الدوال اللوغاريتمية

1) تمهيد وأهداف درس الدوال اللوغاريتمية

في شعبة العلوم الرياضية، تشكل الدوال اللوغاريتمية مع الدوال الأسية أداة أساسية في دراسة الكثير من الظواهر الرياضية والفيزيائية والاقتصادية (النمو، التناقص، قياس الحجوم الصغيرة جداً أو الكبيرة جداً، إلخ).

في هذا الدرس نركز خصوصاً على الدالة اللوغاريتمية الطبيعية التي نرمز لها بالرمز \( \ln x \)، ثم نعمم لاحقاً إلى اللوغاريتمات ذات أساس عام \( \log_a x \).

أهداف التلميذ في نهاية الدرس

فهم تعريف الدالة اللوغاريتمية الطبيعية كدالة عكسية للدالة الأسية.
معرفة مجال تعريف \( \ln x \) ومجال قيمها، وربط ذلك بالتمثيل البياني.
إتقان الخصائص الأساسية: \( \ln(ab) \), \( \ln\!\left(\frac{a}{b}\right) \), \( \ln(a^n) \).
استيعاب مفهوم اللوغاريتم ذي الأساس العام \( \log_a x \) وعلاقة التغيير في الأساس.
حساب مشتقة الدالة اللوغاريتمية وتطبيقها في اشتقاق مركبات من الشكل \( \ln(u(x)) \).
حل معادلات ومتراجحات لوغاريتمية بسيطة ومتوسطة الصعوبة.
اكتساب منهجية منظمة لحل تمارين الباك المتعلقة بالدوال اللوغاريتمية.

فكرة عامة

اللوغاريتم هو في الحقيقة العكس للأسية: إذا كانت الأسية تحول الجمع إلى ضرب، فإن اللوغاريتم يقوم بالعكس تماماً، فيحول الضرب إلى جمع.

2) تعريف الدالة اللوغاريتمية الطبيعية

الدالة الأسية والدالة اللوغاريتمية

نبدأ بالدالة الأسية الطبيعية التي نرمز لها ب \( \mathrm{e}^x \). هذه الدالة:

معرفة على \( \mathbb{R} \) كلها.
قيمها كلها موجبة: \( \mathrm{e}^x > 0 \) لكل \( x \in \mathbb{R} \).
تزايدية تماماً على \( \mathbb{R} \).

من خصائص الدوال العكسية، وبما أن الدالة الأسية تزايدية تماماً وقابلة للاشتقاق، فهي تقبل دالة عكسية معرفة على المجال \( ]0,+\infty[ \).

تعريف اللوغاريتم الطبيعي

نعرف الدالة اللوغاريتمية الطبيعية بهذه الطريقة:

الدالة \( \ln : ]0,+\infty[ \to \mathbb{R} \) هي الدالة العكسية للدالة \( \mathrm{e}^x \).

أي أن:

\( \mathrm{e}^{\ln x} = x \) لكل \( x \in ]0,+\infty[ \).
\( \ln(\mathrm{e}^x) = x \) لكل \( x \in \mathbb{R} \).

مجال التعريف ومجال القيم

مجال تعريف الدالة \( \ln x \) هو \( ]0,+\infty[ \).
مجال قيمها هو \( \mathbb{R} \): لكل عدد حقيقي \( y \) يوجد \( x>0 \) بحيث \( \ln x = y \).

قيم خاصة يجب حفظها

\( \ln 1 = 0 \) لأن \( \mathrm{e}^0 = 1 \).
\( \ln \mathrm{e} = 1 \) لأن \( \mathrm{e}^1 = \mathrm{e} \).
\( \ln(\mathrm{e}^a) = a \) لكل \( a \in \mathbb{R} \).

3) الخصائص الأساسية للدالة اللوغاريتمية الطبيعية

خواص لوغاريتمية مهمة جداً

لتكن الأعداد \( a,b > 0 \) و \( n \in \mathbb{Z} \) عدداً صحيحاً (غالباً \( n \in \mathbb{N} \) في الباك). عندئذ لدينا الخصائص التالية:

خاصية الضرب: \[ \ln(ab) = \ln a + \ln b. \]
خاصية القسمة: \[ \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b. \]
خاصية القوة: \[ \ln(a^n) = n \,\ln a. \]

هذه الخصائص تُستعمل بشكل مكثف في التمارين لتبسيط عبارات لوغاريتمية أو لتحويل جداءات إلى مجاميع والعكس.

أمثلة تطبيقية

\[ \ln(3\cdot 5) = \ln 3 + \ln 5. \]
\[ \ln\left(\frac{9}{4}\right) = \ln 9 - \ln 4 = \ln(3^2) - \ln(2^2) = 2\ln 3 - 2\ln 2. \]
\[ \ln(\sqrt{a}) = \ln(a^{1/2}) = \frac{1}{2}\,\ln a \] لكل \( a > 0 \).

يجب حفظ هذه الخصائص الثلاثة عن ظهر قلب، فهي أساس التعامل مع اللوغاريتمات في الباك.

4) المنحنى البياني للدالة \( \ln x \)

سلوك الدالة اللوغاريتمية

الدالة \( \ln x \) معرفة فقط عندما \( x>0 \).
\( \ln x \) تزايدية تماماً على \( ]0,+\infty[ \).
نهاية \( \ln x \) عندما يقترب \( x \) من الصفر من اليمين: \[ \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty. \]
نهاية \( \ln x \) عندما \( x \) يتجه إلى \( +\infty \): \[ \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty. \]

مستقيم مقارب عمودي

بسبب النهاية \( \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \)، يكون المنحنى البياني للدالة \( \ln x \) له مستقيم مقارب عمودي بمعادلة:

\[ x = 0. \]

مقارنة مع الدالة الأسية

بما أن \( \ln x \) عكس \( \mathrm{e}^x \)، فإن تمثيلهما البيانيين متناظران بالنسبة لمستقيم من المعلم معادلة هذا المستقيم:

\[ y = x. \]

5) مشتقة الدالة اللوغاريتمية الطبيعية وقواعد الاشتقاق

مشتقة \( \ln x \)

الدالة \( \ln x \) قابلة للاشتقاق على المجال \( ]0,+\infty[ \) ومشتقتها تعطى بالعلاقة:

\[ (\ln x)' = \frac{1}{x} \] لكل \( x > 0 \).

مشتقة تركيب من الشكل \( \ln(u(x)) \)

إذا كانت \( u \) دالة قابلة للاشتقاق وموجبة (حتى يكون \( \ln(u(x)) \) معرفاً)، فإن:

\[ (\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}. \]

أمثلة اشتقاق

\[ f(x) = \ln(3x). \] لدينا: \[ f'(x) = \frac{3}{3x} = \frac{1}{x} \] لكل \( x > 0 \).
\[ g(x) = \ln(x^2+1). \] لدينا: \[ g'(x) = \frac{2x}{x^2+1}. \]
\[ h(x) = \ln\left(\frac{x}{x+1}\right). \] يمكن تبسيطها أولاً: \[ h(x) = \ln x - \ln(x+1). \] ثم: \[ h'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}. \]

في كثير من التمارين، استعمال الخاصية \( \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b \) قبل الاشتقاق يجعل الحسابات أبسط بكثير.

6) اللوغاريتمات ذات أساس عام وتغيير الأساس

تعريف \( \log_a x \)

نأخذ عدداً حقيقياً \( a > 0 \) و \( a \neq 1 \). نعرف الدالة اللوغاريتمية ذات الأساس \( a \) بهذه الطريقة:

\[ \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} \] لكل \( x > 0 \).

خاصية تغيير الأساس

لأي أسين \( a,b > 0 \) مع \( a\neq 1 \) و \( b\neq 1 \)، ولأي \( x>0 \)، لدينا:

\[ \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} = \frac{\log_b x}{\log_b a}. \]

أمثلة عددية

إذا أردنا حساب \( \log_2 10 \) باستعمال اللوغاريتم الطبيعي: \[ \log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2}. \]
إذا أردنا حساب \( \log_3 9 \): \[ \log_3 9 = \log_3(3^2) = 2. \]

7) معادلات ومتراجحات لوغاريتمية

شرط أساسي قبل أي حل

قبل التعامل مع أي معادلة أو متراجحة تحتوي على \( \ln \)، يجب دائماً التأكد من أن حجة اللوغاريتم موجبة.

مثلاً، في عبارة من الشكل \( \ln(u(x)) \) يجب أن يكون:

\[ u(x) > 0. \]

معادلات لوغاريتمية بسيطة

حل المعادلة: \[ \ln x = 0. \] بما أن \( \ln 1 = 0 \)، يكون الحل: \[ x = 1 \] مع شرط \( x>0 \) المحقق تلقائياً.
حل المعادلة: \[ \ln x = 2. \] هذه تعني: \[ x = \mathrm{e}^2. \]
حل المعادلة: \[ \ln(2x) = 1. \] نكتب: \[ 2x = \mathrm{e}^1 = \mathrm{e} \Rightarrow x = \frac{\mathrm{e}}{2} \] مع شرط \( 2x>0 \Rightarrow x>0 \) المحقق.

متراجحات لوغاريتمية بسيطة

حل المتراجحة: \[ \ln x \ge 0. \] نعلم أن \( \ln x \ge 0 \) تعني \( x \ge 1 \) بما أن \( \ln 1 = 0 \) والدالة \( \ln x \) تزايدية. إذن: \[ x \ge 1 \] مع شرط \( x>0 \)، فنحصل على الحل: \[ x \in [1,+\infty[. \]
حل المتراجحة: \[ \ln(3x-1) < \ln 2. \] بما أن \( \ln x \) تزايدية، فإن: \[ 3x-1 < 2. \] مع شرط: \[ 3x-1 > 0. \] نحصل على: \[ 3x < 3 \Rightarrow x < 1 \] و \[ 3x > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{3}. \] أي: \[ x \in \left]\frac{1}{3},1\right[. \]

دائماً: شرط التعريف أولاً، ثم استعمال تزايدية \( \ln x \) لتحويل المتراجحة اللوغاريتمية إلى متراجحة عادية في حجة اللوغاريتم.

8) منهجية عامة في تمارين الدوال اللوغاريتمية

خطة عمل مقترحة

كتابة مجال تعريف الدالة مع التركيز على شرط \( x>0 \) أو \( u(x)>0 \) إذا كانت \( \ln(u(x)) \).
استعمال خصائص اللوغاريتم لتبسيط التعبير قدر الإمكان قبل الاشتقاق أو الحل.
إذا كان السؤال عن الرتابة أو جدول التغيرات، نحسب المشتقة ونبسطها قدر المستطاع.
في المعادلات، نحاول عزل اللوغاريتم ثم استعمال الأسية \( \mathrm{e}^x \) للانتقال من \( \ln x \) إلى \( x \).
في المتراجحات، نتحقق من التزايدية ونحول المتراجحة اللوغاريتمية إلى متراجحة في حجة اللوغاريتم.
التحقق في النهاية من أن الحلول التي وجدناها تحقق دائماً شروط التعريف.

أخطاء شائعة: نسيان شرط \( x>0 \)، أو محاولة حساب \( \ln 0 \) أو \( \ln(-1) \)، أو استعمال خصائص اللوغاريتم دون تحقق من إيجابية الحجة.

9) تمارين باك (10 تمارين) — مع حلول مفصلة

تمرين 1 — مجال تعريف وخصائص بسيطة

نعتبر الدالة: \[ f(x) = \ln(2x-1). \]

حدد مجموعة تعريف \( f \).
أثبت أن: \[ f(x) = \ln 2 + \ln\left(x-\frac{1}{2}\right). \]

يجب أن يكون: \[ 2x-1 > 0. \]

أي: \[ 2x > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{2}. \]

إذن: \[ D_f = \left]\frac{1}{2}, +\infty\right[. \]

نستعمل خاصية الضرب: \[ 2x-1 = 2\left(x-\frac{1}{2}\right). \]

بالتالي: \[ \ln(2x-1) = \ln\left(2\left(x-\frac{1}{2}\right)\right) = \ln 2 + \ln\left(x-\frac{1}{2}\right) \] لكل \( x \) من مجال التعريف.

تمرين 2 — اشتقاق دالة لوغاريتمية

نعتبر الدالة: \[ f(x) = \ln(x^2+3). \]

حدد مجموعة تعريف \( f \).
احسب \( f'(x) \).

بما أن: \[ x^2+3 > 0 \] لكل \( x \in \mathbb{R} \)، فإن: \[ D_f = \mathbb{R}. \]

باستعمال قاعدة التركيب: \[ f'(x) = \frac{2x}{x^2+3} \] لكل \( x \in \mathbb{R} \).

تمرين 3 — معادلة لوغاريتمية بسيطة

حل المعادلة في \( \mathbb{R} \): \[ \ln(3x) = 2. \]

أولاً يجب أن يكون: \[ 3x > 0 \Rightarrow x > 0. \]

المعادلة: \[ \ln(3x) = 2 \] تعني: \[ 3x = \mathrm{e}^2. \]

وبالتالي: \[ x = \frac{\mathrm{e}^2}{3}. \]

هذا العدد موجب، إذن يحقق شرط التعريف، فهو الحل الوحيد.

تمرين 4 — متراجحة لوغاريتمية

حل المتراجحة: \[ \ln(2x+1) \ge \ln 5. \]

أولاً: \[ 2x+1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{2}. \]

بما أن \( \ln x \) تزايدية على \( ]0,+\infty[ \)، فإن: \[ \ln(2x+1) \ge \ln 5 \Rightarrow 2x+1 \ge 5. \]

أي: \[ 2x \ge 4 \Rightarrow x \ge 2. \]

نحصل على: \[ x \ge 2 \] مع شرط \( x > -\frac{1}{2} \) المحقق تلقائياً، إذن: \[ S = [2,+\infty[. \]

تمرين 5 — اشتقاق دالة من الشكل \( \ln\left(\frac{x}{x+1}\right) \)

نعتبر: \[ f(x) = \ln\left(\frac{x}{x+1}\right) \] مع مجموعة تعريف مناسبة.

حدد مجموعة تعريف \( f \).
بسط \( f(x) \) باستعمال خصائص اللوغاريتم.
احسب \( f'(x) \).

يجب أن يتحقق: \[ \frac{x}{x+1} > 0 \] و \[ x+1 \neq 0. \]

من دراسة إشارة الكسر: \[ \frac{x}{x+1} > 0 \] نحصل مثلاً على: \[ x > 0 \text{ و } x+1 > 0 \Rightarrow x > 0 \] أو \[ x < 0 \text{ و } x+1 < 0 \Rightarrow x < -1. \]

إذن: \[ D_f = ]-\infty,-1[ \cup ]0,+\infty[. \]

نستعمل خصائص اللوغاريتم: \[ f(x) = \ln x - \ln(x+1). \]

بالتالي: \[ f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} = \frac{x+1 - x}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)}. \]

هذه الصيغة صحيحة لكل \( x \) من مجال التعريف.

تمرين 6 — دراسة رتابة دالة لوغاريتمية

نعتبر الدالة: \[ f(x) = \ln(x^2+1) \] على \( \mathbb{R} \).

بين أن \( f \) معرفة على \( \mathbb{R} \).
احسب \( f'(x) \) ثم حدد إشارة \( f'(x) \).
استنتج رتابة \( f \) على \( \mathbb{R} \).

لدينا: \[ x^2+1 > 0 \] لكل \( x \in \mathbb{R} \)، إذن \( f \) معرفة على \( \mathbb{R} \).

المشتقة: \[ f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}. \]

إشارة \( f'(x) \) هي نفسها إشارة \( 2x \) لأن \( x^2+1 > 0 \).

إذا كان \( x > 0 \) فإن \( f'(x) > 0 \).
إذا كان \( x < 0 \) فإن \( f'(x) < 0 \).
إذا كان \( x = 0 \) فإن \( f'(0) = 0 \).

إذن \( f \) تناقصية على \( ]-\infty,0] \) وتزايدية على \( [0,+\infty[ \).

تمرين 7 — معادلة من نوع \( \ln x = \ln a \)

حل في \( ]0,+\infty[ \) المعادلة: \[ \ln(5x-1) = \ln(3x+7). \]

أولاً شروط التعريف: \[ 5x-1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{5} \] و \[ 3x+7 > 0 \Rightarrow x > -\frac{7}{3}. \]

الشرط الأشد هو \( x > \frac{1}{5} \).

بما أن \( \ln x \) دالة تزايدية، فإن: \[ \ln(5x-1) = \ln(3x+7) \Rightarrow 5x-1 = 3x+7. \]

نحصل على: \[ 5x-3x = 7+1 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4. \]

العدد \( 4 > \frac{1}{5} \)، إذن هو حل مقبول.

تمرين 8 — لوغاريتم ذو أساس عام

نعتبر \( a \) عدداً حقيقياً موجباً يحقق \( a \neq 1 \).

أعط تعريف: \[ \log_a x \] باستعمال \( \ln x \).
استعمل هذا التعريف لإيجاد: \[ \log_2 8 \] و \[ \log_3 9. \]

التعريف: \[ \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} \] لكل \( x > 0 \).

لدينا: \[ \log_2 8 = \frac{\ln 8}{\ln 2} = \frac{\ln(2^3)}{\ln 2} = \frac{3\ln 2}{\ln 2} = 3. \]

أيضاً: \[ \log_3 9 = \frac{\ln 9}{\ln 3} = \frac{\ln(3^2)}{\ln 3} = \frac{2\ln 3}{\ln 3} = 2. \]

تمرين 9 — نهاية تتضمن \( \ln x \)

احسب النهاية: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}. \]

من النهايات المعروفة في هذا الدرس: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0. \]

تفسير بسيط: الدالة \( x \) تنمو بسرعة أكبر بكثير من \( \ln x \) عندما يتجه \( x \) نحو \( +\infty \)، لذلك تتجه النسبة إلى الصفر.

تمرين 10 — تركيب بين أسية ولوغاريتمية

نعتبر الدالة: \[ f(x) = \mathrm{e}^{\ln x} \] على مجال مناسب.

حدد مجال تعريف \( f \).
بسط \( f(x) \).
استنتج قيمة النهاية: \[ \lim_{x \to 1} f(x). \]

يجب أن يكون: \[ x > 0 \] حتى يكون \( \ln x \) معرفاً، إذن: \[ D_f = ]0,+\infty[. \]

من تعريف اللوغاريتم كعكس للأسية: \[ \mathrm{e}^{\ln x} = x \] لكل \( x>0 \).

بالتالي: \[ f(x) = x \] على مجال التعريف.

النهاية: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} x = 1. \]

10) خلاصة مركزة لدرس الدوال اللوغاريتمية

الدالة \( \ln x \) هي الدالة العكسية للدالة \( \mathrm{e}^x \)، ومعرفة على \( ]0,+\infty[ \).
مجال قيم \( \ln x \) هو \( \mathbb{R} \)، والدالة تزايدية تماماً على \( ]0,+\infty[ \).
الخصائص الأساسية: \[ \ln(ab) = \ln a + \ln b,\quad \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b,\quad \ln(a^n) = n\,\ln a. \]
مستقيم مقارب عمودي لمنحنى \( \ln x \) هو \( x = 0 \).
المشتقة: \[ (\ln x)' = \frac{1}{x} \] و \[ (\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}. \]
اللوغاريتم ذو الأساس العام: \[ \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} \] لكل \( a>0 \) مع \( a\neq 1 \) ولكل \( x>0 \).
قبل أي حل لمعادلة أو متراجحة لوغاريتمية، يجب دائماً التحقق من إيجابية حجة اللوغاريتم.