Espaces vectoriels

0. Objectifs & méthode Bac

Compétences clés

  • Vérifier EV / sous-espace, et manipuler engendré, indépendance, base, dimension.
  • Résoudre des systèmes linéaires par Gauss, interpréter selon le rang.
  • Décrire noyau, image, et relier à la matrice d’une application linéaire.
  • Modéliser droites/plans de ℝ²/ℝ³ (paramétrique ↔ cartésienne) et tester parallélisme / intersection.

Rédaction gagnante

  1. Annonce la définition / propriété à utiliser (EV, sous-espace, rang, etc.).
  2. Justifie chaque étape (stabilité, nullité, système, pivot…).
  3. Conclue clairement (dimension, nombre de solutions, équation du plan…).

1. Espace vectoriel : définitions & axiomes

Définition

Sur un corps \(\mathbb{K}\) (souvent \(\mathbb{R}\)), un espace vectoriel \((E,+,\cdot)\) vérifie :

  • \((E,+)\) est groupe abélien (associativité, neutre \(0_E\), inverse \(-u\), commutativité).
  • Distributivité : \(\lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v\), \((\lambda+\mu)u=\lambda u+\mu u\).
  • Compatibilité : \((\lambda\mu)u=\lambda(\mu u)\), \(1_{\mathbb{K}}u=u\).

Exemples / Non-exemples

  • \(\mathbb{R}^n\), \(M_{p,q}(\mathbb{R})\), \(\mathbb{R}[X]_{\le m}\) sont des EV.
  • \(\{(x,y,1)\}\subset\mathbb{R}^3\) n’est pas un EV (pas stable par homothétie).

2. Sous-espaces : critères & intersections

Critère pratique

\(F\subseteq E\) est un sous-espace vectoriel si :

  • \(0_E\in F\)
  • \(u,v\in F \Rightarrow u+v\in F\)
  • \(\lambda\in\mathbb{K},\,u\in F \Rightarrow \lambda u\in F\)

Intersections & somme

  • \(F\cap G\) est toujours un sous-espace de \(E\).
  • \(F+G=\{u+v\mid u\in F,v\in G\}\) est le plus petit sous-espace contenant \(F\cup G\).
Piège : l’union \(F\cup G\) n’est pas un sous-espace (en général).

3. Combinaisons linéaires & engendré

CL de \(u_1,\dots,u_p\) : \( \sum_{i=1}^p \lambda_i u_i \) (\(\lambda_i\in\mathbb{K}\)).

Engendré

\(\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_p)\) = ensemble des CL des \(u_i\). C’est un sous-espace minimal contenant ces vecteurs.

Exemples

  • Dans \(\mathbb{R}^2\), deux vecteurs non colinéaires engendrent \(\mathbb{R}^2\).
  • Dans \(\mathbb{R}^3\), trois vecteurs coplanaires n’engendrent pas \(\mathbb{R}^3\).

4. Dépendance / indépendance linéaire

\(u_1,\dots,u_p\) sont indépendants si \(\sum \lambda_i u_i=0 \Rightarrow \lambda_1=\cdots=\lambda_p=0\). Sinon, dépendants.

Faits utiles

  • Si un \(u_i=0\), la famille est dépendante.
  • Si \(p>\dim E\), toute famille de \(p\) vecteurs est dépendante (EV de type fini).
  • Dans \(\mathbb{R}^n\), au plus \(n\) vecteurs indépendants.
Méthode : poser \(\sum \lambda_i u_i=0\), traduire en système et résoudre (Gauss).

5. Bases & dimension (type fini)

Une base est une famille génératrice et indépendante. La dimension d’un EV de type fini = taille de toute base.

Propriétés

  • Deux bases d’un même EV fini ont le même nombre d’éléments.
  • Toute famille indépendante peut être complétée en base.
  • Toute famille génératrice contient une base.

Exemples

  • Base canonique de \(\mathbb{R}^n\) : \(e_1,\dots,e_n\). Dimension \(n\).
  • Base de \(\mathbb{R}[X]_{\le m}\) : \((1,X,\dots,X^m)\). Dimension \(m+1\).

6. Coordonnées & changement de base

Si \(\mathcal{B}=(b_1,\dots,b_n)\) est une base de \(E\), tout \(u\in E\) s’écrit unique \(u=\sum \alpha_i b_i\). Le \(n\)-uplet \((\alpha_i)\) est \([u]_{\mathcal{B}}\).

Changement de base (idée Bac) : si \(P\) est la matrice passant de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{B}'\), alors \([u]{\mathcal{B}'}=P^{-1}[u]{\mathcal{B}}\) (quand \(P\) est inversible).

7. Matrices, systèmes linéaires & élimination de Gauss

Système linéaire

\(A X = B\) avec \(A\in M_{m,n}(\mathbb{R})\), \(X\in \mathbb{R}^n\). On résout par Gauss (opérations élémentaires sur lignes).

Interprétation

  • Solution unique \(\Leftrightarrow\) rang \(r=n\) et système compatible.
  • Infinité de solutions \(\Leftrightarrow\) rang \(r
  • Pas de solution \(\Leftrightarrow\) rang élargi \(>\) rang de \(A\).
Astuces Gauss : pivoter sur le plus grand en valeur absolue (stabilité), viser une forme échelonnée réduite, expliciter les variables libres.

8. Rang, théorème du rang, conséquences

Le rang d’une famille de vecteurs (ou d’une matrice) est la dimension de l’espace engendré (nombre de pivots après Gauss).

Théorème du rang (EV finis)

Pour \(f:E\to F\) linéaire, \(\dim(\ker f)+\dim(\mathrm{Im}\,f)=\dim(E)\).

Conséquences

  • \(f\) injective \(\Leftrightarrow \ker f=\{0\}\) \(\Leftrightarrow\) \(\mathrm{rang}(f)=\dim(E)\).
  • \(f\) surjective \(\Leftrightarrow \mathrm{rang}(f)=\dim(F)\).

9. Applications linéaires : noyau, image, matrice de \(f\)

\(f:E\to F\) est linéaire si \(f(u+v)=f(u)+f(v)\) et \(f(\lambda u)=\lambda f(u)\).

Noyau / Image

  • \(\ker f=\{u\mid f(u)=0\}\) est un sous-espace de \(E\).
  • \(\mathrm{Im}\,f=\{f(u)\mid u\in E\}\) est un sous-espace de \(F\).

Matrice de \(f\)

Fixer des bases \(\mathcal{B}E,\mathcal{B}_F\). La matrice \(A=[f]^{\mathcal{B}_E}{\mathcal{B}F}\) vérifie \([f(u)]{\mathcal{B}F}=A\,[u]{\mathcal{B}_E}\).

Exemple

\(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\), \(f(x,y,z)=(x+y,\,y+z)\). Dans les bases canoniques, \(A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}\). Rang \(=2\), \(\ker f=\mathrm{Vect}((-1,1,-1))\).

10. Droites & plans dans ℝ²/ℝ³

Représentations

  • Paramétrique droite : \( \vec{OP}=\vec{OA}+t\,\vec{u} \).
  • Paramétrique plan : \( \vec{OP}=\vec{OA}+s\,\vec{u}+t\,\vec{v} \) avec \(\vec{u},\vec{v}\) indépendants.
  • Cartésienne plan : \(\alpha x+\beta y+\gamma z=\delta\) avec normale \(\vec{n}=(\alpha,\beta,\gamma)\).
Test : pour une droite/plan, vérifier indépendance des directions et cohérence avec le point de passage.

11. Exercices types Bac (corrigés)

Exo 1 — Sous-espace (2 pts)

Montrer que \(F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x-2y+z=0\}\) est un sous-espace.

\(0\in F\). Stabilité : pour \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\), si \(u,v\in F\) alors \(x_u-2y_u+z_u=0\) et \(x_v-2y_v+z_v=0\). Donc \((\lambda u+\mu v)\) vérifie aussi l’équation (linéarité), d’où sous-espace.

Exo 2 — Indépendance (3 pts)

Dans \(\mathbb{R}^3\), \(u=(1,0,1)\), \(v=(0,1,1)\), \(w=(1,1,2)\). Indépendants ?

\(\alpha u+\beta v+\gamma w=0 \Rightarrow \begin{cases}\alpha+\gamma=0\\ \beta+\gamma=0\\ \alpha+\beta+2\gamma=0\end{cases}\) → troisième équation = somme des deux premières ⇒ rang 2 ⇒ \(\alpha=\beta=-\gamma\) ≠ (0,0,0) sauf si \(\gamma=0\). Donc dépendants.

Exo 3 — Base & coordonnées (3 pts)

Dans \(\mathbb{R}^2\), \(\mathcal{B}=\{(1,1),(1,-1)\}\). Écrire \([u]_{\mathcal{B}}\) pour \(u=(3,1)\).

\(u=\alpha(1,1)+\beta(1,-1)\Rightarrow (\alpha+\beta,\alpha-\beta)=(3,1)\) ⇒ \(\alpha=2,\ \beta=1\). Donc \([u]_{\mathcal{B}}=(2,1)\).

Exo 4 — Gauss & solutions (4 pts)

Résoudre \(\begin{cases}x+y+z=1\\ x+2y+3z=2\\ 2x+3y+4z=3\end{cases}\).

Matrice augmentée \(\begin{bmatrix}1&1&1|1\\1&2&3|2\\2&3&4|3\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{Gauss}}\begin{bmatrix}1&1&1|1\\0&1&2|1\\0&0&0|0\end{bmatrix}\). Rang \(=2

Exo 5 — Noyau & image (4 pts)

\(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\), \(f(x,y,z)=(x+y,\,y+z)\). Trouver \(\ker f\), \(\mathrm{Im}\,f\), et vérifier le théorème du rang.

\(\ker f\) : \(x=-y,\ z=-y\Rightarrow \ker f=\mathrm{Vect}((-1,1,-1))\) (dimension 1). \(\mathrm{Im}\,f=\mathbb{R}^2\) (rang 2). Vérif : \(1+2=3=\dim(\mathbb{R}^3)\).

Exo 6 — Plan en ℝ³ (4 pts)

Plan passant par \(A(1,0,2)\) dirigé par \(\vec{u}=(1,1,0)\), \(\vec{v}=(0,1,1)\). Équation cartésienne ?

\(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=(1,1,0)\times(0,1,1)=(1,-1,1)\). Équation : \(1(x-1)-1(y-0)+1(z-2)=0 \Rightarrow x-y+z-3=0\).

12. Annexes : checklists, pièges & mémo

Checklist — Tester un sous-espace

  1. Le vecteur nul \(0\) appartient-il ?
  2. Stabilité par addition \(u+v\) ?
  3. Stabilité par homothétie \(\lambda u\) ?

Checklist — Indépendance

  1. Écrire \(\sum \lambda_i u_i=0\).
  2. Monter le système (ou la matrice) et faire Gauss.
  3. Seule solution \(\lambda_i=0\) ⇒ indépendant ; sinon dépendant.

Checklist — Système \(AX=B\)

  1. Gauss → forme échelonnée, compter les pivots (rang).
  2. Comparer rang(\(A\)) et rang(\(A|B\)).
  3. Conclure : unique / infinies / aucune solution.

Erreurs fréquentes

  • Oublier la stabilité par homothétie pour un sous-espace.
  • Confondre « génératrice » et « base » (il faut l’indépendance).
  • Prendre deux directions colinéaires pour un plan.
  • Arrêter Gauss trop tôt (ne pas lire le rang correctement).

Mémo rapide (à coller dans le cahier)

  • \(\dim(\ker f)+\dim(\mathrm{Im}\,f)=\dim(E)\).
  • Famille de \(n\) vecteurs dans \(\mathbb{R}^n\) : indépendante \(\Leftrightarrow\) rang \(=n\) \(\Leftrightarrow\) base.
  • Paramètres libres \(=\ n-\) rang (pour solution d’un système compatible).