قوانين التركيب الداخلي

1) تمهيد وأهداف درس قوانين التركيب الداخلي

في هذا الدرس ننتقل من الحساب العددي العادي إلى اللغة الجبرية المجردة: نفكر في مجموعة \(E\) (مثل \( \mathbb{Z} \), \( \mathbb{R} \), مجموعة دوال، مصفوفات، …) ومعها قانون تركيب داخلي نرمز له غالباً بـ \( + \) أو \( \cdot \) أو \( \star \).

الهدف هو دراسة خصائص هذا القانون (تبديلية، تجميعية، عنصر حيادي، عناصر معكوسة، …) وبناء بنى جبرية مثل شبه زمرة، زمرة أحادية، زمرة، زمرة تبديلية. هذه المفاهيم أساسية في الجبر الحديث، وفي الرياضيات العليا والفيزياء وعلوم المعلوميات.

ماذا يجب أن تكتسب في هذا الدرس؟

فهم تعريف قانون تركيب داخلي على مجموعة غير خالية.
استعمال التمثيل بالجدول (جدول التوالف) في حالة المجموعات المنتهية.
التمييز بين الخاصيات: الانغلاق، التبديلية، التجميعية، وجود عنصر حيادي، وجود عناصر معكوسة.
التعرف على البنى: شبه زمرة، زمرة أحادية، زمرة، زمرة تبديلية.
تحليل أمثلة كلاسيكية: \( (\mathbb{Z},+) \), \( (\mathbb{R}^\*,\cdot) \), \( (\mathbb{Z}_n,+_n) \), …
اكتشاف قوانين تركيب ليست داخلية أو لا تحقق بعض الخاصيات (قانون غير تجميعي، لا حيادي، …).
حل تمارين برهانية بسيطة للتحقق من كون بنية ما زمرة أو غير ذلك.

فكرة عامة

الفكرة الأساسية: نعوّض «الأعداد + و ×» بـ «أي عناصر لقيم مجموعة» و«أي قانون تركيب» ثم ندرس الخصائص. عندما نتحقق من خصائص معينة نحصل على بنية جبرية لها قواعد قوية نستعملها في الحساب والبرهان.

2) تعريف قانون تركيب داخلي على مجموعة

تعريف أساسي

لتكن \( E \) مجموعة غير خالية. نسمي قانون تركيب داخلي على \( E \) كل تطبيق من:

\[ E \times E \longrightarrow E,\quad (x,y) \longmapsto x \star y. \]

أي أننا نربط بكل زوج مرتب \( (x,y) \) من عناصر \( E \) عنصراً وحيداً من \( E \) نرمز له بـ \( x \star y \). نقول «داخلي» لأن نتيجة التركيب تبقى داخل المجموعة نفسها.

أمثلة لقوانين تركيب داخلية

على \( \mathbb{Z} \): الجمع المعهود \( + \) بحيث لكل عددين صحيحين \( a,b \) يكون \( a+b \) أيضاً عدداً صحيحاً.
على \( \mathbb{R} \): الضرب المعهود \( \cdot \) بحيث لكل عددين حقيقيين \( x,y \) يكون \( x\cdot y \) حقيقياً.
على مجموعة المصفوفات من رتبة \( 2 \): الجمع سطر بسطر هو قانون تركيب داخلي.
على مجموعة الدوال من \( \mathbb{R} \) إلى \( \mathbb{R} \): تكوين الدوال \( f \circ g \) قانون تركيب داخلي.

مثال قانون ليس داخلياً

على \( \mathbb{N} \) (الأعداد الطبيعية)، العملية «القسمة» ليست قانون تركيب داخلي لأن نتيجة قسمة عددين طبيعيين ليست دائماً عدداً طبيعياً (مثل \( 1 \div 2 \)).

3) جدول التوالف (جدول كايلي) على مجموعة منتهية

ما هو جدول التوالف؟

إذا كانت المجموعة \( E \) منتهية، مثلاً: \[ E = \{e,a,b,\dots\}, \] يمكن تمثيل قانون التركيب الداخلي \( \star \) على شكل جدول يسمى جدول التوالف أو جدول كايلي.

في هذا الجدول نكتب عناصر \( E \) في السطر الأول وفي العمود الأول، وفي تقاطع السطر الموافق لـ \( x \) والعمود الموافق لـ \( y \) نكتب العنصر \( x \star y \).

مثال بسيط

لتكن المجموعة: \[ E = \{e,a,b\} \] ونعتبر قانوناً \( \star \) معرفاً الجدول الآتي:

\(\star\)	e	a	b
e	e	a	b
a	a	a	b
b	b	b	b

هذا الجدول يعني مثلاً: \[ e \star a = a,\quad a \star b = b,\quad b \star a = b,\dots \]

في المجموعات المنتهية، جدول التوالف يساعد كثيراً في رؤية الخاصيات: التبديلية (تناظر الجدول حول القطر)، العنصر الحيادي (سطر وعمود خاصان)، المعكوسات، …

4) خاصيات قوانين التركيب الداخلي

التبديلية والتجميعية

يقال إن القانون \( \star \) تبادلي على \( E \) إذا تحقق: \[ \forall x,y \in E,\ x \star y = y \star x. \]
يقال إن القانون \( \star \) تجميعي على \( E \) إذا تحقق: \[ \forall x,y,z \in E,\ (x \star y) \star z = x \star (y \star z). \]

العنصر الحيادي

عنصر \( e \) من \( E \) يسمى عنصراً حيادياً بالنسبة للقانون \( \star \) إذا تحقق:

\[ \forall x \in E,\ e \star x = x \quad \text{و} \quad x \star e = x. \]

إذا كان القانون تجميعياً، فإن العنصر الحيادي (عندما يوجد) يكون وحيداً.

العنصر المعكوس

إذا كان \( e \) عنصراً حيادياً لقانون تجميعي \( \star \) على \( E \)، فنقول إن عنصر \( a \) من \( E \) يملك معكوساً إذا وُجد عنصر \( b \) من \( E \) يحقق:

\[ a \star b = e \quad \text{و} \quad b \star a = e. \]

هذا العنصر (عندما يوجد) يكون وحيداً وغالباً نرمز له بـ \( a^{-1} \).

أمثلة على هذه الخاصيات

على \( \mathbb{Z} \) مع الجمع:
- القانون تجميعي وتبادلي.
- العنصر الحيادي هو \( 0 \) لأن: \[ \forall a,\ a + 0 = 0 + a = a. \]
- كل عدد \( a \) له معكوس هو \( -a \) لأن: \[ a + (-a) = 0. \]
على \( \mathbb{R}^\* \) (الحقيقيات غير المنعدمة) مع الضرب:
- القانون تجميعي وتبادلي.
- العنصر الحيادي هو \( 1 \).
- كل عدد \( x \) غير منعدم له معكوس \( \dfrac{1}{x} \).
على \( \mathbb{N} \) مع الطرح:
- الطرح ليس تجميعياً ولا تبادلياً.
- لا يوجد عنصر حيادي للطرح على \( \mathbb{N} \).

في غالبية التمارين، تُطلب منك:

التحقق من التجميعية والتبديلية عن طريق الحساب أو استعمال خواص معروفة.
البحث عن العنصر الحيادي (إن وجد) بحل معادلات من النوع: \[ e \star x = x,\ x \star e = x. \]
البحث عن المعكوسات بحل معادلات من النوع: \[ a \star b = e,\ b \star a = e. \]

5) البنى الجبرية الناتجة عن قانون تركيب داخلي

شبه زمرة

زوج \( (E,\star) \) يسمى شبه زمرة إذا كانت \( E \) مجموعة غير خالية و \( \star \) قانون تركيب داخلي تجميعي:

\[ \forall x,y,z \in E,\ (x \star y) \star z = x \star (y \star z). \]

زمرة أحادية

زوج \( (E,\star) \) يسمى زمرة أحادية إذا كان:

قانون \( \star \) داخلي وتجميعي على \( E \).
يوجد عنصر حيادي \( e \) في \( E \) بالنسبة لـ \( \star \).

زمرة

زوج \( (E,\star) \) يسمى زمرة إذا كان:

\( (E,\star) \) زمرة أحادية.
كل عنصر من \( E \) يملك معكوساً بالنسبة لـ \( \star \).

زمرة تبديلية (أبيلية)

إذا كانت \( (E,\star) \) زمرة وكان القانون \( \star \) تبادلياً أيضاً، نقول إن \( (E,\star) \) زمرة تبديلية أو زمرة أبيلية.

أمثلة أساسية يجب حفظها

\( (\mathbb{Z},+) \):
- القانون داخلي، تجميعي، تبادلي.
- العنصر الحيادي هو \( 0 \).
- كل عنصر يملك معكوساً تجمعياً.
- إذن \( (\mathbb{Z},+) \) زمرة تبديلية.
\( (\mathbb{R}^\*,\cdot) \):
- زمرة تبديلية بالنسبة للضرب.
\( (\mathbb{N},+) \):
- زمرة أحادية (العنصر الحيادي \( 0 \)) لكنها ليست زمرة، لأن بعض العناصر لا تملك معكوساً في \( \mathbb{N} \).

6) أمثلة لقوانين تركيب خاصة

قانون من النوع \( x \star y = x + y + 1 \) على \( \mathbb{Z} \)

نعرف على \( \mathbb{Z} \) القانون: \[ x \star y = x + y + 1. \]

القانون داخلي لأن مجموع عددين صحيحين مع \( 1 \) يعطي عدداً صحيحاً.
القانون تبادلي لأن: \[ x \star y = x + y + 1 = y + x + 1 = y \star x. \]
القانون تجميعي لأن: \[ (x \star y) \star z = (x + y + 1) + z + 1 = x + y + z + 2, \] \[ x \star (y \star z) = x + (y + z + 1) + 1 = x + y + z + 2. \]
للبحث عن العنصر الحيادي \( e \) نطلب: \[ x \star e = x \quad \Longrightarrow \quad x + e + 1 = x. \] هذا يعطي: \[ e + 1 = 0 \Rightarrow e = -1. \] يمكن التحقق أيضاً من: \[ e \star x = -1 + x + 1 = x. \] إذن الحيادي هو \( -1 \).
لكل \( x \) في \( \mathbb{Z} \) يوجد معكوس \( x' \) يحل: \[ x \star x' = -1 \Rightarrow x + x' + 1 = -1 \Rightarrow x' = -2 - x. \]

إذن \( (\mathbb{Z},\star) \) زمرة تبديلية.

قانون من النوع \( x \diamond y = x - y \) على \( \mathbb{Z} \)

نعتبر: \[ x \diamond y = x - y. \]

القانون داخلي على \( \mathbb{Z} \) لأن فرق عددين صحيحين صحيح.
القانون ليس تبادلياً لأن في العادة: \[ x - y \neq y - x. \]
القانون ليس تجميعياً: \[ (x \diamond y) \diamond z = (x - y) - z = x - y - z, \] \[ x \diamond (y \diamond z) = x - (y - z) = x - y + z. \] في العموم ليسا متساويين.
لا يوجد عنصر حيادي حقيقي، لأن المعادلتين: \[ e \diamond x = x,\ x \diamond e = x \] تعطيان شروطاً متناقضة.

إذن \( (\mathbb{Z},\diamond) \) ليس حتى زمرة أحادية.

7) أمثلة لقوانين ليست داخلية

طرح على الأعداد الطبيعية

على \( \mathbb{N} \)، العملية: \[ (x,y) \longmapsto x - y \] ليست قانون تركيب داخلي لأن:

إذا أخذنا مثلاً \( x = 1 \), \( y = 3 \) يكون: \[ x - y = -2 \] وهو ليس عنصراً من \( \mathbb{N} \).

القسمة على \( \mathbb{Z} \)

على \( \mathbb{Z} \)، العملية: \[ (a,b) \longmapsto \frac{a}{b} \] ليست داخلية لأنها قد تعطي عدداً غير صحيح (مثلاً \( 1/2 \)).

في الامتحان، عندما يُطلب منك التأكد أن عملية ما قانون تركيب داخلي، أول شيء يجب التحقق منه هو: «هل النتيجة دائماً تنتمي للمجموعة؟».

8) منهجية التمارين حول قوانين التركيب الداخلي

خطة عمل مقترحة

التأكد من أن العملية داخلية:
- نعوّض زوجاً عاماً \( (x,y) \) ونرى إن كانت النتيجة تنتمي للمجموعة.
التحقق من التبادلية والتجميعية:
- نحسب \( x \star y \) و \( y \star x \) ونقارن.
- نحسب \( (x \star y) \star z \) و \( x \star (y \star z) \) ونقارن.
البحث عن العنصر الحيادي:
- نحل المعادلتين الرمليتين: \[ e \star x = x,\ x \star e = x. \]
- إذا وجد نفس العنصر \( e \) يحقق الشرطين فهو الحيادي.
البحث عن المعكوسات:
- إذا وجد حيادي \( e \) والقانون تجميعي، نبحث عن \( y \) لكل \( x \) يحل: \[ x \star y = e,\ y \star x = e. \]
التصنيف النهائي:
- شبه زمرة؟ زمرة أحادية؟ زمرة؟ زمرة تبديلية؟
- نكتب جواباً واضحاً مع ذكر الخاصيات المستعملة.

من الأخطاء المتكررة:

الخلط بين «العنصر الحيادي» و«العنصر المعكوس».
نسيان التحقق من أن العملية داخلية قبل كل شيء.
كتابة برهان شفهي بدون حسابات توضح التجميعية أو التبديلية.

9) تمارين باك — قوانين التركيب الداخلي (10 تمارين مع الحل)

تمرين 1 — قانون الجمع على الأعداد الصحيحة

نعتبر المجموعة \( \mathbb{Z} \) مع القانون \( + \).

برهن أن \( + \) قانون تركيب داخلي على \( \mathbb{Z} \).
أثبت أن \( + \) تجميعي وتبادلي.
حدد العنصر الحيادي وبيّن أن كل عنصر يملك معكوساً.
استنتج نوع البنية الجبرية \( (\mathbb{Z},+) \).

1) مجموع عددين صحيحين عدد صحيح، إذن \( + \) داخلي على \( \mathbb{Z} \).

2) من خواص الجمع المعروفة: \[ \forall a,b,c,\ (a+b)+c = a+(b+c),\ a+b = b+a. \] إذن القانون تجميعي وتبادلي.

3) العنصر الحيادي هو \( 0 \) لأن: \[ \forall a,\ a+0 = 0+a = a. \] لكل عدد \( a \) معكوس هو \( -a \) لأن: \[ a + (-a) = 0. \]

4) إذن \( (\mathbb{Z},+) \) زمرة تبديلية.

تمرين 2 — قانون خاص على \( \mathbb{Z} \)

على \( \mathbb{Z} \) نعرف القانون: \[ x \star y = x + y + 1. \]

أثبت أن \( \star \) قانون تركيب داخلي على \( \mathbb{Z} \).
تحقق من التبديلية والتجميعية.
أوجد العنصر الحيادي إن وجد.
لكل \( x \) في \( \mathbb{Z} \)، أوجد معكوسه بالنسبة لـ \( \star \) إن وجد.
استنتج نوع البنية \( (\mathbb{Z},\star) \).

1) لأن: \[ x \star y = x + y + 1 \] وعدد صحيح زائد عدد صحيح زائد \( 1 \) يعطي عدداً صحيحاً، إذن القانون داخلي.

2) التبديلية: \[ x \star y = x + y + 1 = y + x + 1 = y \star x. \] التجميعية: \[ (x \star y) \star z = (x + y + 1) + z + 1 = x + y + z + 2, \] \[ x \star (y \star z) = x + (y + z + 1) + 1 = x + y + z + 2. \] متساويتان، إذن القانون تجميعي.

3) نبحث عن \( e \) يحقق: \[ x \star e = x \Rightarrow x + e + 1 = x \Rightarrow e + 1 = 0 \Rightarrow e = -1. \] كذلك: \[ e \star x = -1 + x + 1 = x. \] إذن الحيادي هو \( -1 \).

4) نبحث عن معكوس \( x' \) لـ \( x \): \[ x \star x' = -1 \Rightarrow x + x' + 1 = -1 \Rightarrow x' = -2 - x. \] هذا عنصر من \( \mathbb{Z} \) لكل \( x \).

5) إذن \( (\mathbb{Z},\star) \) زمرة تبديلية.

تمرين 3 — قانون الطرح على \( \mathbb{Z} \)

على \( \mathbb{Z} \) نعتبر القانون: \[ x \diamond y = x - y. \]

برهن أن \( \diamond \) قانون تركيب داخلي.
هل القانون تجميعي؟ هل هو تبادلي؟
هل يوجد عنصر حيادي لـ \( \diamond \) على \( \mathbb{Z} \)؟

1) فرق عددين صحيحين عدد صحيح، إذن \( \diamond \) داخلي.

2) التبديلية: في العموم: \[ x - y \neq y - x \] إذن القانون غير تبادلي.

التجميعية: \[ (x \diamond y) \diamond z = (x - y) - z = x - y - z, \] \[ x \diamond (y \diamond z) = x - (y - z) = x - y + z. \] في العموم ليست متساوية، إذن القانون غير تجميعي.

3) نفرض وجود حيادي \( e \) يحقق: \[ e \diamond x = x \Rightarrow e - x = x \Rightarrow e = 2x. \] هذا مستحيل أن يتحقق لكل \( x \) لأن \( e \) سيكون تابعاً لـ \( x \). إذن لا يوجد عنصر حيادي. النتيجة: \( (\mathbb{Z},\diamond) \) ليس زمرة أحادية.

تمرين 4 — زمرة الضرب على \( \mathbb{R}^\* \)

نعتبر \( \mathbb{R}^\* \) مجموعة الأعداد الحقيقية غير المنعدمة مع القانون \( \cdot \).

بيّن أن \( \cdot \) قانون داخلي تجميعي تبادلي على \( \mathbb{R}^\* \).
حدد العنصر الحيادي.
أثبت أن كل عنصر في \( \mathbb{R}^\* \) يملك معكوساً.
استنتج أن \( (\mathbb{R}^\*,\cdot) \) زمرة تبديلية.

من خواص الضرب على \( \mathbb{R} \): الضرب داخلي وتجميعي وتبادلي، وعند استثناء الصفر تبقى هذه الخاصيات صحيحة على \( \mathbb{R}^\* \).

العنصر الحيادي هو \( 1 \) لأن: \[ \forall x,\ x \cdot 1 = 1 \cdot x = x. \]

لكل \( x \) غير منعدم يوجد معكوس \( \dfrac{1}{x} \) يحقق: \[ x \cdot \frac{1}{x} = 1. \]

إذن \( (\mathbb{R}^\*,\cdot) \) زمرة تبديلية.

تمرين 5 — قانون على \( \mathbb{Z}_n \)

نعتبر \( \mathbb{Z}_n \) مجموعة البواقي من القسمة الإقليدية على \( n \) مع القانون \( +_n \) (الجمع النمطي).

فسّر لماذا \( +_n \) قانون تركيب داخلي على \( \mathbb{Z}_n \).
هل القانون تبادلي وتجميعي؟
ما هو العنصر الحيادي؟
هل كل عنصر يملك معكوساً؟ (أجب بالنسبة للحالة العامة دون الدخول في التفاصيل).

يعطي الجمع النمطي دائماً عنصراً من \( \mathbb{Z}_n \)، إذن \( +_n \) داخلي.

خواص الجمع العادي تنتقل إلى الجمع النمطي، فيبقى تجميعياً وتبادلياً.

العنصر الحيادي هو فئة الصفر، عادة نرمز لها أيضاً بـ \( 0 \)، لأن: \[ \forall \overline{a},\ \overline{a} +_n \overline{0} = \overline{a}. \]

كل فئة \( \overline{a} \) تملك عنصراً \( \overline{b} \) يحقق \[ \overline{a} +_n \overline{b} = \overline{0}. \] في الواقع يمكن أخذ \( b = n - a \) (أو عدد مكافئ له). إذن \( (\mathbb{Z}_n,+_n) \) زمرة تبديلية.

تمرين 6 — جدول توالف وبحث عن حيادي ومعكوسات

نعتبر المجموعة: \[ E = \{e,a,b\} \] والقانون \( \star \) المعرف بالجدول:

\(\star\)	e	a	b
e	e	a	b
a	a	e	a
b	b	a	e

بيّن أن \( e \) عنصر حيادي.
أوجد معكوس كل عنصر.
هل \( (E,\star) \) زمرة؟ هل هي تبديلية؟

من الجدول: السطر الموافق لـ \( e \) هو: \[ e,e,a,b \] والعمود الموافق لـ \( e \) هو: \[ e,e,a,b \] أي: \[ e \star x = x,\ x \star e = x. \] إذن \( e \) حيادي.

معكوس \( e \) هو نفسه لأن: \[ e \star e = e. \]

من الجدول: \[ a \star a = e,\ b \star b = e. \] إذن معكوس \( a \) هو \( a \)، ومعكوس \( b \) هو \( b \).

كل عنصر يملك معكوساً، إذن لدينا زمرة. كما أن الجدول متماثل بالنسبة للقطر الرئيسي، إذن القانون تبادلي، والزُمرة تبديلية.

تمرين 7 — قانون غير داخلي على \( \mathbb{N} \)

على \( \mathbb{N} \) نعرف العملية: \[ x \star y = x - y. \]

برهن أن هذه العملية ليست قانون تركيب داخلي على \( \mathbb{N} \).
هل تصبح قانوناً داخلياً إذا اشتغلنا على \( \mathbb{Z} \) بدل \( \mathbb{N} \)؟

على \( \mathbb{N} \)، إذا أخذنا مثلاً \( x = 1, y = 3 \) نحصل على: \[ 1 \star 3 = 1 - 3 = -2 \] وهو ليس عنصراً من \( \mathbb{N} \). إذن العملية ليست داخلية.

على \( \mathbb{Z} \) فرق عددين صحيحين عدد صحيح، إذن على \( \mathbb{Z} \) تصبح العملية قانون تركيب داخلي.

تمرين 8 — قانون على الدوال (زمرة أحادية)

لتكن \( F \) مجموعة جميع الدوال من \( \mathbb{R} \) إلى \( \mathbb{R} \). نعرف على \( F \) القانون: \[ (f \star g)(x) = f(x) + g(x). \]

بيّن أن \( \star \) قانون تركيب داخلي على \( F \).
ما هو العنصر الحيادي؟
هل كل دالة تملك معكوساً بالنسبة لـ \( \star \) داخل \( F \)؟
استنتج نوع البنية \( (F,\star) \).

مجموع دالتين من \( F \) دالة من \( F \)، إذن \( \star \) داخلي.

العنصر الحيادي هو الدالة الصفرية التي ترسل كل عدد إلى الصفر، لأن: \[ (f \star 0)(x) = f(x) + 0 = f(x). \]

لأي دالة \( f \) يمكن تعريف دالة \( g \) بالقاعدة: \[ g(x) = -f(x), \] فنحصل على: \[ (f \star g)(x) = f(x) + g(x) = 0. \] إذن كل دالة تملك معكوساً.

وكذلك القانون تبادلي وتجميعي، إذن \( (F,\star) \) زمرة تبديلية.

تمرين 9 — قانون على \( \mathbb{R} \) من النوع \( x \star y = x + y - 3 \)

على \( \mathbb{R} \) نعرف: \[ x \star y = x + y - 3. \]

بيّن أن القانون داخلي، تجميعي، تبادلي.
أوجد العنصر الحيادي.
أوجد معكوس عنصر حقيقي عام \( a \).
استنتج نوع البنية \( (\mathbb{R},\star) \).

داخلي لأن مجموع عددين حقيقيين ناقص \( 3 \) حقيقي.

التبديلية: \[ x \star y = x + y - 3 = y + x - 3 = y \star x. \]

التجميعية: \[ (x \star y) \star z = (x + y - 3) + z - 3 = x + y + z - 6, \] \[ x \star (y \star z) = x + (y + z - 3) - 3 = x + y + z - 6. \]

الحيادي \( e \) يحل: \[ x \star e = x \Rightarrow x + e - 3 = x \Rightarrow e = 3. \]

معكوس \( a \) يحل: \[ a \star b = 3 \Rightarrow a + b - 3 = 3 \Rightarrow b = 6 - a. \]

إذن \( (\mathbb{R},\star) \) زمرة تبديلية.

تمرين 10 — تصنيف بنية من خلال خاصياتها

نعتبر بنية \( (E,\star) \) بحيث:

القانون \( \star \) داخلي وتجميعي على \( E \).
لا يوجد عنصر حيادي.

هل يمكن أن تكون \( (E,\star) \) زمرة؟ علّل.
كيف نصنف هذه البنية؟

زمرة تتطلب وجود عنصر حيادي ومعكوس لكل عنصر. هنا لا يوجد حيادي، إذن \( (E,\star) \) لا يمكن أن تكون زمرة ولا زمرة أحادية.

بما أن القانون داخلي وتجميعي فقط، فإن \( (E,\star) \) مجرد شبه زمرة.

10) خلاصة مركزة لدرس قوانين التركيب الداخلي

قانون التركيب الداخلي هو تطبيق من \( E \times E \) نحو \( E \)، نتيجته تبقى داخل المجموعة.
في المجموعات المنتهية نستعمل جدول التوالف لتمثيل القانون ودراسة خصائصه.
الخاصيات الأساسية: التبديلية، التجميعية، العنصر الحيادي، العناصر المعكوسة.
شبه زمرة: قانون داخلي تجميعي على مجموعة غير خالية.
زمرة أحادية: شبه زمرة مع وجود عنصر حيادي.
زمرة: زمرة أحادية يملك فيها كل عنصر معكوساً.
زمرة تبديلية: زمرة يكون فيها القانون تبادلياً.
أمثلة أساسية: \( (\mathbb{Z},+) \), \( (\mathbb{R}^\*,\cdot) \), \( (\mathbb{Z}_n,+_n) \) زُمر تبديلية.
المنهجية: التحقق من أن العملية داخلية، ثم فحص التجميعية والتبديلية، ثم البحث عن الحيادي والمعكوسات لتصنيف البنية الجبرية.