Suites Numériques

Suites numériques — Cours détaillé (Bac Maths)

Table des matières

1. Introduction

Une suite numérique est une succession ordonnée de nombres indexée par les entiers naturels. Les suites servent à modéliser des processus répétés (intérêts, itérations algorithmiques), à approcher des quantités et constituent une étape clé avant l'étude des fonctions et des séries.

Ce cours explique comment reconnaître, étudier et démontrer le comportement (convergence/divergence) d'une suite, avec des méthodes utiles pour le Bac.

2. Définitions de base

Définition. Une suite est une application \(u:\mathbb{N}\to\mathbb{R}\). On note \( (u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) ou simplement \((u_n)\). Le terme général est \(u_n\).

2.1 Modes de définition

On rencontre deux formes courantes :

  • Explicite : \(u_n=f(n)\). Exemple : \(u_n=\dfrac{1}{n+1}\).
  • Récurrente : \(u_0\) donné, puis \(u_{n+1}=F(u_n,n)\). Exemple : \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2}\) avec \(u_0=4\).

2.2 Notions élémentaires

On dira qu'une suite est :

  • majorée si \(\exists M\in\mathbb{R}\) tel que \(\forall n,\ u_n\le M\).
  • minorée si \(\exists m\in\mathbb{R}\) tel que \(\forall n,\ u_n\ge m\).
  • bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

3. Bornitude et monotonie

3.1 Monotonie

Une suite \((u_n)\) est croissante si \(\forall n,\ u_n\le u_{n+1}\). Elle est décroissante si \(\forall n,\ u_n\ge u_{n+1}\). On parle de strictement croissante/décroissante si inégalités strictes.

Remarque : une suite peut ne pas être monotone (ex: \(u_n=(-1)^n\)).

3.2 Théorème des suites monotones

Si \((u_n)\) est croissante et majorée alors \((u_n)\) converge. Plus précisément, \(\lim_{n\to\infty} u_n = \sup\{u_n : n\in\mathbb{N}\}.\)
De même, si \((u_n)\) est décroissante et minorée alors elle converge vers son infimum.
Esquisse : pour tout \(\varepsilon>0\) la borne supérieure \(\ell\) satisfait \(\exists N\) tel que \(u_N>\ell-\varepsilon\). Puis pour \(n\ge N\) on a \(\ell-\varepsilon
Exemple : \(u_n=1-\dfrac{1}{n}\) est croissante et majorée par 1 → \(\lim u_n=1.\)

4. Convergence — Définitions et critères

4.1 Définition (ε–N)

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}u_n=\ell\) signifie : \(\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N}\) tel que \(\forall n\ge N,\ |u_n-\ell|<\varepsilon\).

4.2 Suites divergentes

On dit que \(u_n\to+\infty\) si \(\forall M>0,\ \exists N\) tel que \(n\ge N \Rightarrow u_n>M\). De même pour \(-\infty\).

4.3 Outils pratiques

  • Théorème des gendarmes : si \(a_n\le b_n\le c_n\) et \(a_n,c_n\to L\) alors \(b_n\to L\).
  • Critère de Cauchy : dans \(\mathbb{R}\), suite de Cauchy ⇔ suite convergente.
Exemple : \(u_n=\dfrac{n}{n+1}\). En divisant par \(n\) on obtient \(u_n=\dfrac{1}{1+1/n}\to 1.\)
Attention : si une suite a deux sous-suites de limites différentes, alors elle diverge (ex : \(u_n=(-1)^n\) a sous-suite 1 et -1).

5. Suites adjacentes

Deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont dites adjacentes si :
  1. l'une est croissante, l'autre décroissante ;
  2. \(\displaystyle u_n-v_n\to 0\) (la différence tend vers 0).
Si \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes alors elles convergent et ont la même limite.
Méthode de dichotomie: on construit deux suites encadrantes qui se rapprochent → limite commune (utilisé pour encadrer racines).

6. Suites arithmétiques et géométriques

6.1 Suite arithmétique

\((u_n)\) est arithmétique si \(u_{n+1}-u_n=r\) (raison \(r\)). Alors : \[ u_n=u_0+nr. \]
\(u_0=3,\ r=2 \Rightarrow u_n=3+2n.\) Limite : diverge si \(r\ne0\) (±∞ selon le signe).

6.2 Suite géométrique

\((u_n)\) est géométrique si \(u_{n+1}=q\,u_n\) (raison \(q\)). Alors : \[ u_n = u_0 q^n. \]
  • Si \(|q|<1\) alors \(u_n\to 0\).
  • Si \(q=1\) alors suite constante.
  • Si \(|q|>1\) alors la suite diverge (croissance/explosion exponentielle).
Application financière : capital après \(n\) périodes avec taux \(q=1+i\) : \(C_n=C_0(1+i)^n\).

7. Suites arithmético-géométriques

Suite de la forme \(u_{n+1}=a u_n + b\) (avec \(a,b\in\mathbb{R}\)). Ce type apparaît souvent en suites récurrentes linéaires du 1er ordre.

Méthode de résolution

On cherche un point fixe \(c\) tel que \(c = a c + b\). Si \(a\ne 1\), \(c=\dfrac{b}{1-a}\). Poser \(v_n=u_n-c\) donne :

\(v_{n+1}=a v_n \) donc \( v_n = a^n v_0\).

Finalement :

\( \displaystyle u_n = a^n(u_0-c) + c.\)
Si \(|a|<1\) alors \(a^n\to0\) donc \(u_n\to c\). Si \(|a|>1\) la suite diverge (sauf si \(u_0=c\)).
\(u_{n+1}=0{.}6u_n+5,\ u_0=0\). Ici \(c=\dfrac{5}{1-0.6}=12{.}5\). Donc \(u_n=0.6^n(0-12.5)+12.5\to 12.5.\)

8. Sommes et produits remarquables

8.1 Sommes finies classiques

\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\)
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\)

8.2 Somme géométrique

\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} a^k = \frac{1-a^{n+1}}{1-a},\quad a\ne1.\)

En particulier, si \(|a|<1\), la somme infinie \(\sum_{k=0}^{\infty} a^k = \dfrac{1}{1-a}.\)

8.3 Somme télescopique

Si une somme s'écrit \(S_n=\sum_{k=p}^n (u_{k+1}-u_k)\), alors

\(\displaystyle S_n = u_{n+1}-u_p.\)
Calcul : \(\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^n \left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right) = 1-\dfrac{1}{n+1}.\)

8.4 Produits

Quelques identités utiles :

  • \(\prod_{k=p}^n a = a^{\,n-p+1}\).
  • \(\prod_{k=p}^n \dfrac{u_{k+1}}{u_k} = \dfrac{u_{n+1}}{u_p}.\)

9. Limites remarquables & hiérarchie des croissances

9.1 Limites usuelles

\(\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n = e\)
\(\lim_{n\to\infty} a^n = 0 \) si \(|a|<1\)

9.2 Hiérarchie de croissance

Lorsque \(n\to\infty\), on a (croissance croissante):

\(\ln n \ll n^\alpha \ll a^n \ll n! \) (pour \(a>1,\ \alpha>0\)).

Pratique pour comparer termes dominants dans des formes \(\dfrac{\infty}{\infty}\).

10. Exercices types (avec indications)

Exercice 1 — Limite rationnelle

Calculer \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{3n^2+2n}{2n^2-n}\).

Diviser numérateur et dénominateur par \(n^2\) → \(\dfrac{3+2/n}{2-1/n}\to \dfrac{3}{2}.\)

Exercice 2 — Suite récurrente (méthode de Newton simplifiée)

Soit \(u_{n+1}=\dfrac{u_n + 2/u_n}{2}\) avec \(u_0>0\). Montrer que \(u_n\to\sqrt{2}\).

Montrer qu'à partir d'une valeur initiale correcte, la suite est décroissante et minorée par \(\sqrt2\). Trouver le point fixe \(\ell\) tel que \(\ell = \dfrac{\ell+2/\ell}{2}\Rightarrow \ell^2=2.\)

Exercice 3 — Suite connue

Montrer que \(\displaystyle v_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\) converge vers \(e\).

Utiliser inégalités classiques et montrer convergence monotone croissante et majorée.

Exercice 4 — Somme télescopique

Calculer \(S_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k(k+1)}\) et sa limite.

Décomposer \(1/(k(k+1))\) et sommer → \(S_n=1-\dfrac{1}{n+1}\), limite 1.

Exercice 5 — Arithmético-géométrique

Soit \(u_{n+1}=0.6 u_n+5,\ u_0=0\). Étudier la limite.

Point fixe \(c=12.5\). Formule explicite \(u_n=0.6^n(u_0-c)+c\Rightarrow u_n\to12.5.\)

11. Stratégies et erreurs fréquentes

  1. Identifier d'abord si la suite est explicite ou récurrente.
  2. Pour récurrentes : chercher les points fixes et étudier monotonicité & bornitude.
  3. Pour formes rationnelles : diviser par le terme dominant (plus haute puissance de \(n\)).
  4. Utiliser le théorème des gendarmes lorsqu'on a un encadrement.
  5. Attention aux suites oscillantes (ex : \((-1)^n\)) — elles ne convergent pas si elles n'ont pas une sous-suite constante.
Erreur classique : confondre valeur limite et valeur prise par la suite à un rang fini \(n\). La propriété porte sur le comportement "à l'infini".

12. Synthèse — Ce qu'il faut retenir pour le Bac

  • Savoir définir bornée, monotone, convergente.
  • Montrer convergence en prouvant monotonie + bornitude (méthode privilégiée).
  • Connaître les suites arithmétiques et géométriques (formules fermées).
  • Maîtriser les sommes remarquables (somme géométrique, sommes de puissances, télescopique).
  • Savoir appliquer les limites remarquables (ex: \((1+1/n)^n\to e\)).

Exercice (type examen) — Somme télescopique (corrigé détaillé)

Soit pour tout entier \(n\ge 1\) :

\(S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}\).

1) Décomposition en fractions simples

Cherchons \(A,B\) tels que \(\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{A}{k}+\dfrac{B}{k+1}\).

Multipliant par \(k(k+1)\) on trouve l'identité \(1=(A+B)k + A\). En identifiant les coefficients : \(A=1,\ B=-1\).

\(\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}.\)

2) Calcul de \(S_n\) (télescopage)

Remplaçons :

\( \displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n}\Big(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\Big). \)

Écrivons les premiers termes :

\((1-\tfrac12) + (\tfrac12-\tfrac13) + (\tfrac13-\tfrac14) + \cdots + (\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{n+1})\).

Annulation en chaîne : il reste \(1-\dfrac{1}{n+1}\). Donc

\( \boxed{S_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}}. \)

3) Limite

Comme \(\dfrac{1}{n+1}\to 0\) quand \(n\to\infty\), on a :

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_n = 1.\)

Remarques

  • La suite \((S_n)\) est croissante : \(S_{n+1}-S_n=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}>0\), et majorée par 1, donc converge (théorème des suites monotones).
  • Erreur (reste) : \(R_n = 1 - S_n = \dfrac{1}{n+1}\).
  • Variantes de l'exercice : \(\sum \dfrac{1}{k(k+2)}\) ou \(\sum \dfrac{k}{(k+1)!}\) se traitent aussi par télescopage après décomposition.