الدوال الأصلية والتكامل

1) تمهيد وأهداف درس الدوال الأصلية والتكامل

في دروس الاشتقاق درسنا كيف ننتقل من دالة إلى مشتقتها. في هذا الدرس سنقوم بالعكس: انطلاقاً من دالة معينة نحاول إيجاد دالة مشتقتها هي الدالة الأصلية المعطاة. هذه الدالة الجديدة تسمى دالة أصلية.

كما ندرس التكامل المحدد الذي يربط بين الدوال الأصلية والمساحة تحت المنحنى ويستعمل لحساب مجالات ومساحات في الهندسة والفيزياء والاحتمالات.

أهداف التلميذ في هذا الدرس

فهم مفهوم الدالة الأصلية على مجال وما يعنيه الشرط \( F'(x) = f(x) \).
حفظ واستعمال جدول الدوال الأصلية الأساسية.
استعمال خطية الدالة الأصلية لحساب دالة أصلية لتركيبات بسيطة.
فهم تعريف التكامل المحدد على مجال مغلق واستعماله في الحساب.
استعمال العلاقة بين التكامل والدالة الأصلية: \[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a). \]
استخدام التكامل لحساب مساحة الحيز المحصور بين منحنى ومحور فواصل أو بين منحنيين.
اعتماد منهجية واضحة في تمارين الباك: التعريف، اختيار الدالة الأصلية، التطبيق العددي، التفسير الهندسي.

فكرة عامة

الاشتقاق: ينطلق من دالة \( F \) ليعطي \( f = F' \).
التكامل: ينطلق من دالة \( f \) ليعيدنا إلى دالة أصلية \( F \) بحيث \( F' = f \).

2) تعريف الدالة الأصلية ووجودها

تعريف

لتكن \( f \) دالة معرفة على مجال \( I \). نقول إن \( F \) دالة أصلية لـ \( f \) على المجال \( I \) إذا كانت:

1) الدالة \( F \) قابلة للاشتقاق على \( I \).
2) ولكل \( x \) من \( I \) لدينا: \[ F'(x) = f(x). \]

ملاحظات مهمة

إذا كانت \( F \) دالة أصلية لـ \( f \) على \( I \)، فإن أي دالة من الشكل: \[ G(x) = F(x) + C \] حيث \( C \) ثابت حقيقي، هي أيضاً دالة أصلية لـ \( f \) على نفس المجال.
إذا كانت لـ \( f \) دالة أصلية واحدة على مجال مفتوح، فإن كل الدوال الأصلية الأخرى تختلف عنها بثابت فقط.

أمثلة

الدالة \( F(x) = \dfrac{x^2}{2} \) دالة أصلية لـ \( f(x) = x \) على \( \mathbb{R} \)، لأن: \[ F'(x) = x. \]
الدوال: \[ F(x) = \frac{x^2}{2} + 3,\quad G(x) = \frac{x^2}{2} - 5 \] كلها دوال أصلية لـ \( f(x) = x \) على \( \mathbb{R} \).

في التمارين، عندما يُطلب «دالة أصلية» لا حاجة لكتابة ثابت +\( C \) إلا إذا كان مطلوباً تعميمياً. غالباً نختار واحدة «نموذجية»؛ لكن عند استعمال التكامل من \( a \) إلى \( b \) فإن الثابت يختفي تلقائياً.

3) جدول الدوال الأصلية الأساسية

الدوال الأصلية للدوال المألوفة (على مجالاتها الطبيعية)

\( f(x) \)	مجال التعريف	دالة أصلية \( F(x) \)
\( k \) (ثابت حقيقي)	\( \mathbb{R} \)	\( F(x) = kx \)
\( x^n \) حيث \( n \neq -1 \)	\( \mathbb{R} \) أو مجال مناسب	\( F(x) = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \)
\( \dfrac{1}{x} \)	\( \mathbb{R}^\* \)	\( F(x) = \ln\|x\| \)
\( \mathrm{e}^x \)	\( \mathbb{R} \)	\( F(x) = \mathrm{e}^x \)
\( \sin x \)	\( \mathbb{R} \)	\( F(x) = -\cos x \)
\( \cos x \)	\( \mathbb{R} \)	\( F(x) = \sin x \)
\( \dfrac{1}{1+x^2} \)	\( \mathbb{R} \)	\( F(x) = \arctan x \)

يمكن أيضاً استعمال دوال أصلية أخرى تختلف بثابت، فالنتيجة في التكامل المحدد لا تتغير.

خطية الدالة الأصلية

إذا كانت \( F_1 \) دالة أصلية لـ \( f_1 \) و\( F_2 \) دالة أصلية لـ \( f_2 \) على نفس المجال، فإن لكل عددين حقيقيين \( \alpha,\beta \) تكون:

\[ G(x) = \alpha F_1(x) + \beta F_2(x) \]

دالة أصلية لـ:

\[ g(x) = \alpha f_1(x) + \beta f_2(x). \]

مثال تطبيقي

نريد دالة أصلية لـ: \[ f(x) = 3x^2 - 4x + 1. \]

نكتب: \[ f(x) = 3x^2 + (-4x) + 1. \]

دالة أصلية لـ \( 3x^2 \) هي \( x^3 \)، لأن \( (x^3)' = 3x^2 \).
دالة أصلية لـ \( -4x \) هي \( -2x^2 \).
دالة أصلية لـ \( 1 \) هي \( x \).

إذن: \[ F(x) = x^3 - 2x^2 + x \] دالة أصلية لـ \( f \) على \( \mathbb{R} \).

4) تقنيات بسيطة لحساب الدوال الأصلية

1) استخراج الثابت

إذا كانت \( F \) دالة أصلية لـ \( f \) على مجال \( I \)، فإن لكل عدد حقيقي \( k \) تكون:

\[ kF \]

دالة أصلية لـ:

\[ kf \]

على المجال نفسه.

2) مجموع الدوال

إذا كانت \( F_1 \) دالة أصلية لـ \( f_1 \) و\( F_2 \) دالة أصلية لـ \( f_2 \)، فإن:

\[ F_1 + F_2 \]

دالة أصلية لـ:

\[ f_1 + f_2. \]

3) تغيير بسيط في المتغيّر من الشكل \( ax + b \)

إذا كانت \( F \) دالة أصلية لـ \( f \) على مجال \( J \)، وإذا كانت:

\[ g(x) = f(ax + b) \]

حيث \( a \neq 0 \)، فإن الدالة:

\[ G(x) = \frac{1}{a} F(ax + b) \]

هي دالة أصلية لـ \( g \) على المجال الذي يكون فيه \( ax + b \) داخل \( J \).

مثال على تغيير المتغيّر

نريد دالة أصلية لـ: \[ f(x) = \cos(2x + 1). \]

نعلم أن دالة أصلية لـ \( \cos u \) هي \( \sin u \). نأخذ: \[ u = 2x + 1. \]

حسب القاعدة السابقة، دالة أصلية لـ \( \cos(2x + 1) \) هي: \[ F(x) = \frac{1}{2}\sin(2x + 1). \]

5) تعريف التكامل المحدد وعلاقته بالدالة الأصلية

تعريف (باستعمال الدالة الأصلية)

لتكن \( f \) دالة مستمرة على المجال المغلق \( [a,b] \). نختار دالة أصلية \( F \) لـ \( f \) على مجال يحتوي \( [a,b] \).

نعرّف التكامل المحدد لـ \( f \) من \( a \) إلى \( b \) بالعدد:

\[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a). \]

مبرهنة أساسية في التحليل (صيغة مبسطة)

إذا كانت \( f \) مستمرة على \( [a,b] \)، فإن لها دالة أصلية على هذا المجال، وكل دالة أصلية تعطي نفس القيمة للتكامل المحدد:

\[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a), \]

حيث \( F \) أي دالة أصلية لـ \( f \) على مجال يحتوي \( [a,b] \).

في الحساب العملي للتكامل المحدد:

نوجد دالة أصلية \( F \) لـ \( f \).
نحسب \( F(b) \) و\( F(a) \).
نطرح: \[ F(b) - F(a). \]

مثال بسيط

احسب: \[ \int_0^2 (3x^2 - 4)\,\mathrm{d}x. \]

نبحث عن دالة أصلية: \[ F(x) = x^3 - 4x \] لأن: \[ F'(x) = 3x^2 - 4. \]

إذن: \[ \int_0^2 (3x^2 - 4)\,\mathrm{d}x = F(2) - F(0) = (8 - 8) - (0 - 0) = 0. \]

6) خواص التكامل المحدد على مجال مغلق

خواص أساسية

لتكن \( f \) و\( g \) دالتين مستمرتين على \( [a,b] \)، و\( \lambda \) عدداً حقيقياً:

الخطية: \[ \int_a^b (f(x) + g(x))\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x + \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x, \] \[ \int_a^b \lambda f(x)\,\mathrm{d}x = \lambda \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x. \]
عكس حدود التكامل: \[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = - \int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x. \]
إضافة حدود: إذا كان \( a \le c \le b \): \[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x + \int_c^b f(x)\,\mathrm{d}x. \]

الرتابـة والإشارة

إذا كانت \( f(x) \ge 0 \) لكل \( x \) من \( [a,b] \) فإن: \[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \ge 0. \]
إذا كانت \( f(x) \le g(x) \) لكل \( x \) من \( [a,b] \) فإن: \[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \le \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x. \]

هذه الخواص مفيدة في المقارنات وحصر قيم التكاملات، وكذا في التحقق من النتائج.

7) التكامل والمساحة تحت المنحنى

مساحة الحيز المحصور بين منحنى ومحور الفواصل

لتكن \( f \) دالة مستمرة وغير سالبة على \( [a,b] \) (أي \( f(x) \ge 0 \) لكل \( x \) من المجال).

تسمى مساحة الحيز المحصور بين منحنى الدالة \( f \)، ومحور الفواصل، والمستقيمين \( x = a \) و\( x = b \):

\[ A = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x. \]

مساحة بين منحنيين

إذا كانت دالتان \( f \) و\( g \) مستمرتين على \( [a,b] \) وتحققان: \[ f(x) \ge g(x) \] لكل \( x \) من \( [a,b] \)، فإن مساحة الحيز المحصور بين منحنيهما ومحوري الإحداثيين المستقيمين \( x = a \) و\( x = b \) هي:

\[ A = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x. \]

مثال

لتكن \( f(x) = x^2 \) على \( [0,1] \). نحسب مساحة الحيز المحصور بين منحنى \( f \) ومحور الفواصل من 0 إلى 1:

\[ A = \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}. \]

إذا كان المنحنى أسفل محور الفواصل (أي \( f(x) \le 0 \)) فإن التكامل يكون سالباً، لكن المساحة الهندسية تُؤخذ بقيمة موجبة (نأخذ القيمة المطلقة).

8) منهجية عامة في تمارين الدوال الأصلية والتكامل

خطة عمل مقترحة

قراءة نص التمرين جيداً وتحديد المطلوب: دالة أصلية؟ قيمة تكامل؟ مساحة؟
التعرف على شكل الدالة:
- كثير حدود.
- دالة من الشكل \( ax + b \) داخل دالة معروفة (مثل \( \cos(ax + b) \)).
- دالة من الشكل \( \dfrac{1}{x} \) أو \( \mathrm{e}^x \) أو دوال مثلثية بسيطة.
استعمال جدول الدوال الأصلية والخواص (الخطية، استخراج الثابت، تغيير المتغيّر البسيط).
إذا كان بالمطلوب تكامل محدد:
- إيجاد دالة أصلية \( F \).
- حساب \( F(b) - F(a) \).
في المساحة: التأكد من أن الدالة موجبة على المجال أو استعمال فرق دالتين إذا كان الحيز بين منحنيين.
كتابة الخلاصة بعبارة واضحة: «إذن قيمة التكامل هي …» أو «إذن مساحة الحيز هي …» مع الوحدة إذا لزم الأمر.

من الأخطاء الشائعة:

نسيان ثابت \( +C \) في الدالة الأصلية عند الطلب العام (رغم أنه يختفي في التكامل المحدد).
الخلط بين \( \int f(x)\,\mathrm{d}x \) (تكامل غير محدد) و\( \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \) (تكامل محدد).
نسيان تطبيق حدود التكامل أو عكسها دون تغيير الإشارة.

9) تمارين باك — الدوال الأصلية والتكامل (10 تمارين مع حلول مفصلة)

تمرين 1 — دالة أصلية لكثير حدود

أوجد دالة أصلية للدالة: \[ f(x) = 4x^3 - 6x + 2 \] على \( \mathbb{R} \).

نبحث عن دالة \( F \) بحيث: \[ F'(x) = 4x^3 - 6x + 2. \]

دالة أصلية لـ \( 4x^3 \) هي \( x^4 \) لأن \( (x^4)' = 4x^3 \).
دالة أصلية لـ \( -6x \) هي \( -3x^2 \).
دالة أصلية لـ \( 2 \) هي \( 2x \).

إذن يمكن أخذ: \[ F(x) = x^4 - 3x^2 + 2x. \]

وبشكل عام: \[ F(x) = x^4 - 3x^2 + 2x + C \] حيث \( C \) ثابت حقيقي، هو كل الدوال الأصلية الممكنة.

تمرين 2 — دالة أصلية لدالة مثلثية مع تركيب خطي

أوجد دالة أصلية للدالة: \[ f(x) = 5\cos(5x). \]

نعلم أن دالة أصلية لـ \( \cos u \) هي \( \sin u \). نأخذ: \[ u = 5x. \]

دالة أصلية لـ \( \cos(5x) \) هي: \[ \frac{1}{5}\sin(5x). \]

إذن دالة أصلية لـ \( 5\cos(5x) \) هي: \[ F(x) = 5 \cdot \frac{1}{5}\sin(5x) = \sin(5x) + C. \]

تمرين 3 — تكامل كثير حدود على مجال

احسب: \[ \int_1^3 (2x^2 - x + 1)\,\mathrm{d}x. \]

نبحث عن دالة أصلية: \[ F(x) = \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x. \]

لأن: \[ F'(x) = 2x^2 - x + 1. \]

إذن: \[ \int_1^3 (2x^2 - x + 1)\,\mathrm{d}x = F(3) - F(1). \]

نحسب: \[ F(3) = \frac{2}{3}\cdot 27 - \frac{1}{2}\cdot 9 + 3 = 18 - 4.5 + 3 = 16.5. \]

\[ F(1) = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6} \] ثم: \[ F(1) = \frac{7}{6} + 1 = \frac{13}{6}. \]

إذن: \[ \int_1^3 (2x^2 - x + 1)\,\mathrm{d}x = 16.5 - \frac{13}{6} = \frac{33}{2} - \frac{13}{6} = \frac{99 - 13}{6} = \frac{86}{6} = \frac{43}{3}. \]

تمرين 4 — تكامل دالة مثلثية

احسب: \[ \int_0^{\pi} \sin x\,\mathrm{d}x. \]

دالة أصلية لـ \( \sin x \) هي \( -\cos x \).

إذن: \[ \int_0^{\pi} \sin x\,\mathrm{d}x = \big[-\cos x\big]_0^{\pi} = \big(-\cos\pi\big) - \big(-\cos 0\big) = -(-1) - ( -1) = 1 + 1 = 2. \]

تمرين 5 — تكامل دالة أسية

احسب: \[ \int_0^1 \mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x. \]

دالة أصلية لـ \( \mathrm{e}^{2x} \) هي: \[ \frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}, \] لأن: \[ \left(\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}\right)' = \mathrm{e}^{2x}. \]

إذن: \[ \int_0^1 \mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x = \left[\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}\right]_0^1 = \frac{1}{2}\mathrm{e}^{2} - \frac{1}{2}\mathrm{e}^{0} = \frac{1}{2}\big(\mathrm{e}^{2} - 1\big). \]

تمرين 6 — مساحة حيز تحت منحنى

لتكن الدالة: \[ f(x) = 2x \] على المجال \( [0,3] \). احسب مساحة الحيز المحصور بين منحنى \( f \) ومحور الفواصل من 0 إلى 3.

بما أن \( f(x) = 2x \ge 0 \) على \( [0,3] \) فإن المساحة: \[ A = \int_0^3 2x\,\mathrm{d}x. \]

دالة أصلية لـ \( 2x \) هي \( x^2 \)، إذن: \[ A = \big[x^2\big]_0^3 = 9 - 0 = 9. \]

تمرين 7 — مساحة بين منحنيين

على المجال \( [0,1] \) نعتبر الدالتين: \[ f(x) = 1 + x,\quad g(x) = x^2. \]

بيّن أن: \[ f(x) \ge g(x) \] لكل \( x \) من \( [0,1] \)، ثم احسب مساحة الحيز المحصور بين منحنيي \( f \) و\( g \) ومحور الفواصل من 0 إلى 1.

نحسب الفرق: \[ f(x) - g(x) = 1 + x - x^2. \]

على المجال \( [0,1] \)، لدينا \( x^2 \le x \le 1 \)، وبالتالي: \[ 1 + x - x^2 \ge 0. \]

إذن \( f(x) \ge g(x) \) على \( [0,1] \).

المساحة: \[ A = \int_0^1 \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x = \int_0^1 (1 + x - x^2)\,\mathrm{d}x. \]

دالة أصلية لـ \( 1 + x - x^2 \) هي: \[ F(x) = x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}. \]

إذن: \[ A = F(1) - F(0) = \left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) - 0 = \frac{6}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{7}{6}. \]

تمرين 8 — تكامل لدالة تحتوي على \( \dfrac{1}{x} \)

احسب: \[ \int_1^3 \left(\frac{2}{x} - 1\right)\,\mathrm{d}x. \]

نكتب: \[ \int_1^3 \left(\frac{2}{x} - 1\right)\,\mathrm{d}x = 2\int_1^3 \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x - \int_1^3 1\,\mathrm{d}x. \]

دالة أصلية لـ \( \dfrac{1}{x} \) هي \( \ln|x| \)، ودالة أصلية لـ \( 1 \) هي \( x \).

إذن: \[ 2\big[\ln x\big]_1^3 - \big[x\big]_1^3 = 2(\ln 3 - \ln 1) - (3 - 1) = 2\ln 3 - 2. \]

تمرين 9 — إيجاد ثابت باستعمال شرط تكامل

نعتبر دالة أصلية \( F \) لـ الدالة \( f(x) = x^2 \) على \( \mathbb{R} \) من الشكل: \[ F(x) = \frac{x^3}{3} + k \] حيث \( k \) ثابت حقيقي. أوجد \( k \) بحيث: \[ \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = F(1). \]

نعرف أن: \[ \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3}. \]

من جهة أخرى: \[ F(1) = \frac{1}{3} + k. \]

نريد: \[ F(1) = \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x \Rightarrow \frac{1}{3} + k = \frac{1}{3} \Rightarrow k = 0. \]

تمرين 10 — مسألة شاملة (تكامل ومساحة)

نعتبر الدالة: \[ f(x) = x(2 - x) \] على المجال \( [0,2] \).

بيّن أن \( f(x) \ge 0 \) على \( [0,2] \).
احسب: \[ \int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x. \]
استنتج مساحة الحيز المحصور بين منحنى \( f \) ومحور الفواصل من 0 إلى 2.

1) إشارة \( f \):

نكتب: \[ f(x) = x(2 - x). \]

على المجال \( [0,2] \)، لدينا \( x \ge 0 \) و\( 2 - x \ge 0 \)، وبالتالي: \[ f(x) \ge 0. \]

2) حساب التكامل:

نطور: \[ f(x) = 2x - x^2. \]

دالة أصلية لـ \( 2x - x^2 \) هي: \[ F(x) = x^2 - \frac{x^3}{3}. \]

إذن: \[ \int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x = \big[x^2 - \frac{x^3}{3}\big]_0^2 = \left(4 - \frac{8}{3}\right) - 0 = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}. \]

3) المساحة:

بما أن \( f(x) \ge 0 \) على \( [0,2] \)، فإن: \[ A = \int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{4}{3}. \]

10) خلاصة مركزة لدرس الدوال الأصلية والتكامل

الدالة الأصلية \( F \) لـ \( f \) تتحقق منها العلاقة: \[ F'(x) = f(x) \] على مجال معيّن.
إذا كانت \( F \) دالة أصلية لـ \( f \)، فإن كل الدوال من الشكل \( F(x) + C \) دوال أصلية لـ \( f \) أيضاً.
جدول الدوال الأصلية الأساسية (كثير الحدود، \( \mathrm{e}^x \)، \( \sin x \)، \( \cos x \)، \( \dfrac{1}{x} \)، …) يجب حفظه واستعماله باستمرار.
التكامل المحدد: \[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a) \] حيث \( F \) دالة أصلية لـ \( f \) على مجال يحتوي \( [a,b] \).
خواص التكامل (الخطية، إضافة الحدود، عكس الحدود، الرتابة) أدوات قوية لتبسيط وحصر النتائج.
إذا كانت \( f(x) \ge 0 \) على \( [a,b] \)، فإن التكامل يمثل مساحة الحيز المحصور بين المنحنى ومحور الفواصل من \( a \) إلى \( b \).
المساحة بين منحنيين \( f \) و\( g \) (مع \( f \ge g \)) على \( [a,b] \) هي: \[ \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x. \]
منهجية التمارين تعتمد دائماً على: التعرف على الدالة → اختيار الدالة الأصلية المناسبة → تطبيق حدود التكامل → التفسير الهندسي عند الحاجة.