Nombres complexes

Nombres complexes — Cours complet (Bac Maths)

Table des matières

1. Introduction et définitions

Les nombres complexes ont été introduits au XVIe siècle pour résoudre des équations du troisième degré. Ils ont été progressivement acceptés et formalisés, notamment par Euler qui a introduit la notation \( i \) pour \( \sqrt{-1} \).

Définition

Un nombre complexe est un nombre de la forme \( z = a + ib \), où :

  • \( a \) et \( b \) sont des nombres réels
  • \( i \) est le nombre imaginaire tel que \( i^2 = -1 \)

L'ensemble des nombres complexes est noté \( \mathbb{C} \).

Parties réelle et imaginaire

Pour \( z = a + ib \) :

  • \( a = \text{Re}(z) \) est la partie réelle de \( z \)
  • \( b = \text{Im}(z) \) est la partie imaginaire de \( z \)

Remarque : Tout nombre réel \( a \) peut s'écrire \( a + i\cdot 0 \), donc \( \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \).

Représentation dans le plan complexe

Le plan complexe (ou plan d'Argand-Cauchy) permet de représenter géométriquement les nombres complexes :

  • L'axe des abscisses représente la partie réelle
  • L'axe des ordonnées représente la partie imaginaire
  • Le point \( M(z) \) a pour coordonnées \( (a, b) \)

2. Les différentes formes d'un nombre complexe

Forme algébrique

\( z = a + ib \)

Avantages : Facile pour les additions et soustractions

Forme trigonométrique

\( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \)

Avantages : Facile pour les multiplications et rotations

Forme exponentielle

\( z = re^{i\theta} \)

Avantages : Très pratique pour les calculs

Module et argument

Pour \( z = a + ib \neq 0 \) :

  • Module : \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \) (distance à l'origine)
  • Argument : \( \arg(z) = \theta \) tel que \( \cos\theta = \frac{a}{|z|} \), \( \sin\theta = \frac{b}{|z|} \)

L'argument est défini modulo \( 2\pi \). On le choisit généralement dans \( ]-\pi, \pi] \) ou \( [0, 2\pi[ \).

Exemple : Passage d'une forme à l'autre

Soit \( z = 1 + i\sqrt{3} \)

Module : \( |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 \)

Argument : \( \cos\theta = \frac{1}{2} \), \( \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \) donc \( \theta = \frac{\pi}{3} \)

Formes :

  • Trigonométrique : \( z = 2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}) \)
  • Exponentielle : \( z = 2e^{i\frac{\pi}{3}} \)

Formules d'Euler

\( \cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \quad \) et \( \quad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \)

3. Opérations sur les complexes

3.1 Opérations algébriques

Opération Formule Commentaire
Addition \( (a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d) \) Comme les vecteurs dans le plan
Multiplication \( (a+ib)(c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc) \) En développant avec \( i^2 = -1 \)
Inverse \( \frac{1}{a+ib} = \frac{a}{a^2+b^2} - i\frac{b}{a^2+b^2} \) En multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué
Division \( \frac{a+ib}{c+id} = \frac{(a+ib)(c-id)}{c^2+d^2} \) Même méthode que pour l'inverse

3.2 Opérations en forme exponentielle

Soient \( z = re^{i\theta} \) et \( z' = r'e^{i\theta'} \) :

  • Multiplication : \( z \cdot z' = rr' e^{i(\theta + \theta')} \)
  • Division : \( \frac{z}{z'} = \frac{r}{r'} e^{i(\theta - \theta')} \)
  • Puissance : \( z^n = r^n e^{in\theta} \) (Formule de Moivre)
  • Racine n-ième : Les racines n-ièmes de \( z \) sont \( \sqrt[n]{r} e^{i\frac{\theta + 2k\pi}{n}} \), \( k = 0, 1, ..., n-1 \)

Exemple : Multiplication géométrique

Multiplier par \( i = e^{i\frac{\pi}{2}} \) revient à faire une rotation de \( \frac{\pi}{2} \) dans le sens trigonométrique.

Multiplier par \( 2i = 2e^{i\frac{\pi}{2}} \) revient à faire une rotation de \( \frac{\pi}{2} \) et une homothétie de rapport 2.

4. Conjugué et module

Conjugué d'un complexe

Le conjugué de \( z = a + ib \) est \( \overline{z} = a - ib \).

Géométriquement, c'est le symétrique par rapport à l'axe des réels.

Propriétés du conjugué

  • \( \overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'} \)
  • \( \overline{z \cdot z'} = \overline{z} \cdot \overline{z'} \)
  • \( \overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{z'}} \) (si \( z' \neq 0 \))
  • \( z + \overline{z} = 2\text{Re}(z) \)
  • \( z - \overline{z} = 2i\text{Im}(z) \)
  • \( z \cdot \overline{z} = |z|^2 \)

Propriétés du module

  • \( |z| \geq 0 \) et \( |z| = 0 \iff z = 0 \)
  • \( |z \cdot z'| = |z| \cdot |z'| \)
  • \( \left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|} \) (si \( z' \neq 0 \))
  • \( |z^n| = |z|^n \)
  • Inégalité triangulaire : \( |z + z'| \leq |z| + |z'| \)
  • \( |\text{Re}(z)| \leq |z| \) et \( |\text{Im}(z)| \leq |z| \)

Démonstration de l'inégalité triangulaire

Soient \( z = a + ib \) et \( z' = a' + ib' \).

\( |z + z'|^2 = (a + a')^2 + (b + b')^2 = a^2 + b^2 + a'^2 + b'^2 + 2(aa' + bb') \)

Or \( aa' + bb' \leq \sqrt{a^2 + b^2} \sqrt{a'^2 + b'^2} = |z||z'| \) (inégalité de Cauchy-Schwarz)

Donc \( |z + z'|^2 \leq |z|^2 + |z'|^2 + 2|z||z'| = (|z| + |z'|)^2 \)

D'où \( |z + z'| \leq |z| + |z'| \).

Cas d'égalité : \( |z + z'| = |z| + |z'| \) si et seulement si \( \arg(z) \equiv \arg(z') [2\pi] \), c'est-à-dire si les points correspondants sont alignés avec l'origine.

5. Racines n-ièmes de l'unité

Définition

Les racines n-ièmes de l'unité sont les solutions complexes de l'équation \( z^n = 1 \).

Elles sont données par : \( \omega_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}} \), pour \( k = 0, 1, 2, ..., n-1 \).

L'ensemble des racines n-ièmes de l'unité est noté \( U_n \).

Propriétés des racines n-ièmes de l'unité

  • Elles sont situées sur le cercle unité et forment un polygone régulier à n côtés
  • La somme des racines n-ièmes de l'unité est nulle : \( \sum_{k=0}^{n-1} \omega_k = 0 \)
  • Le produit des racines n-ièmes de l'unité est \( (-1)^{n-1} \)
  • Si \( \omega \) est une racine n-ième de l'unité, alors \( \overline{\omega} = \omega^{-1} \) est aussi une racine n-ième de l'unité

Exemple : Racines cubiques de l'unité

Les racines de \( z^3 = 1 \) sont :

  • \( \omega_0 = 1 \)
  • \( \omega_1 = e^{i\frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \)
  • \( \omega_2 = e^{i\frac{4\pi}{3}} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \)

On note souvent \( j = \omega_1 \). On a alors \( 1 + j + j^2 = 0 \).

Application : Formule de sommation géométrique

Si \( \omega \) est une racine n-ième de l'unité différente de 1, alors :

\( 1 + \omega + \omega^2 + \cdots + \omega^{n-1} = 0 \)

Cette propriété est souvent utilisée pour simplifier des sommes complexes.

Attention : \( |z| = 1 \) n'implique pas que \( z \) soit une racine n-ième de l'unité. Contre-exemple : \( e^i \) n'est pas une racine n-ième de l'unité car \( \pi \) est irrationnel.

6. Transformations géométriques

Expression complexe des transformations

Soient \( M(z) \) et \( M'(z') \) deux points du plan complexe :

Transformation Expression complexe
Translation de vecteur \( \overrightarrow{u}(a) \) \( z' = z + a \)
Homothétie de centre \( \Omega(\omega) \), rapport \( k \) \( z' - \omega = k(z - \omega) \)
Rotation de centre \( \Omega(\omega) \), angle \( \theta \) \( z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega) \)
Symétrie centrale de centre \( \Omega(\omega) \) \( z' = 2\omega - z \)
Symétrie axiale d'axe OX (axe réel) \( z' = \overline{z} \)
Symétrie axiale d'axe OY (axe imaginaire) \( z' = -\overline{z} \)

Exemple : Composition de transformations

La transformation \( z' = iz + 1 \) est la composée d'une rotation de centre O d'angle \( \frac{\pi}{2} \) et d'une translation de vecteur \( \overrightarrow{u}(1) \).

On peut aussi l'interpréter comme une rotation de centre \( \omega \) tel que \( \omega = i\omega + 1 \), soit \( \omega = \frac{1}{1-i} = \frac{1+i}{2} \).

Formules des demi-arcs

\( e^{i\alpha} + e^{i\beta} = 2\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) e^{i\frac{\alpha+\beta}{2}} \)

\( e^{i\alpha} - e^{i\beta} = 2i\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) e^{i\frac{\alpha+\beta}{2}} \)

7. Équations du second degré

Résolution dans \( \mathbb{C} \)

Soit l'équation \( az^2 + bz + c = 0 \) avec \( a \neq 0 \).

On calcule le discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \).

Cas 1 : \( \Delta \geq 0 \)

Deux solutions réelles (éventuellement confondues) :

\( z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)

Cas 2 : \( \Delta < 0 \)

Deux solutions complexes conjuguées :

\( z_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a} \)

Relations entre coefficients et racines

Si \( z_1 \) et \( z_2 \) sont les racines de \( az^2 + bz + c = 0 \), alors :

\( z_1 + z_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{et} \quad z_1 z_2 = \frac{c}{a} \)

Ces relations sont valables même lorsque les racines sont complexes.

Exemple : Équation à coefficients complexes

Résoudre \( z^2 - (3+i)z + (2+2i) = 0 \).

Discriminant : \( \Delta = (3+i)^2 - 4(2+2i) = 9 + 6i + i^2 - 8 - 8i = 0 - 2i \).

Racine carrée de \( \Delta \) : On cherche \( \delta = x + iy \) tel que \( \delta^2 = -2i \).

En identifiant parties réelle et imaginaire, on trouve \( \delta = 1 - i \) ou \( \delta = -1 + i \).

Solutions : \( z = \frac{3+i \pm (1-i)}{2} \), soit \( z_1 = 2 \), \( z_2 = 1+i \).

8. Applications géométriques

8.1 Points alignés

Trois points distincts \( M_1(z_1) \), \( M_2(z_2) \), \( M_3(z_3) \) sont alignés si et seulement si :

\( \frac{z_1 - z_2}{z_3 - z_2} \in \mathbb{R} \)

Ce qui équivaut à dire que l'argument de ce quotient est 0 modulo \( \pi \).

8.2 Points cocycliques ou alignés

Quatre points distincts \( A(z_A) \), \( B(z_B) \), \( C(z_C) \), \( D(z_D) \) sont cocycliques ou alignés si et seulement si :

\( \frac{z_C - z_A}{z_C - z_B} \times \frac{z_D - z_B}{z_D - z_A} \in \mathbb{R} \)

Cette expression est appelée birapport des quatre points.

Exemple : Angle orienté de vecteurs

L'angle orienté \( (\overrightarrow{M_1M_2}, \overrightarrow{M_1M_3}) \) est donné par :

\( \arg\left(\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}\right) \mod 2\pi \)

Cette formule est très utile pour démontrer des relations angulaires.

8.3 Cercles et droites

Une droite passant par \( A(z_A) \) et de vecteur directeur \( \overrightarrow{u}(d) \) a pour équation :

\( \frac{z - z_A}{d} \in \mathbb{R} \)

Un cercle de centre \( \Omega(\omega) \) et de rayon \( R \) a pour équation :

\( |z - \omega| = R \)

9. Applications trigonométriques

Formule de Moivre

Pour tout \( n \in \mathbb{Z} \) et tout \( \theta \in \mathbb{R} \) :

\( (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \)

Formules d'Euler généralisées

En développant \( (e^{i\theta})^n = e^{in\theta} \) avec la formule du binôme, on obtient :

\( \cos(n\theta) = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom{n}{2k} (-1)^k \cos^{n-2k}(\theta) \sin^{2k}(\theta) \)
\( \sin(n\theta) = \sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} \binom{n}{2k+1} (-1)^k \cos^{n-2k-1}(\theta) \sin^{2k+1}(\theta) \)

Application : Linéarisation

Pour linéariser \( \cos^p(\theta) \sin^q(\theta) \), on exprime \( \cos\theta \) et \( \sin\theta \) avec \( e^{i\theta} \) et \( e^{-i\theta} \), puis on développe.

Exemple : \( \cos^3\theta = \left(\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}(e^{3i\theta} + 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} + e^{-3i\theta}) = \frac{1}{4}\cos(3\theta) + \frac{3}{4}\cos\theta \).

Exemple : Calcul de \( \cos(3\theta) \) et \( \sin(3\theta) \)

D'après Moivre : \( (\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos(3\theta) + i\sin(3\theta) \)

En développant : \( \cos^3\theta + 3i\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta - i\sin^3\theta \)

Par identification :

  • \( \cos(3\theta) = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \)
  • \( \sin(3\theta) = 3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta \)

10. Exercices types

Exercice 1 — Formes d'un complexe

Soit \( z = \frac{1+i}{1-i\sqrt{3}} \). Donner les formes algébrique, trigonométrique et exponentielle de \( z \).

Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur pour la forme algébrique.

Exercice 2 — Équation complexe

Résoudre dans \( \mathbb{C} \) : \( z^2 - 2z\cos\theta + 1 = 0 \). Discuter selon les valeurs de \( \theta \).

Calculer le discriminant et distinguer les cas selon son signe.

Exercice 3 — Géométrie

Soient \( A(1) \), \( B(i) \), \( C(-1) \), \( D(-i) \) quatre points du plan complexe. Démontrer que ABCD est un carré.

Calculer les distances et les angles entre les points.

Exercice 4 — Racines n-ièmes

Calculer les racines cinquièmes de \( -1 + i\sqrt{3} \) sous forme exponentielle.

Commencer par mettre le nombre sous forme exponentielle.

Exercice 5 — Transformation

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation \( z' = (1+i)z + 2 - i \).

Chercher les points fixes éventuels.

🔍 Un résultat important : Toute transformation complexe de la forme \( z' = az + b \) avec \( a \neq 0 \) est une similitude directe. Si \( |a| = 1 \), c'est une isométrie (déplacement).