) tel que :

\( \int_a^b f(t)dt = f(c)(b - a) \)

Autrement dit : \( f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(t)dt \)

Démonstration

Soit \(m = \min_{[a,b]} f\) et \(M = \max_{[a,b]} f\).

Alors \( m(b-a) \leq \int_a^b f(t)dt \leq M(b-a) \), donc :

\( m \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(t)dt \leq M \)

Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe \(c \in [a, b]\) tel que \(f(c)\) soit égal à cette moyenne.

Exemple

Pour \(f(x) = x^2\) sur \([0, 2]\), on a \(\int_0^2 x^2 dx = \frac{8}{3}\).

La valeur moyenne est \(\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3}\).

Il existe \(c \in [0, 2]\) tel que \(c^2 = \frac{4}{3}\), soit \(c = \frac{2}{\sqrt{3}}\).

Interprétation géométrique

Le théorème de la moyenne affirme qu'il existe un rectangle de base \([a, b]\) et de hauteur \(f(c)\) qui a la même aire que l'intégrale de \(f\).

6. Sommes de Riemann

Définition

Soit \(f\) continue sur \([a, b]\). La somme de Riemann associée à la subdivision régulière est :

\( S_n = \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n f\left(a + \frac{k(b-a)}{n}\right) \)

On a alors : \( \lim_{n \to +\infty} S_n = \int_a^b f(t)dt \)

Exemple classique

Calculer \( \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2 + k^2} \)

On écrit : \( S_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2} \)

Donc \( \lim_{n \to +\infty} S_n = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx = [\arctan x]_0^1 = \frac{\pi}{4} \)

Méthode générale

Pour reconnaître une somme de Riemann, chercher à faire apparaître une fonction de \(\frac{k}{n}\) multipliée par \(\frac{1}{n}\).

Remarque : La démonstration rigoureuse utilise l'uniforme continuité de \(f\) sur \([a, b]\).

7. Techniques de calcul

7.1 Changement de variable

Soit \(\varphi : [\alpha, \beta] \to [a, b]\) dérivable à dérivée continue. Alors :

\( \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt \)

Exemple

Calculer \( I = \int_0^1 \frac{e^{2x}}{e^x + 1} dx \)

On pose \( u = e^x \), donc \( du = e^x dx = u dx \), soit \( dx = \frac{du}{u} \)

Quand \(x = 0\), \(u = 1\); quand \(x = 1\), \(u = e\)

\( I = \int_1^e \frac{u^2}{u+1} \cdot \frac{du}{u} = \int_1^e \frac{u}{u+1} du \)

\( = \int_1^e \left(1 - \frac{1}{u+1}\right) du = [u - \ln(u+1)]_1^e = e - 1 - \ln\left(\frac{e+1}{2}\right) \)

7.2 Intégration par parties

Si \(u\) et \(v\) sont dérivables à dérivées continues sur \([a, b]\), alors :

\( \int_a^b u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)dx \)

Exemple

Calculer \( I = \int_1^e \ln x dx \)

On pose \( u(x) = \ln x \) (donc \( u'(x) = \frac{1}{x} \)) et \( v'(x) = 1 \) (donc \( v(x) = x \))

\( I = [x \ln x]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x} dx = e - (e - 1) = 1 \)

7.3 Fractions rationnelles

Pour intégrer une fraction rationnelle \(R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\), on distingue plusieurs cas :

  1. Si \(R(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}\), alors une primitive est \(\ln|u(x)|\)
  2. Si le dénominateur a un discriminant positif, on décompose en éléments simples
  3. Si le dénominateur a un discriminant nul, on a une forme \(\frac{1}{(x-\alpha)^2}\)
  4. Si le dénominateur a un discriminant négatif, on se ramène à une forme arctangente

8. Règles de Bioche

Principe

Pour intégrer \(R(\sin x, \cos x)dx\), on examine l'invariance sous certaines transformations :

Invariance Changement de variable
\(R(\sin x, \cos x)dx\) inchangé quand \(x \to \pi - x\) \(t = \sin x\)
\(R(\sin x, \cos x)dx\) inchangé quand \(x \to -x\) \(t = \cos x\)
\(R(\sin x, \cos x)dx\) inchangé quand \(x \to \pi + x\) \(t = \tan x\)
Aucune invariance \(t = \tan(x/2)\) (universel mais lourd)

Exemple

Calculer \( \int \frac{\sin^3 x}{1 + \cos^2 x} dx \)

La fonction est invariante par \(x \to -x\), donc on pose \(t = \cos x\), \(dt = -\sin x dx\)

\( \int \frac{\sin^3 x}{1 + \cos^2 x} dx = \int \frac{(1 - t^2)(-dt)}{1 + t^2} = \int \left(1 - \frac{2}{1+t^2}\right) dt \)

\( = t - 2\arctan t + C = \cos x - 2\arctan(\cos x) + C \)

Attention : Il faut vérifier l'invariance de l'expression complète \(R(\sin x, \cos x)dx\), pas seulement de \(R(\sin x, \cos x)\).

9. Primitives classiques

Fonction \(f(x)\) Primitive \(F(x)\) Conditions
\(x^\alpha\) (\(\alpha \neq -1\)) \(\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\) \(x > 0\) ou selon \(\alpha\)
\(\frac{1}{x}\) \(\ln|x|\) \(x \neq 0\)
\(\frac{1}{1+x^2}\) \(\arctan x\) \(\mathbb{R}\)
\(\sin x\) \(-\cos x\) \(\mathbb{R}\)
\(\cos x\) \(\sin x\) \(\mathbb{R}\)
\(\frac{1}{\cos^2 x}\) \(\tan x\) \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\)
\(\frac{1}{\sin^2 x}\) \(-\cotan x\) \(x \neq k\pi\)
\(\tan x\) \(-\ln|\cos x|\) \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\)
\(\frac{1}{\sin x}\) \(\ln|\tan(x/2)|\) \(x \neq k\pi\)
\(\frac{1}{\cos x}\) \(\ln|\tan(x/2 + \pi/4)|\) \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\)
\(\ln x\) \(x\ln x - x\) \(x > 0\)
\(e^x\) \(e^x\) \(\mathbb{R}\)
\(\sh x\) \(\ch x\) \(\mathbb{R}\)
\(\ch x\) \(\sh x\) \(\mathbb{R}\)

10. Exercices types

Exercice 1 — Calcul d'intégrale simple

Calculer \(\int_0^{\pi/2} \sin^3 x \cos x dx\)

Utiliser le changement de variable \(u = \sin x\).

Exercice 2 — Intégration par parties

Calculer \(\int_0^1 x e^x dx\)

Poser \(u(x) = x\) et \(v'(x) = e^x\).

Exercice 3 — Somme de Riemann

Calculer \(\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + k^2}}\)

Reconnaître une somme de Riemann pour \(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\).

Exercice 4 — Règles de Bioche

Calculer \(\int \frac{\cos^3 x}{\sin^2 x} dx\)

Vérifier l'invariance par \(x \to -x\).

Exercice 5 — Fraction rationnelle

Calculer \(\int \frac{2x+1}{x^2 + x + 1} dx\)

Reconnaître la forme \(\frac{u'}{u}\).

🔍 Conseil important : Toujours vérifier le domaine de définition de la fonction à intégrer et s'assurer que les techniques utilisées sont valides sur l'intervalle considéré.