Z الحسابيات في

1) تمهيد وأهداف درس الحسابيات في \( \mathbb{Z} \)

في هذا الدرس ندرس خواص الأعداد الصحيحة في المجموعة \( \mathbb{Z} \): القسمة، القواسم، الأعداد الأولية، القاسم المشترك الأكبر، الموافقات \( \bmod n \)، وبعض المعادلات في \( \mathbb{Z} \).

هذه الأدوات ضرورية في كثير من مسائل الباك (خاصة في المتتاليات، التوافقيات، والتمارين التي تتطلب استدلالاً عددياً دقيقاً).

أهداف التلميذ في هذا الدرس

  • فهم مفهوم القسمة الإقليدية في \( \mathbb{Z} \) واستعمالها لحساب الباقي.
  • إتقان تعريف القواسم، المضاعفات، والأعداد الأولية وتركيب عدد إلى جداء عوامل أولية.
  • معرفة القاسم المشترك الأكبر والاصغر مضاعف مشترك واستعمال خوارزمية إقليدس.
  • فهم كتابات من نوع: \[ \gcd(a,b) = d,\quad \mathrm{lcm}(a,b) = m. \]
  • التعامل مع الموافقات من الشكل: \[ a \equiv b \pmod{n} \] وقواعدها الأساسية.
  • حل بعض المعادلات في \( \mathbb{Z} \) باستعمال القواسم والموافقات.
  • اعتماد استدلال دقيق (كتابة البرهان، استعمال القواسم، الترتيب، المناقشة حسب باقي القسمة...).

فكرة عامة

الحسابيات في \( \mathbb{Z} \) تهتم بكيفية «تقسيم» الأعداد الصحيحة وتحليلها، وكيف يمكن استعمال هذه التحليلات لحل معادلات واستنتاج خصائص عن الأعداد.

2) القسمة في \( \mathbb{Z} \) والقواسم والمضاعفات

القسمة الإقليدية في \( \mathbb{Z} \)

لتكن \( a \) و\( b \) عددين صحيحين مع \( b \neq 0 \). نقول إن:

\[ a = bq + r \]

قسمة إقليدية لـ \( a \) على \( b \) إذا كان \( q \) و\( r \) عددين صحيحين يتحقق:

\[ 0 \le r < |b|. \]

نسمي \( q \) خارج القسمة و\( r \) باقي القسمة الإقليدية.

خاصية أساسية

لكل عددين صحيحين \( a \) و\( b \) مع \( b \neq 0 \)، توجد وحيدتين: \[ q,r \in \mathbb{Z} \] تحقق:

\[ a = bq + r,\quad 0 \le r < |b|. \]

القواسم والمضاعفات

  • يقال إن \( a \) يقسم \( b \) (أو \( a \) قاسم لـ \( b \)) إذا وجد عدد صحيح \( k \) بحيث: \[ b = ak. \] نرمز لذلك بـ: \[ a \mid b. \]
  • في هذه الحالة يكون \( b \) مضاعفاً لـ \( a \).
  • إذا لم يوجد مثل هذا \( k \) نكتب: \[ a \nmid b. \]

أمثلة بسيطة

  • \[ 3 \mid 12 \] لأن: \[ 12 = 3 \cdot 4. \]
  • \[ 5 \nmid 14 \] لأنه لا يوجد عدد صحيح \( k \) بحيث: \[ 14 = 5k. \]
  • القواسم الموجبة لـ \( 12 \) هي: \[ 1, 2, 3, 4, 6, 12. \]

3) الأعداد الأولية والتحليل إلى جداء عوامل أولية

عدد أولي وعدد مركب

  • عدد صحيح طبيعي \( p \ge 2 \) يسمى عدداً أولياً إذا كانت قواسمه الموجبة هي فقط: \[ 1,\ p. \]
  • عدد طبيعي \( n \ge 2 \) يسمى عدداً مركباً إذا لم يكن أولياً (أي له قواسم أخرى غير \( 1 \) و\( n \)).

مبرهنة التحليل إلى جداء عوامل أولية (صيغة مبسطة)

كل عدد صحيح طبيعي \( n \ge 2 \) يمكن كتابته بطريقة وحيدة (حتى ترتيب العوامل) على الشكل:

\[ n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dots p_k^{\alpha_k} \]

حيث \( p_1,p_2,\dots,p_k \) أعداد أولية مختلفة و \[ \alpha_1,\dots,\alpha_k \in \mathbb{N}^\*. \]

مثال على التحليل

  • \[ 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5. \]
  • \[ 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7. \]
  • \[ 72 = 2^3 \cdot 3^2. \]

التحليل إلى جداء عوامل أولية مهم لحساب القاسم المشترك الأكبر والاصغر مضاعف مشترك، وكذلك لحل بعض المعادلات في \( \mathbb{Z} \).

4) القاسم المشترك الأكبر والاصغر مضاعف مشترك

القاسم المشترك الأكبر

لتكن \( a \) و\( b \) عددين صحيحين غير منعدمَيْن. القاسم المشترك الأكبر لـ \( a \) و\( b \) هو أكبر عدد طبيعي \( d \) يتحقق:

\[ d \mid a \quad\text{و}\quad d \mid b. \]

نرمز له بـ:

\[ \gcd(a,b) \quad \text{أو} \quad (a,b). \]

الاصغر مضاعف مشترك

الاصغر مضاعف مشترك لـ \( a \) و\( b \) هو أصغر عدد طبيعي \( m \) غير منعدم يتحقق:

\[ a \mid m \quad\text{و}\quad b \mid m. \]

نرمز له بـ:

\[ \mathrm{lcm}(a,b). \]

علاقة أساسية بين \( \gcd \) و\( \mathrm{lcm} \)

إذا كان \( a \) و\( b \) عددين طبيعيين غير منعدمَيْن، فإن:

\[ a \cdot b = \gcd(a,b) \cdot \mathrm{lcm}(a,b). \]

مثال

نعتبر العددين: \[ a = 60,\quad b = 72. \]

من التحليل: \[ 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5,\quad 72 = 2^3 \cdot 3^2. \]

القاسم المشترك الأكبر يأخذ أصغر أسّ لكل عامل أولي: \[ \gcd(60,72) = 2^2 \cdot 3^1 = 12. \]

الاصغر مضاعف مشترك يأخذ أكبر أسّ لكل عامل أولي: \[ \mathrm{lcm}(60,72) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360. \]

نتحقق من العلاقة: \[ 60 \cdot 72 = 4320,\quad 12 \cdot 360 = 4320. \]

5) خوارزمية إقليدس وبراهين بالقواسم

خوارزمية إقليدس لحساب \( \gcd(a,b) \)

لتكن \( a \) و\( b \) عددين صحيحين موجبين مع \( a \ge b \). نطبق القسمة الإقليدية:

\[ a = bq_1 + r_1,\quad 0 \le r_1 < b. \]

إذا كان \( r_1 = 0 \) فإن \( \gcd(a,b) = b \). وإلا نطبق مرة أخرى:

\[ b = r_1 q_2 + r_2,\quad 0 \le r_2 < r_1 \]

نستمر إلى أن نحصل على باقي منعدم. آخر باقي غير منعدم هو:

\[ \gcd(a,b). \]

مثال حساب \( \gcd(252,198) \)

نطبق القسمة الإقليدية:

\[ 252 = 198 \cdot 1 + 54. \]

ثم:

\[ 198 = 54 \cdot 3 + 36. \]

ثم:

\[ 54 = 36 \cdot 1 + 18. \]

ثم:

\[ 36 = 18 \cdot 2 + 0. \]

إذن: \[ \gcd(252,198) = 18. \]

في بعض التمارين يطلب منك كتابة برهان أن عدداً ما يقسم عدداً آخر، أو أن عدداً أولي يقسم جداء، فيستعمل التلميذ خواص القواسم وخوارزمية إقليدس بشكل منهجي.

6) الموافقات في \( \mathbb{Z} \) (الحسابيات النمطية)

تعريف موافقة

لتكن \( a,b,n \) أعداداً صحيحة مع \( n \ge 2 \). نقول إن \( a \) موافقة لـ \( b \) بترديد \( n \) إذا كان:

\[ n \mid (a - b). \]

نرمز لذلك:

\[ a \equiv b \pmod{n}. \]

خواص أساسية

  • \[ a \equiv b \pmod{n} \] إذا وفقط إذا كان لـ \( a \) و\( b \) نفس الباقي في القسمة الإقليدية على \( n \).
  • إذا: \[ a \equiv b \pmod{n} \quad \text{و} \quad c \equiv d \pmod{n}, \] فإن:
    • \[ a + c \equiv b + d \pmod{n}. \]
    • \[ a - c \equiv b - d \pmod{n}. \]
    • \[ ac \equiv bd \pmod{n}. \]
  • إذا: \[ a \equiv b \pmod{n}, \] فإن لكل عدد طبيعي \( k \): \[ a^k \equiv b^k \pmod{n}. \]

أمثلة موافقات

  • \[ 17 \equiv 5 \pmod{12} \] لأن: \[ 17 - 5 = 12 \] وهو من مضاعفات \( 12 \).
  • \[ 35 \equiv -1 \pmod{6} \] لأن: \[ 35 - (-1) = 36 \] وهو من مضاعفات \( 6 \).
  • بما أن: \[ 10 \equiv 1 \pmod{3}, \] فإن: \[ 10^4 \equiv 1^4 \equiv 1 \pmod{3}. \]

الموافقات تُستعمل لتبسيط تعابير كبيرة (خاصة الأسّيات) وللإجابة عن أسئلة من نوع: هل عدد ما من مضاعفات عدد آخر؟ ما هو باقي قسمة عدد كبير على عدد أصغر؟ إلخ.

7) معادلات في \( \mathbb{Z} \) وحلول باستعمال \( \gcd \) والموافقات

معادلة من الشكل \( ax + by = c \)

لتكن \( a,b,c \) أعداداً صحيحة مع \( a \) و\( b \) غير منعدمَيْن. نقول إن:

\[ ax + by = c \]

معادلة في \( \mathbb{Z} \) (معادلة ديوفانتية خطية). الشرط اللازم والـكافي لوجود حلول صحيحة هو أن:

\[ \gcd(a,b) \mid c. \]

حالة خاصة: المعادلة \( ax \equiv b \pmod{n} \)

معادلة من الشكل:

\[ ax \equiv b \pmod{n} \]

لها حل في \( \mathbb{Z} \) إذا وفقط إذا:

\[ \gcd(a,n) \mid b. \]

مثال ديوفانتي بسيط

نريد حل: \[ 6x + 9y = 3 \] في \( \mathbb{Z} \).

لدينا: \[ \gcd(6,9) = 3. \]

بما أن: \[ 3 \mid 3 \] فإن للمعادلة حلولاً في \( \mathbb{Z} \). يمكن إيجاد حل خاص بتجربة بسيطة مثلاً:

إذا أخذنا \( x = -1 \): \[ 6(-1) + 9y = 3 \Rightarrow -6 + 9y = 3 \Rightarrow 9y = 9 \Rightarrow y = 1. \]

إذن: \[ (x,y) = (-1,1) \] حل خاص. باقي الحلول تكتب على شكل: \[ x = -1 + 3k,\quad y = 1 - 2k \] حيث \( k \in \mathbb{Z} \).

8) منهجية عامة في تمارين الحسابيات في \( \mathbb{Z} \)

خطة عمل مقترحة

  1. قراءة نص التمرين بدقة وتحديد نوع المسألة:
    • قسمة إقليدية؟
    • تحليل عدد إلى جداء عوامل أولية؟
    • حساب \( \gcd \) أو \( \mathrm{lcm} \)؟
    • إثبات قسمة أو علاقة بين قواسم؟
    • موافقة \( \bmod n \) أو معادلة في \( \mathbb{Z} \)؟
  2. استعمال القواعد المناسبة:
    • خوارزمية إقليدس لحساب \( \gcd \).
    • التحليل إلى عوامل أولية.
    • خواص الموافقات.
    • شرط القسمة لوجود حلول.
  3. كتابة البرهان بأسلوب منظم:
    • انطلاقاً من التعريفات.
    • استعمال عبارات مثل «بما أن»، «بما أنه»، «إذن»، «وبالتالي».
    • ذكر كل خطوة حسابية وكل استنتاج.
  4. التحقق من النتيجة في الأخير (خاصة في المعادلات والموافقات) بتعويض الحل.

من الأخطاء الشائعة:

  • الخلط بين «\( a \mid b \)» و«\( b \mid a \)» (اختيار الترتيب الصحيح مهم جداً).
  • نسيان شرط \( 0 \le r < |b| \) في القسمة الإقليدية.
  • عدم التحقق من شرط: \[ \gcd(a,b) \mid c \] قبل محاولة حل معادلة من الشكل \( ax + by = c \).
  • الخلط بين الموافقة وبين مساواة عادية (الموافقة تشتغل «بترديد» معين).

9) تمارين باك — الحسابيات في \( \mathbb{Z} \) (12 تمريناً مع حلول مفصلة)

تمرين 1 — قسمة إقليدية وباقي

أوجد خارج وباقي القسمة الإقليدية لـ \( 137 \) على \( 9 \).

نبحث عن عددين صحيحين \( q,r \) بحيث: \[ 137 = 9q + r,\quad 0 \le r < 9. \]

نحسب تقريباً: \[ 9 \cdot 15 = 135,\quad 9 \cdot 16 = 144 > 137. \]

إذن: \[ q = 15,\quad r = 137 - 135 = 2. \]

القسمة الإقليدية: \[ 137 = 9 \cdot 15 + 2. \]

تمرين 2 — قواسم عدد وتحليل إلى عوامل أولية

1) حلل العدد \( 84 \) إلى جداء عوامل أولية.
2) استخرج القواسم الموجبة لـ \( 84 \).

1) التحليل إلى عوامل أولية:

\[ 84 = 2 \cdot 42 = 2^2 \cdot 21 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7. \]

2) القواسم:

كل قاسم موجب لـ \( 84 \) يكتب على شكل: \[ 2^\alpha 3^\beta 7^\gamma \] حيث: \[ \alpha \in \{0,1,2\},\quad \beta \in \{0,1\},\quad \gamma \in \{0,1\}. \]

بإحصاء كل الإمكانات نحصل على القواسم:

\[ 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84. \]

تمرين 3 — القاسم المشترك الأكبر والاصغر مضاعف مشترك

لتكن: \[ a = 90,\quad b = 126. \]

  1. حلل \( a \) و\( b \) إلى جداء عوامل أولية.
  2. استنتج \( \gcd(a,b) \) و\( \mathrm{lcm}(a,b) \).
  3. تحقق من العلاقة: \[ a \cdot b = \gcd(a,b) \cdot \mathrm{lcm}(a,b). \]

1) التحليل:

\[ 90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5,\quad 126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7. \]

2) القاسم المشترك الأكبر:

نأخذ أصغر أسّ: \[ \gcd(90,126) = 2^1 \cdot 3^2 = 18. \]

الاصغر مضاعف مشترك: \[ \mathrm{lcm}(90,126) = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 630. \]

3) التحقق من العلاقة:

\[ 90 \cdot 126 = 11340,\quad 18 \cdot 630 = 11340. \]

إذن العلاقة صحيحة.

تمرين 4 — خوارزمية إقليدس

باستعمال خوارزمية إقليدس، احسب: \[ \gcd(315,165). \]

نطبق القسمة الإقليدية: \[ 315 = 165 \cdot 1 + 150. \]

\[ 165 = 150 \cdot 1 + 15. \]

\[ 150 = 15 \cdot 10 + 0. \]

آخر باقي غير منعدم هو \( 15 \)، إذن: \[ \gcd(315,165) = 15. \]

تمرين 5 — موافقات وبواقي قسمة

أوجد باقي قسمة العدد: \[ 7^{10} \] على \( 6 \).

نلاحظ أن: \[ 7 \equiv 1 \pmod{6}. \]

إذن: \[ 7^{10} \equiv 1^{10} \equiv 1 \pmod{6}. \]

الباقي هو \( 1 \).

تمرين 6 — موافقة من الدرجة الأولى

حل في \( \mathbb{Z} \) المعادلة: \[ 3x \equiv 1 \pmod{7}. \]

نحتاج إلى عدد \( u \) بحيث: \[ 3u \equiv 1 \pmod{7}. \]

نحاول: \[ 3 \cdot 1 = 3 \equiv 3,\quad 3 \cdot 2 = 6 \equiv 6,\quad 3 \cdot 3 = 9 \equiv 2,\quad 3 \cdot 4 = 12 \equiv 5,\quad 3 \cdot 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7}. \]

إذن: \[ u = 5 \] حل للمعكوس، وبالتالي: \[ x \equiv 5 \pmod{7} \] هو حل للمعادلة.

كل الحلول في \( \mathbb{Z} \) تكتب على شكل: \[ x = 5 + 7k,\quad k \in \mathbb{Z}. \]

تمرين 7 — معادلة من الشكل \( ax + by = c \)

حل في \( \mathbb{Z} \): \[ 8x + 12y = 4. \]

أولاً نحسب: \[ \gcd(8,12) = 4. \]

بما أن: \[ 4 \mid 4 \] فإن للمعادلة حلولاً صحيحة.

نقسم المعادلة على \( 4 \): \[ 2x + 3y = 1. \]

نبحث عن حل خاص بالتجربة، مثلاً: \[ x = -1 \Rightarrow 2(-1) + 3y = 1 \Rightarrow -2 + 3y = 1 \Rightarrow 3y = 3 \Rightarrow y = 1. \]

إذن: \[ (x_0,y_0) = (-1,1) \] حل خاص للمعادلة المختزلة. الحلول العامة: \[ x = -1 + 3k,\quad y = 1 - 2k,\quad k \in \mathbb{Z}. \]

تمرين 8 — برهان بقواسم

برهن أنه إذا: \[ a \mid b \] و \[ a \mid c, \] فإن: \[ a \mid (bx + cy) \] لكل عددين صحيحين \( x,y \).

من: \[ a \mid b \] يوجد عدد صحيح \( k \) بحيث: \[ b = ak. \]

ومن: \[ a \mid c \] يوجد عدد صحيح \( \ell \) بحيث: \[ c = a\ell. \]

نحسب: \[ bx + cy = (ak)x + (a\ell)y = a(kx + \ell y). \]

بما أن: \[ kx + \ell y \] عدد صحيح، فإن: \[ a \mid (bx + cy). \]

وهذا ما كان مطلوباً.

تمرين 9 — عدد زوجي أو فردي باستعمال الموافقات

لتكن: \[ u_n = n^2 + n \] لكل عدد طبيعي \( n \). برهن أن \( u_n \) عدد زوجي لكل \( n \).

نكتب: \[ u_n = n^2 + n = n(n+1). \]

من بين \( n \) و\( n+1 \) يوجد دائماً عدد زوجي (عددان متتاليان لا يمكن أن يكونا فرديين معاً)، وبالتالي جداؤهما زوجي.

يمكن أيضاً استعمال الموافقات: إذا كان \( n \equiv 0 \pmod{2} \) فإن: \[ u_n = n^2 + n \equiv 0 + 0 \equiv 0 \pmod{2}. \] وإذا كان \( n \equiv 1 \pmod{2} \) فإن: \[ n^2 \equiv 1,\quad u_n \equiv 1 + 1 \equiv 0 \pmod{2}. \]

في الحالتين \( u_n \equiv 0 \pmod{2} \)، إذن \( u_n \) عدد زوجي.

تمرين 10 — باقي قسمة عدد كبير

أوجد باقي قسمة العدد: \[ 5^{2025} \] على \( 4 \).

نلاحظ أن: \[ 5 \equiv 1 \pmod{4}. \]

إذن: \[ 5^{2025} \equiv 1^{2025} \equiv 1 \pmod{4}. \]

الباقي هو \( 1 \).

تمرين 11 — حساب \( \gcd \) باستعمال التحليل

احسب: \[ \gcd(450,210) \] باستعمال التحليل إلى جداء عوامل أولية.

نحلل: \[ 450 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2, \quad 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7. \]

القاسم المشترك الأكبر يأخذ أصغر أسّ لكل عامل أولي مشترك:

\[ \gcd(450,210) = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 30. \]

تمرين 12 — مسألة شاملة على الموافقات

نعتبر العدد: \[ N = 10^{2024} + 35. \]

  1. أوجد باقي قسمة \( N \) على \( 3 \).
  2. هل \( N \) من مضاعفات \( 5 \)؟ علل جوابك.

1) القسمة على \( 3 \):

نعلم أن: \[ 10 \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow 10^{2024} \equiv 1^{2024} \equiv 1 \pmod{3}. \]

إذن: \[ N = 10^{2024} + 35 \equiv 1 + 35 \equiv 36 \equiv 0 \pmod{3}. \]

الباقي هو \( 0 \)، وبالتالي \( N \) من مضاعفات \( 3 \).

2) القسمة على \( 5 \):

نلاحظ أن: \[ 10 \equiv 0 \pmod{5} \Rightarrow 10^{2024} \equiv 0 \pmod{5}. \]

كما أن: \[ 35 \equiv 0 \pmod{5}. \]

إذن: \[ N = 10^{2024} + 35 \equiv 0 + 0 \equiv 0 \pmod{5}. \]

بالتالي \( N \) من مضاعفات \( 5 \) أيضاً.

10) خلاصة مركزة لدرس الحسابيات في \( \mathbb{Z} \)

  • القسمة الإقليدية تكتب: \[ a = bq + r,\quad 0 \le r < |b| \] وهي أساس حساب البواقي.
  • القواسم: \[ a \mid b \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z} \ \text{حيث} \ b = ak. \]
  • كل عدد طبيعي \( \ge 2 \) يكتب بشكل وحيد (حتى الترتيب) كجداء عوامل أولية.
  • القاسم المشترك الأكبر \( \gcd(a,b) \) والاصغر مضاعف مشترك \( \mathrm{lcm}(a,b) \) يرتبطان بالعلاقة: \[ a \cdot b = \gcd(a,b) \cdot \mathrm{lcm}(a,b). \]
  • خوارزمية إقليدس أداة فعالة لحساب \( \gcd \) وإثبات بعض القواسم.
  • الموافقة: \[ a \equiv b \pmod{n} \] تعني أن \( a \) و\( b \) لهما نفس الباقي عند القسمة على \( n \)، وتسمح بتبسيط تعابير كبيرة.
  • معادلات من الشكل \( ax + by = c \) أو \( ax \equiv b \pmod{n} \) تُحل باستعمال \( \gcd(a,b) \) وخواص الموافقات.
  • المنهجية في هذا الدرس تعتمد على: التعريفات → خوارزميات (إقليدس) → موافقات → براهين دقيقة بحجة عددية واضحة.

درس «الحسابيات في \( \mathbb{Z} \)» — 2ᵉ باك علوم رياضية — © neobac.ma