Structures algébriques

0. Introduction & méthode Bac

En Bac SM, on manipule surtout groupes, anneaux et corps : vérifier les axiomes, donner des exemples, et utiliser ces propriétés pour résoudre des questions (inverses, équations, etc.).

Rédaction type examen

  1. Rappeler la définition visée.
  2. Vérifier dans l’ordre : clôture → associativité → neutre → inverse (→ commutativité si « abélien »).
  3. Conclure explicitement (ex. « Donc (G,*) est un groupe abélien »).

1. Lois de composition interne

Loi interne

Une loi \( \ast \) sur \( E \) est interne si \( \forall (x,y)\in E^2,\ x\ast y\in E \).

Propriétés

  • Associativité : \( (x\ast y)\ast z = x\ast(y\ast z) \).
  • Commutativité : \( x\ast y = y\ast x \).
  • Neutre \( e \) : \( e\ast x = x\ast e = x \).
  • Inverse de \( x \) : \( \exists x': x\ast x' = x'\ast x = e \).

Exemples

  • \((\mathbb{Z},+)\) : neutre 0, inverse \(-a\), commutatif.
  • \((\mathbb{R}^{\ast},\times)\) : neutre 1, inverse \(1/a\), commutatif.
  • \((M_n(\mathbb{R}),\times)\) : associatif, neutre \(I_n\), non commutatif.
Piège : « neutre à gauche » n’implique pas forcément neutre à droite. Au Bac, on vise un neutre bilatéral.

2. Monoïdes

Définition

\((M,\ast)\) est un monoïde si \( \ast \) est associative et s’il existe un neutre \( e\in M \).

Unités : éléments inversibles. Dans \((\mathbb{Z},\times)\), unités \( \{\pm1\} \). Dans \((\mathbb{Z}_n,\times)\), unités = classes \([a]\) avec \( \gcd(a,n)=1 \).

3. Groupes (Abéliens, sous-groupes)

Définition

\((G,\ast)\) est un groupe si \( \ast \) est associative, admet un neutre \( e \) et tout \( x\in G \) admet un inverse.

Propriétés fondamentales

  • Unicité du neutre et de l’inverse.
  • Simplifiabilité : \( ax=ay \Rightarrow x=y \).
  • Équations : \( ax=b \) a une unique solution \( x=a^{-1}b \).
Sous-groupe : non-vide, stable par produit et inverse (critère pratique).

Exemples

  • \((\mathbb{Z},+)\) groupe abélien.
  • \((\mathbb{R}^{\ast},\times)\) abélien.
  • \(GL_n(\mathbb{R})\) (matrices inversibles) groupe non abélien.

4. Anneaux (unités, diviseurs de zéro)

Définition

Un anneau \((A,+,\cdot)\) : \((A,+)\) groupe abélien, \( \cdot \) associative, distributive sur \( + \). Unitaire si neutre multiplicatif \(1\). Commutatif si \(ab=ba\).

Unités & diviseurs de zéro

Unité : \(u\) inversible pour \( \cdot \). Diviseur de zéro : \(a\neq0\) tel que \( \exists b\neq0,\ ab=0 \).

Anneau intègre

Sans diviseurs de zéro ( \(ab=0 \Rightarrow a=0\) ou \(b=0\) ).

Exemples

  • \(\mathbb{Z}\) : commutatif unitaire, intègre; unités \( \pm1 \).
  • \(\mathbb{Z}_n\) : intègre ssi \( n \) premier; unités \([a]\) avec \( \gcd(a,n)=1 \).
  • \(M_n(\mathbb{R})\) : non commutatif; diviseurs de zéro possibles.
Attention : dans \(\mathbb{Z}_n\), on ne « divise » que par une classe inversible ( \( \gcd(a,n)=1 \) ).

5. Corps

Définition

Un corps est un anneau commutatif unitaire où tout élément non nul est inversible.

Exemples

  • \(\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\) : corps classiques.
  • \(\mathbb{Z}_p\) est un corps ssi \( p \) est premier.

6. Morphismes & isomorphismes

Définitions

  • Groupes : \(f:G\to H\) morphisme si \(f(x\ast y)=f(x)f(y)\).
  • Anneaux : \(f(a+b)=f(a)+f(b)\) et \(f(ab)=f(a)f(b)\) (souvent \(f(1)=1\)).
  • Isomorphisme : morphisme bijectif.

Exemple

\(\ln:(\mathbb{R}^{+},\times)\to(\mathbb{R},+)\) est un isomorphisme (inverse \(\exp\)).

7. Exemples standards (ℤ, ℤₙ, matrices, polynômes)

Dans \(\mathbb{Z}_n\)

  • \([a]\) inversible \(\iff \gcd(a,n)=1\).
  • Diviseurs de zéro si \(n\) non premier (ex. \([2][3]=[0]\) dans \(\mathbb{Z}_6\)).

Matrices \(M_n(\mathbb{R})\)

  • \((M_n(\mathbb{R}),+)\) groupe abélien.
  • \((M_n(\mathbb{R}),\times)\) monoïde; \(GL_n(\mathbb{R})\) groupe.

Polynômes \(\mathbb{R}[X]\)

  • Anneau commutatif unitaire, intègre.
  • Unités : constantes non nulles.

8. Exercices types corrigés

Exo 1 — Tester une structure de groupe

Sur \((\mathbb{R}^{\ast},\ast)\), \(x\ast y=\dfrac{xy}{2}\). \((\mathbb{R}^{\ast},\ast)\) est-il un groupe ?

Clôture : ok. Associativité : \(x\ast(y\ast z)=xyz/4=(x\ast y)\ast z\). Neutre : \(e=2\). Inverse de \(x\) : \(4/x\). Commutatif. Conclusion : groupe abélien.

Exo 2 — Unités & diviseurs de zéro dans \(\mathbb{Z}_8\)

Unités : \([1],[3],[5],[7]\) (copremiers à 8). Diviseurs de zéro : \([2][4]=[0]\).

9. Annexes & erreurs fréquentes

À éviter

  • Confondre neutre ↔ inverse.
  • Oublier la distributivité pour définir un anneau.
  • Penser que tout anneau est un corps.
  • « Diviser » dans \(\mathbb{Z}_n\) sans vérifier l’inversibilité.