المخروطيات

1) إكمال المربع:

نجمع الحدود: \[ (x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) + 5 = 0. \]

نكتب: \[ x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9, \] \[ y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4. \]

بالتعويض: \[ (x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 + 5 = 0 \Rightarrow (x - 3)^2 + (y + 2)^2 - 8 = 0. \]

أي: \[ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 8. \]

هذا هو شكل دائرة مركزها \( (3,-2) \) ونصف قطرها مربعاً هو \( 8 \).

2) المركز ونصف القطر:

• مركز الدائرة: \( (3,-2) \).
• نصف القطر: \[ R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}. \]

1) التوسيع:

نكتب: \[ (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1, \] \[ (y + 2)^2 = y^2 + 4y + 4. \]

بالتالي: \[ x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = 9 \Rightarrow x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0. \]

2) وضع النقط:

نقطة على الدائرة تحقق المعادلة المرجعية: \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9. \]

للنقطة \( A(4,-2) \): \[ (4 - 1)^2 + (-2 + 2)^2 = 3^2 + 0^2 = 9. \]

إذن \( A \) تنتمي إلى الدائرة.

للنقطة \( B(-2,-2) \): \[ (-2 - 1)^2 + (-2 + 2)^2 = (-3)^2 + 0^2 = 9. \]

إذن \( B \) أيضاً تنتمي إلى الدائرة، أي أن النقطتين على محيط الدائرة.

المعادلة: \[ y^2 = 12x \] يمكن كتابتها: \[ y^2 = 4ax \] حيث: \[ 4a = 12 \Rightarrow a = 3. \]

• الرأس: \( (0,0) \).
• البؤرة: \( (3,0) \).
• المستقيم المولد: \( x = -3 \).

من المعادلة: \[ a^2 = 16 \Rightarrow a = 4,\quad b^2 = 9 \Rightarrow b = 3. \]

نحسب: \[ c^2 = a^2 - b^2 = 16 - 9 = 7 \Rightarrow c = \sqrt{7}. \]

• البؤرتان: \( (\sqrt{7},0) \) و\( (-\sqrt{7},0) \).
• الشذوذية: \[ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{7}}{4}. \]

بالتعويض: \[ x^2 + (2x + 1)^2 = 13 \Rightarrow x^2 + 4x^2 + 4x + 1 = 13 \Rightarrow 5x^2 + 4x - 12 = 0. \]

المميز: \[ \Delta = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 16 + 240 = 256 = 16^2. \]

إذن المعادلة تقبل حلين متميزين: \[ x_1 = \frac{-4 - 16}{10} = -2,\quad x_2 = \frac{-4 + 16}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}. \]

نحسب: \[ y_1 = 2(-2) + 1 = -3,\quad y_2 = 2 \cdot \frac{6}{5} + 1 = \frac{12}{5} + 1 = \frac{17}{5}. \]

إذن نقطتا التقاطع هما: \[ (-2,-3),\quad \left(\frac{6}{5},\frac{17}{5}\right), \] والمستقيم قاطع للدائرة.

نقسم على \( 36 \): \[ \frac{9x^2}{36} + \frac{9y^2}{36} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} = 1. \]

هذا شكل قطع ناقص بمعاملين متساويين: \[ a^2 = b^2 = 4. \]

عندما يكون \( a = b \) فإن القطع الناقص يصبح دائرة بنصف قطر: \[ R = 2. \]

إذن المنحنى دائرة مركزها مبدأ المعلم ونصف قطرها \( 2 \).

بالتعويض \( y = 2x \) في معادلة القطع المكافئ: \[ (2x)^2 = 4x \Rightarrow 4x^2 = 4x \Rightarrow 4x^2 - 4x = 0 \Rightarrow 4x(x - 1) = 0. \]

الحلول: \[ x = 0 \quad \text{أو} \quad x = 1. \]

إذن: \[ y = 0 \quad \text{أو} \quad y = 2. \]

نقطتا التقاطع: \[ (0,0),\quad (1,2). \]

المستقيم قاطع للقطع المكافئ في نقطتين.

نجمع الحدود: \[ 4x^2 - 8x + 9y^2 + 18y + 13 = 0. \]

نخرج معاملات المربعات: \[ 4(x^2 - 2x) + 9(y^2 + 2y) + 13 = 0. \]

إكمال المربع: \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1, \] \[ y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1. \]

بالتعويض: \[ 4[(x - 1)^2 - 1] + 9[(y + 1)^2 - 1] + 13 = 0 \Rightarrow 4(x - 1)^2 - 4 + 9(y + 1)^2 - 9 + 13 = 0. \]

أي: \[ 4(x - 1)^2 + 9(y + 1)^2 = 0. \]

هذه المعادلة لا تمثل مخروطية غير فارغة، لأن مجموع مربعين مضروبين في معاملات موجبة لا يمكن أن يكون صفراً إلا إذا انعدم كل منهما: \[ (x - 1)^2 = 0,\quad (y + 1)^2 = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,-1). \]

المنحنى في هذه الحالة مجرد نقطة واحدة، ليس مخروطية بالمعنى الشائع (دائرة منعدمة نصف القطر).

تعويض \( A(0,1) \): \[ 0^2 + 1^2 + \alpha \cdot 0 + \beta \cdot 1 + \gamma = 0 \Rightarrow 1 + \beta + \gamma = 0. \]

تعويض \( B(2,3) \): \[ 4 + 9 + 2\alpha + 3\beta + \gamma = 0 \Rightarrow 13 + 2\alpha + 3\beta + \gamma = 0. \]

تعويض \( C(4,1) \): \[ 16 + 1 + 4\alpha + \beta + \gamma = 0 \Rightarrow 17 + 4\alpha + \beta + \gamma = 0. \]

لدينا النظام: \[ \begin{cases} 1 + \beta + \gamma = 0 \\ 13 + 2\alpha + 3\beta + \gamma = 0 \\ 17 + 4\alpha + \beta + \gamma = 0 \end{cases} \]

من المعادلة الأولى: \[ \gamma = -1 - \beta. \]

بالتعويض في المعادلة الثانية: \[ 13 + 2\alpha + 3\beta - 1 - \beta = 0 \Rightarrow 12 + 2\alpha + 2\beta = 0 \Rightarrow \alpha + \beta = -6. \]

بالتعويض في المعادلة الثالثة: \[ 17 + 4\alpha + \beta - 1 - \beta = 0 \Rightarrow 16 + 4\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -4. \]

من \( \alpha + \beta = -6 \) نحصل على: \[ -4 + \beta = -6 \Rightarrow \beta = -2. \]

وأخيراً: \[ \gamma = -1 - (-2) = 1. \]

معادلة الدائرة: \[ x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0. \]

بالتعويض: \[ \frac{x^2}{9} + \frac{x^2}{4} = 1 \Rightarrow x^2 \left(\frac{1}{9} + \frac{1}{4}\right) = 1. \]

نحسب: \[ \frac{1}{9} + \frac{1}{4} = \frac{4 + 9}{36} = \frac{13}{36}. \]

إذن: \[ x^2 \cdot \frac{13}{36} = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{36}{13}. \]

وبالتالي: \[ x = \pm \sqrt{\frac{36}{13}} = \pm \frac{6}{\sqrt{13}}. \]

بما أن \( y = x \) فإن: \[ y = \pm \frac{6}{\sqrt{13}}. \]

إذن نقطتا التقاطع اثنتان، والمستقيم قاطع للقطع الناقص.

نقطة \( (x,y) \) تنتمي إلى القطع المكافئ إذا تحقق: \[ y^2 = 2x. \]

للنقطة \( A(2,2) \): \[ y^2 = 4,\quad 2x = 4 \] المعادلة محققة، إذن \( A \) تنتمي.

للنقطة \( B(2,-2) \): \[ y^2 = (-2)^2 = 4,\quad 2x = 4 \] إذن المعادلة محققة أيضاً، \( B \) تنتمي.

للنقطة \( C(1,2) \): \[ y^2 = 4,\quad 2x = 2. \]

المعادلة غير محققة، إذن \( C \) لا تنتمي للقطع المكافئ.

التقاطع مع \( d_1 \):

بالتعويض \( y = x \): \[ x^2 + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 = 10 \Rightarrow x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm \sqrt{5}. \]

إذن النقطتان: \[ P_1(\sqrt{5},\sqrt{5}),\quad P_2(-\sqrt{5},-\sqrt{5}). \]

التقاطع مع \( d_2 \):

بالتعويض \( y = -x \): \[ x^2 + (-x)^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 = 10 \Rightarrow x = \pm \sqrt{5},\quad y = \mp \sqrt{5}. \]

النقطتان: \[ Q_1(\sqrt{5},-\sqrt{5}),\quad Q_2(-\sqrt{5},\sqrt{5}). \]

الشكل الهندسي:

النقط الأربع ذات نفس المسافة عن مبدأ المعلم: \[ OP_1 = OP_2 = OQ_1 = OQ_2 = \sqrt{10}. \]

كما أن هذه النقط متتماثلة بالنسبة لمحوري الإحداثيين. الرباعي الناتج هو مربع مركزه مبدأ المعلم ورؤوسه هذه النقط الأربع.