مبرهنة التزايدات المنتهية

الدالة \(f\) كثير حدود ⇒ متصلة وقابلة للاشتقاق على \(\mathbb{R}\)، إذن تحقق شروط المبرهنة على \([0,3]\).

نحسب: \[ f(0)=0,\quad f(3)=9+6=15. \]

إذن: \[ \frac{f(3)-f(0)}{3-0}=\frac{15-0}{3}=5. \]

حسب المبرهنة، يوجد عدد \(c\) من \(]0,3[\) يحقق: \[ f'(c)=5. \]

لدينا: \[ f'(x)=2x+2. \]

نحل: \[ 2c+2=5 \Rightarrow 2c=3 \Rightarrow c=\frac{3}{2}. \]

العدد \(\dfrac{3}{2}\) ينتمي إلى المجال \(]0,3[\)، إذن الحل مقبول.

نحسب: \[ f(1)=1-4+3=0,\quad f(3)=9-12+3=0. \]

إذن \(f(1)=f(3)\). بما أن \(f\) كثير حدود فهي متصلة على \([1,3]\) وقابلة للاشتقاق على \(]1,3[\). إذن تحقق شروط مبرهنة رول.

حسب المبرهنة يوجد \(c\) من \(]1,3[\) يحقق \(f'(c)=0\).

لدينا: \[ f'(x)=2x-4. \]

نحل: \[ 2c-4=0 \Rightarrow 2c=4 \Rightarrow c=2. \]

العدد \(2\) ينتمي إلى المجال \(]1,3[\) إذن هو المطلوب.

لدينا: \[ f'(x)=3x^2+3=3(x^2+1). \]

بما أن \(x^2+1>0\) لكل \(x\)، فإن \(f'(x)>0\) لكل \(x\) من \(\mathbb{R}\).

الدالة \(f\) متصلة وقابلة للاشتقاق على \(\mathbb{R}\)، ومن مبرهنة التزايدات المنتهية نستنتج أن \(f\) تزايدية تماماً على كل مجال، وبالتالي على \(\mathbb{R}\).

نطبق المبرهنة على المجال \([1,x]\) حيث \(1

يوجد عدد \(c\) من \(]1,x[\) يحقق: \[ f'(c)=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}. \]

أي: \[ f(x)-f(1)=(x-1)f'(c) \Rightarrow x^2-1=(x-1)f'(c). \]

بما أن \(f'(x)=2x\)، فإن \(f'(c)=2c\). في المجال \(]1,x[\) يكون \(c>1\) وبالتالي \(2c>2>0\).

إذاً: \[ x^2-1=(x-1)f'(c). \]

ولكون \(x>1\) فإن \(x-1>0\) و\(f'(c)>0\)، وبالتالي \(x^2-1>0\) أي \(x^2>1\).

وبما أن \(x\ge 1\) على \([1,2]\)، نحصل على \(x^2\ge x\) لكل \(x\) من هذا المجال.

\(f\) كثير حدود ⇒ متصلة وقابلة للاشتقاق على \(\mathbb{R}\)، إذن على \([0,2]\) و \(]0,2[\).

نحسب: \[ f(0)=0,\quad f(2)=8-4=4. \]

إذن: \[ \frac{f(2)-f(0)}{2-0}=\frac{4}{2}=2. \]

حسب المبرهنة يوجد \(c\) من \(]0,2[\) يحقق: \[ f'(c)=2. \]

لدينا: \[ f'(x)=3x^2-2. \]

نحل: \[ 3c^2-2=2 \Rightarrow 3c^2=4 \Rightarrow c^2=\frac{4}{3} \Rightarrow c=\pm \frac{2}{\sqrt{3}}. \]

من المجال \(]0,2[\) نحتفظ بـ: \[ c=\frac{2}{\sqrt{3}}. \]

نحسب: \[ f(2)=8-6=2,\quad f(-2)=-8+6=-2. \]

نلاحظ أنه لا يوجد تساوٍ، إذن لا يمكننا تطبيق مبرهنة رول على \([-2,2]\).

لكن يمكننا دراسة المعادلة مباشرة: \[ x^3-3x=x(x^2-3)=0. \]

الحلول هي \(x=0\) و \(x=\sqrt{3}\) و \(x=-\sqrt{3}\). يمكن التحقق أن هذه القيم تنتمي إلى المجال \([-2,2]\).

هذا التمرين يذكّر بأن مبرهنة رول ليست دائماً ضرورية إذا أمكن حل المعادلة جبرياً.

المقام \(x\) لا يساوي الصفر، إذن مجموعة تعريف \(f\) هي \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\). على المجال \([1,2]\) لا نصل إلى الصفر، إذن \(f\) معرفة على \([1,2]\).

\(f\) خارج كثيرتي حدود ومقامها لا ينعدم على \([1,2]\)، إذن \(f\) متصلة وقابلة للاشتقاق على \([1,2]\) و \(]1,2[\) على الترتيب.

حسب المبرهنة، يوجد \(c\) من \(]1,2[\) يحقق: \[ f'(c)=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}. \]

يمكن للمتعلم حساب القيم إذا طلب ذلك، لكن المهم هنا هو التحقق من الشروط واستنتاج الوجود.

مشتقة الدالة الأسية هي: \[ f'(x)=\mathrm{e}^x. \]

وبما أن \(\mathrm{e}^x>0\) لكل \(x\)، فإن \(f'(x)>0\) لكل \(x\) من \(\mathbb{R}\).

من مبرهنة التزايدات المنتهية، نستنتج أن \(f\) تزايدية تماماً على \(\mathbb{R}\).

لدينا: \[ f'(x)=1-\frac{1}{x}. \]

عندما \(x\ge 1\) يكون \(\frac{1}{x}\le 1\) وبالتالي \(1-\frac{1}{x}\ge 0\)، أي \(f'(x)\ge 0\).

إذن \(f\) تزايدية على \([1,+\infty[\). وبما أن: \[ f(1)=1-\ln 1=1, \] فإن: \[ f(x)\ge f(1)=1 \] لكل \(x\ge 1\). أي: \[ x-\ln x\ge 1 \Rightarrow x-1\ge \ln x. \]

يمكن تعديل الصيغة حسب المطلوب، لكن الفكرة الأساسية هي استعمال الرتابة الناتجة عن المشتقة.

الدالة \(f\) كثير حدود ⇒ متصلة على \(\mathbb{R}\) وقابلة للاشتقاق على \(\mathbb{R}\)، إذن تحقق شروط المبرهنة على \([0,2]\).

نحسب: \[ f(0)=1,\quad f(2)=8-6+1=3. \]

إذن: \[ \frac{f(2)-f(0)}{2-0}=\frac{3-1}{2}=1. \]

حسب المبرهنة يوجد \(c\) من \(]0,2[\) يحقق: \[ f'(c)=1. \]

لدينا: \[ f'(x)=3x^2-3. \]

نحل: \[ 3c^2-3=1 \Rightarrow 3c^2=4 \Rightarrow c^2=\frac{4}{3} \Rightarrow c=\pm \frac{2}{\sqrt{3}}. \]

من المجال \(]0,2[\) نحتفظ بالقيمة الموجبة: \[ c=\frac{2}{\sqrt{3}}. \]