المعادلات التفاضلية

1) تمهيد وأهداف درس المعادلات التفاضلية

في الدروس السابقة تعوّدنا على دراسة دوال معلومة، نحسب مشتقاتها ثم نحل المعادلات التي تحتوي على هذه الدوال. في هذا الدرس نعكس المنطق: نعطى علاقة بين دالة ومشتقاتها (معادلة تفاضلية)، ونبحث عن الدوال التي تحقق هذه العلاقة.

المعادلة التفاضلية تربط بين متغيّر مستقل (غالباً نرمز له بـ \( x \) أو \( t \)) ودالة مجهولة نرمز لها بـ \( y \) ومشتقاتها مثل \( y' \) أو \( y'' \) إلى غير ذلك.

أهداف التلميذ في نهاية الدرس

  • فهم مفهوم المعادلة التفاضلية وحلها العام والحل الخاص.
  • تمييز رتبة المعادلة التفاضلية من خلال أعلى مشتقة تظهر فيها.
  • حل معادلات تفاضلية من الرتبة الأولى القابلة لفصل المتغيرات.
  • حل المعادلات من الشكل \( y' + a y = 0 \) و\( y' + a y = b \) حيث \( a,b \) ثوابت.
  • فهم الطريقة العامة لحل المعادلات من الشكل \( y' + a y = f(x) \).
  • ربط المعادلات التفاضلية بنماذج النمو والتناقص وبعض النماذج الفيزيائية البسيطة.
  • اعتماد منهجية منظمة في تمارين الباك المتعلقة بالمعادلات التفاضلية.

فكرة أساسية

المعادلة التفاضلية لا تعطي عدداً واحداً كحل، بل عائلة من الدوال، غالباً تحتوي على ثابت حقيقي نرمز له بـ \( C \) أو \( k \). اختيار قيمة معينة للثابت يعطي حلاً خاصاً.

2) تعريف المعادلة التفاضلية وحلها

معادلة تفاضلية

معادلة تفاضلية هي علاقة من الشكل:

\[ F(x,y,y',y'',\dots) = 0 \]

حيث \( x \) متغيّر مستقل، و\( y \) دالة مجهولة في \( x \)، و\( y' \) و\( y'' \) مشتقاتها الأولى والثانية، وهكذا.

رتبة المعادلة التفاضلية

رتبة المعادلة التفاضلية هي رتبة أعلى مشتقة تظهر فيها.

  • إذا ظهرت فقط \( y' \) بدون \( y'' \) أو اشتقاقات أعلى، نقول إن رتبة المعادلة الأولى.
  • إذا ظهرت \( y'' \) ولا تظهر مشتقات أعلى، نقول إن الرتبة الثانية، وهكذا.

حل معادلة تفاضلية

نقول إن دالة \( y \) هي حل لمعادلة تفاضلية على مجال ما إذا كانت قابلة للاشتقاق بالقدر المطلوب وعلى هذا المجال، وتحقّق العلاقة عندما نعوّض فيها الدالة ومشتقاتها.

غالباً نحصل على مجموعة حلول عامة على شكل:

\[ y(x) = \varphi(x,C) \]

حيث \( C \) ثابت حقيقي (أو أكثر من ثابت في الرتب الأعلى).

حل عام وحل خاص

  • الحل العام: عائلة من الدوال تحتوي على ثابت أو أكثر.
  • الحل الخاص: نحصل عليه باختيار قيمة معينة للثابت، عادةً باستعمال شرط إضافي (مثلاً قيمة الدالة في نقطة معينة).

مثال بسيط

المعادلة التفاضلية:

\[ y' = 0 \]

حلولها هي كل الدوال الثابتة:

\[ y(x) = C \]

حيث \( C \) عدد حقيقي. هذه عائلة الحلول العامة. إذا أعطينا مثلاً الشرط:

\[ y(0) = 5 \]

نحصل على \( C = 5 \)، فيكون الحل الخاص: \[ y(x) = 5. \]

3) المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى بفصل المتغيرات

معادلة بفصل المتغيرات

معادلة من الرتبة الأولى تسمى قابلة لفصل المتغيرات إذا أمكن كتابتها على شكل:

\[ y' = f(x)\,g(y) \]

أو بشكل مكافئ:

\[ \frac{dy}{dx} = f(x)\,g(y). \]

طريقة الحل بفصل المتغيرات

إذا كانت:

\[ \frac{dy}{dx} = f(x)\,g(y) \]

حيث \( g(y) \neq 0 \) على المجال المدروس، يمكن كتابة:

\[ \frac{1}{g(y)}\,dy = f(x)\,dx. \]

ثم ندمج الطرفين:

\[ \int \frac{1}{g(y)}\,dy = \int f(x)\,dx + C. \]

مثال 1 — معادلة بسيطة بفصل المتغيرات

حل المعادلة:

\[ y' = y. \]

نكتب:

\[ \frac{dy}{dx} = y. \]

إذا كان \( y \neq 0 \)، يمكن كتابة: \[ \frac{1}{y}\,dy = dx. \]

ندمج الطرفين: \[ \int \frac{1}{y}\,dy = \int 1\,dx \Rightarrow \ln|y| = x + C. \]

نأخذ الأسية: \[ |y| = \mathrm{e}^{x+C} = \mathrm{e}^C \mathrm{e}^x. \]

نكتب \( K = \pm \mathrm{e}^C \)، فنحصل على: \[ y(x) = K\,\mathrm{e}^x \] حيث \( K \) عدد حقيقي. هذا هو الحل العام.

ملاحظة: الدالة الصفرية \( y(x) = 0 \) حل أيضاً، ويمكن إدماجها باختيار \( K = 0 \).

مثال 2 — معادلة من الشكل \( y' = k\,y \)

إذا كانت المعادلة:

\[ y' = k\,y \]

حيث \( k \) ثابت حقيقي، فإن الحل العام يكون:

\[ y(x) = C\,\mathrm{e}^{kx} \] لكل \( C \in \mathbb{R} \).

هذا النوع يمثل نماذج نمو أو تناقص أسّي حسب إشارة \( k \).

4) المعادلات الخطية من الرتبة الأولى: الحالة المتجانسة \( y' + a y = 0 \)

معادلة خطية متجانسة من الرتبة الأولى

معادلة من الشكل:

\[ y' + a y = 0 \]

حيث \( a \) ثابت حقيقي، تسمى معادلة خطية متجانسة من الرتبة الأولى ذات معاملات ثابتة.

طريقة الحل

نكتب المعادلة:

\[ y' = -a y. \]

هذه معادلة بفصل المتغيرات: \[ \frac{dy}{dx} = -a y. \]

إذا كان \( y \neq 0 \): \[ \frac{1}{y}\,dy = -a\,dx. \]

ندمج: \[ \int \frac{1}{y}\,dy = \int -a\,dx \Rightarrow \ln|y| = -ax + C. \]

نأخذ الأسية: \[ |y| = \mathrm{e}^{-ax+C} = \mathrm{e}^C \mathrm{e}^{-ax}. \]

نكتب \( K = \pm \mathrm{e}^C \)، فنحصل على: \[ y(x) = K\,\mathrm{e}^{-ax} \] لكل \( K \in \mathbb{R} \). هذا هو الحل العام.

مثال تطبيقي

حل المعادلة:

\[ y' + 3y = 0. \]

هنا \( a = 3 \)، إذن الحل العام: \[ y(x) = K\,\mathrm{e}^{-3x} \] حيث \( K \) عدد حقيقي.

5) المعادلات الخطية من الرتبة الأولى: الحالة غير المتجانسة \( y' + a y = b \)

معادلة خطية غير متجانسة ذات معاملات ثابتة

معادلة من الشكل:

\[ y' + a y = b \]

حيث \( a,b \) ثوابت حقيقية، تسمى معادلة خطية غير متجانسة من الرتبة الأولى ذات معاملات ثابتة.

بنية الحل

حل المعادلة:

\[ y' + a y = b \]

يكتب على الشكل:

\[ y(x) = y_h(x) + y_p(x) \]

حيث \( y_h \) حل للمعادلة المتجانسة:

\[ y' + a y = 0 \]

و\( y_p \) حل خاص لأي معادلة غير متجانسة.

طريقة الحل عندما \( b \) ثابت

  1. نحل المعادلة المتجانسة: \[ y' + a y = 0 \] فنحصل على: \[ y_h(x) = K\,\mathrm{e}^{-ax}. \]
  2. نبحث عن حل خاص ثابت من الشكل: \[ y_p(x) = \alpha \] حيث \( \alpha \) عدد حقيقي.
  3. نعوّض في المعادلة: \[ y_p' + a y_p = 0 + a\alpha = b \] فنحصل على: \[ a\alpha = b \Rightarrow \alpha = \frac{b}{a} \] بشرط \( a \neq 0 \).
  4. إذن الحل العام: \[ y(x) = K\,\mathrm{e}^{-ax} + \frac{b}{a}. \]

مثال

حل المعادلة:

\[ y' + 2y = 4. \]

الحل المتجانس: \[ y_h(x) = K\,\mathrm{e}^{-2x}. \]

نبحث عن حل خاص ثابت: \[ y_p(x) = \alpha. \]

بالتعويض: \[ 0 + 2\alpha = 4 \Rightarrow \alpha = 2. \]

الحل العام: \[ y(x) = K\,\mathrm{e}^{-2x} + 2. \]

6) المعادلات من الشكل العام \( y' + a y = f(x) \)

معادلة خطية ذات معاملات ثابتة وعضو حر عام

ندرس المعادلة:

\[ y' + a y = f(x) \]

حيث \( a \) ثابت و\( f(x) \) دالة معلومة في \( x \).

طريقة عامة للحل

الحل العام يكتب على الشكل:

\[ y(x) = \mathrm{e}^{-ax}\left(\int \mathrm{e}^{ax} f(x)\,dx + C\right) \]

لكن في الباك غالباً يُعطى التلميذ مساعدة أو شكل خاص لـ \( f(x) \) يجعل الحسابات بسيطة (مثلاً \( f(x) \) كثير حدود من الدرجة الأولى أو الثانية).

في امتحانات الباك، يفضّل في كل سؤال اتباع التعليمات خطوة خطوة: البحث عن حل متجانس، ثم حل خاص على شكل مقترح، ثم تركيبها للحصول على الحل العام.

7) تطبيقات نموذجية للمعادلات التفاضلية

نمو أو تناقص أسّي

إذا كانت كمية \( N(x) \) تتطور حسب المعادلة:

\[ N' = k N \]

فإن الحل العام:

\[ N(x) = C\,\mathrm{e}^{kx}. \]

إذا كان \( k > 0 \) نحصل على نمو أسّي، وإذا كان \( k < 0 \) نحصل على تناقص أسّي.

معادلة من الشكل \( y' + a y = b \) في نموذج فيزيائي مبسط

في نموذج كهربائي بسيط من نوع دارة منظمّة، يمكن أن نحصل على معادلة من الشكل:

\[ y' + a y = b \]

حيث \( y \) يمثل شدة التيار أو التوتر، و\( a,b \) ثوابت مرتبطة بعناصر الدارة. الحل يكون من الشكل:

\[ y(x) = K\,\mathrm{e}^{-ax} + \frac{b}{a}. \]

المهم في هذا المستوى هو التعرف على شكل المعادلة، واختيار الطريقة الصحيحة للحل (فصل المتغيرات، أو معادلة خطية متجانسة، أو غير متجانسة).

8) منهجية عامة في تمارين المعادلات التفاضلية

خطة عمل مقترحة

  1. التعرف على نوع المعادلة: هل هي من الرتبة الأولى؟ خطية؟ بفصل المتغيرات؟ على شكل \( y' + a y = f(x) \)؟
  2. إذا كانت المعادلة بفصل المتغيرات، نحاول عزل \( y \) معًا و\( x \) معًا ثم ندمج الطرفين.
  3. إذا كانت من الشكل \( y' + a y = 0 \)، نستعمل النتيجة المعروفة: \[ y(x) = K\,\mathrm{e}^{-ax}. \]
  4. إذا كانت من الشكل \( y' + a y = b \) بثابت \( b \)، نحل المتجانسة ثم نبحث عن حل خاص ثابت.
  5. إذا ظهرت شروط أولية مثل: \[ y(x_0) = y_0 \] نستعملها لإيجاد قيمة الثابت \( K \) في الحل العام.
  6. في النهاية نتحقق دائماً من أن الحل الذي وجدناه يحقق المعادلة التفاضلية والشرط الأولي.

أخطاء شائعة: نسيان ثابت التكامل \( C \) بعد الإدماج، عدم احترام المجال الذي تكون فيه الدالة موجبة عند استعمال اللوغاريتم، وعدم التحقق من الشرط الأولي في النهاية.

9) تمارين باك (10 تمارين) — مع حلول مفصلة

تمرين 1 — معادلة من الشكل \( y' = k y \)

حل في مجموعة الدوال: \[ y' = 3y. \]

المعادلة من الشكل: \[ y' = k y \] حيث \( k = 3 \). نعرف أن الحل العام: \[ y(x) = C\,\mathrm{e}^{kx}. \]

إذن: \[ y(x) = C\,\mathrm{e}^{3x} \] حيث \( C \) ثابت حقيقي.

تمرين 2 — معادلة متجانسة \( y' + a y = 0 \)

حل المعادلة التفاضلية: \[ y' + 4y = 0. \]

نكتب: \[ y' = -4y. \]

هذه معادلة من الشكل \( y' = k y \) حيث \( k = -4 \)، إذن: \[ y(x) = C\,\mathrm{e}^{-4x}. \]

هذا هو الحل العام لكل \( C \in \mathbb{R} \).

تمرين 3 — معادلة غير متجانسة \( y' + a y = b \)

نعتبر المعادلة: \[ y' + 2y = 6. \]

  1. أوجد الحل العام للمعادلة المتجانسة الموافقة.
  2. استنتج حلاً عاماً للمعادلة المعطاة.

1) المعادلة المتجانسة:

المعادلة المتجانسة: \[ y' + 2y = 0 \Rightarrow y' = -2y. \]

الحل العام: \[ y_h(x) = C\,\mathrm{e}^{-2x}. \]

2) حل خاص للمعادلة غير المتجانسة:

نبحث عن حل خاص ثابت: \[ y_p(x) = \alpha. \]

بالتعويض: \[ 0 + 2\alpha = 6 \Rightarrow \alpha = 3. \]

الحل العام: \[ y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C\,\mathrm{e}^{-2x} + 3. \]

تمرين 4 — معادلة بفصل المتغيرات

حل المعادلة: \[ y' = x y. \]

نكتب: \[ \frac{dy}{dx} = x y. \]

إذا كان \( y \neq 0 \): \[ \frac{1}{y}\,dy = x\,dx. \]

ندمج: \[ \int \frac{1}{y}\,dy = \int x\,dx \Rightarrow \ln|y| = \frac{x^2}{2} + C. \]

نأخذ الأسية: \[ |y| = \mathrm{e}^{\frac{x^2}{2} + C} = \mathrm{e}^C \mathrm{e}^{\frac{x^2}{2}}. \]

نكتب \( K = \pm \mathrm{e}^C \)، فنحصل على: \[ y(x) = K\,\mathrm{e}^{\frac{x^2}{2}} \] لكل \( K \in \mathbb{R} \).

تمرين 5 — مع شرط أولي

حل المعادلة: \[ y' = 2y \] مع الشرط: \[ y(0) = 5. \]

الحل العام للمعادلة: \[ y(x) = C\,\mathrm{e}^{2x}. \]

نطبق الشرط \( y(0) = 5 \): \[ y(0) = C\,\mathrm{e}^{0} = C = 5. \]

إذن: \[ y(x) = 5\,\mathrm{e}^{2x}. \]

تمرين 6 — معادلة \( y' + a y = b \) مع شرط أولي

نعتبر: \[ y' + y = 4 \] مع الشرط: \[ y(0) = 1. \]

الحل العام كما رأينا: \[ y(x) = C\,\mathrm{e}^{-x} + 4. \]

نطبق الشرط \( y(0) = 1 \): \[ y(0) = C\,\mathrm{e}^{0} + 4 = C + 4 = 1. \]

نحصل على: \[ C = -3. \]

إذن: \[ y(x) = -3\,\mathrm{e}^{-x} + 4. \]

تمرين 7 — تعرّف نوع المعادلة

لتكن المعادلة: \[ y' + 5x y = 0. \]

  1. هل هي معادلة خطية ذات معاملات ثابتة؟
  2. هل هي قابلة لفصل المتغيرات؟ إذا كان الجواب نعم، حلها.

المعامل المضروب في \( y \) هو \( 5x \) وليس ثابتاً، إذن المعادلة ليست ذات معاملات ثابتة.

لكن يمكن كتابتها على شكل: \[ y' = -5x y. \]

نلاحظ أنها من الشكل: \[ \frac{dy}{dx} = f(x)\,y \] إذن قابلة لفصل المتغيرات: \[ \frac{1}{y}\,dy = -5x\,dx. \]

ندمج: \[ \int \frac{1}{y}\,dy = \int -5x\,dx \Rightarrow \ln|y| = -\frac{5x^2}{2} + C. \]

نأخذ الأسية: \[ y(x) = K\,\mathrm{e}^{-\frac{5x^2}{2}} \] حيث \( K \) ثابت حقيقي.

تمرين 8 — نموذج نمو أسّي

كمية \( N(x) \) تتطور حسب المعادلة: \[ N' = 0.4 N \] مع الشرط: \[ N(0) = 100. \]

  1. أوجد التعبير العام لـ \( N(x) \).
  2. احسب \( N(5) \) على شكل مبسط.

الحل العام للمعادلة: \[ N(x) = C\,\mathrm{e}^{0.4x}. \]

من الشرط \( N(0) = 100 \): \[ C\,\mathrm{e}^{0} = C = 100. \]

إذن: \[ N(x) = 100\,\mathrm{e}^{0.4x}. \]

عند \( x = 5 \): \[ N(5) = 100\,\mathrm{e}^{0.4 \times 5} = 100\,\mathrm{e}^{2}. \]

تمرين 9 — اختبار حل

نعتبر المعادلة: \[ y' + 3y = 9. \]

  1. بيّن أن الدالة: \[ y(x) = 2\,\mathrm{e}^{-3x} + 3 \] حل للمعادلة.
  2. ما هو الحل العام للمعادلة؟

1) التحقق:

نحسب المشتقة: \[ y'(x) = 2 \cdot (-3)\,\mathrm{e}^{-3x} = -6\,\mathrm{e}^{-3x}. \]

نحسب: \[ y' + 3y = -6\,\mathrm{e}^{-3x} + 3\left(2\,\mathrm{e}^{-3x} + 3\right) = -6\,\mathrm{e}^{-3x} + 6\,\mathrm{e}^{-3x} + 9 = 9. \]

إذن \( y \) تحقق المعادلة.

2) الحل العام:

الحل العام للمعادلة: \[ y(x) = C\,\mathrm{e}^{-3x} + 3 \] لكل \( C \in \mathbb{R} \). الدالة المعطاة توافق \( C = 2 \).

تمرين 10 — مسألة كاملة مع شرط أولي ومعادلة من الرتبة الأولى

نعتبر المعادلة: \[ y' + 2y = x \] مع الشرط: \[ y(0) = 0. \]

  1. أوجد الحل العام للمعادلة المتجانسة الموافقة.
  2. اقترح شكلاً لحل خاص من الشكل: \[ y_p(x) = ax + b \] ثم حدّد \( a \) و\( b \).
  3. استنتج الحل العام، ثم الحل الذي يحقق الشرط \( y(0) = 0 \).

1) المعادلة المتجانسة:

المعادلة المتجانسة: \[ y' + 2y = 0 \Rightarrow y' = -2y. \]

الحل العام: \[ y_h(x) = C\,\mathrm{e}^{-2x}. \]

2) حل خاص من الشكل \( y_p(x) = ax + b \):

نحسب: \[ y_p'(x) = a. \]

نعوّض في المعادلة: \[ y_p' + 2y_p = a + 2(ax + b). \]

يجب أن يساوي هذا التعبير \( x \): \[ a + 2(ax + b) = x. \]

نرتب: \[ a + 2ax + 2b = x \Rightarrow (2a)x + (a + 2b) = x. \]

بالتالي: \[ 2a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2} \] و \[ a + 2b = 0 \Rightarrow \frac{1}{2} + 2b = 0 \Rightarrow 2b = -\frac{1}{2} \Rightarrow b = -\frac{1}{4}. \]

إذن: \[ y_p(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}. \]

3) الحل العام والشرط الأولي:

الحل العام: \[ y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C\,\mathrm{e}^{-2x} + \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}. \]

نطبق الشرط \( y(0) = 0 \): \[ y(0) = C\,\mathrm{e}^{0} + 0 - \frac{1}{4} = C - \frac{1}{4} = 0. \]

إذن: \[ C = \frac{1}{4}. \]

الحل الذي يحقق الشرط: \[ y(x) = \frac{1}{4}\,\mathrm{e}^{-2x} + \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}. \]

10) خلاصة مركزة لدرس المعادلات التفاضلية

  • المعادلة التفاضلية تربط بين دالة مجهولة ومشتقاتها، وحلها يكون عادة عائلة من الدوال.
  • رتبة المعادلة التفاضلية هي رتبة أعلى مشتقة تظهر فيها.
  • في المعادلات من الشكل \( y' = k y \)، الحل العام: \[ y(x) = C\,\mathrm{e}^{kx}. \]
  • المعادلة الخطية المتجانسة: \[ y' + a y = 0 \] لها الحل: \[ y(x) = C\,\mathrm{e}^{-ax}. \]
  • المعادلة: \[ y' + a y = b \] حيث \( b \) ثابت، لها الحل: \[ y(x) = C\,\mathrm{e}^{-ax} + \frac{b}{a} \] إذا كان \( a \neq 0 \).
  • المعادلات بفصل المتغيرات تكتب على شكل: \[ \frac{dy}{dx} = f(x)\,g(y) \] فنفصل \( x \) عن \( y \) ثم ندمج الطرفين.
  • الشروط الأولية من الشكل: \[ y(x_0) = y_0 \] تستعمل لتحديد قيمة الثابت \( C \) في الحل العام.
  • المعادلات التفاضلية تُستعمل لنمذجة النمو والتناقص وبعض الظواهر الفيزيائية البسيطة في مستوى البكالوريا.

درس «المعادلات التفاضلية» — 2ᵉ باك علوم رياضية — © neobac.ma