Aspects énergétiques des oscillations mécaniques

1) Objectifs & rappels

On étudie la circulation, les échanges et les pertes d’énergie dans les oscillations mécaniques (masse–ressort, pendule, torsion). On exploite l’égalité fondamentale bilan puissance :

Variation de l’énergie mécanique = Puissance des forces non conservatives

  • Énergies : \(E_c=\tfrac12 m v^2\) (ou \( \tfrac12 I\dot\theta^2 \)), \(E_p=\tfrac12 kx^2\) (ou \( \tfrac12 C\theta^2 \)), \(E=E_c+E_p\).
  • Pulsation propre \( \omega_0=\sqrt{k/m}\) (translation) ; \( \sqrt{C/I}\) (torsion) ; pendule : \( \sqrt{g/\ell}\) (petits angles).

2) Oscillateur harmonique libre : conservation énergétique

Pour \(m\ddot x+kx=0\) (ou \(I\ddot\theta+C\theta=0\)) :

\(\boxed{\,E(t)=E_c+E_p=\tfrac12 kA^2=\text{constante}\,}\) ; \(x(t)=A\cos(\omega_0 t+\varphi_0)\), \(v=-A\omega_0\sin(\omega_0 t+\varphi_0)\).

  • Échanges périodiques \(E_c \leftrightarrow E_p\) à la pulsation \(2\omega_0\) ; au passage par l’équilibre : \(E_c=E\), \(E_p=0\).
  • Énergie \(E\propto A^2\) : doubler l’amplitude quadruple l’énergie stockée.
Ep Ec
Figure 1 — OHL : échanges d’énergie \(E_c\)↔\(E_p\) ; \(E=E_c+E_p\) constante.

3) Oscillateur amorti : dissipation et décroissance énergétique

Avec frottement visqueux \(F_v=-b\,\dot x\), l’équation est \(m\ddot x+b\dot x+kx=0\). Sous-amorti : \(x=A_0 e^{-\gamma t}\cos(\omega t+\varphi)\) avec \(\gamma=\dfrac{b}{2m}\).

  • Énergie : \(E=\tfrac12 k A^2(t)\) avec \(A(t)=A_0 e^{-\gamma t}\) ⇒ \(\boxed{\,E(t)=E_0 e^{-2\gamma t}\,}\).
  • Puissance dissipée instantanée par frottement : \(p_d=F_v\,v=-b\,v^2\le0\).
  • Puissance moyenne (oscillation quasi sinusoïdale) : \(\langle p_d\rangle = \dfrac{1}{2}b\omega^2 A^2\).
  • Décrément logarithmique : \(\delta=\ln\dfrac{x(t)}{x(t+T)}\approx \gamma T\) si \(\gamma\ll\omega\).
A(t)=A₀ e^{-γt}
Figure 2 — Amorti : amplitude et donc énergie décroissent exponentiellement.

4) Oscillateur forcé : bilan de puissance & résonance énergétique

\(m\ddot x+b\dot x+kx=F_0\cos(\omega t)\). En régime permanent : \(x=A(\omega)\cos(\omega t-\phi)\).

  • Amplitude : \(A(\omega)=\dfrac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(b\omega)^2}}\), déphasage \(\tan\phi=\dfrac{b\omega}{k-m\omega^2}\).
  • La puissance fournie par la force excitatrice moyenne sur une période vaut \(\boxed{\,\langle P_\text{in}\rangle=\tfrac12\,b\,\omega^2A^2\,}\).
  • En régime permanent : \(\langle P_\text{in}\rangle = \langle P_\text{diss}\rangle\) ; la puissance sert uniquement à compenser les pertes.
  • Le stockage d’énergie (dans \(E=\tfrac12kA^2\)) est maximal près de la résonance \(\omega_r\simeq\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}\) (faible amortissement).
E(ω)=½kA² : pic ω
Figure 3 — Énergie stockée en régime forcé : maximum au voisinage de la résonance.

5) Facteur de qualité \(Q\) & bande passante énergétique

  • \(\boxed{\,Q=2\pi\dfrac{\text{énergie stockée}}{\text{énergie perdue en une période}}\,}\) ; pour amortissement faible \(Q=\dfrac{\omega_0}{2\gamma}\).
  • Bande passante (demi-puissance) : \(\Delta\omega=\omega_2-\omega_1\simeq\dfrac{\omega_0}{Q}\) avec \(A(\omega_{1,2})=A_\text{max}/\sqrt{2}\).
  • Grand \(Q\) ⇒ pertes faibles, pic de résonance étroit, stockage d’énergie élevé.

6) Énergie du pendule (petits angles)

Pour \(|\theta|\ll1\) : \(E_p\simeq\tfrac12 m g \ell \theta^2\), \(E_c=\tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2\), \(E=\tfrac12 m\ell^2(\dot\theta^2+\omega_0^2\theta^2)\) avec \(\omega_0=\sqrt{g/\ell}\).
Sans frottement, \(E=\tfrac12 m\ell^2\omega_0^2\Theta^2=\) constante (\(\Theta\) amplitude angulaire).

7) Méthodes de mesure énergétiques (TP Bac)

  1. Énergie stockée : mesurer \(A\) puis \(E=\tfrac12 kA^2\) (ou \(E=\tfrac12 C\Theta^2\)).
  2. Pertes : méthode du décrément ⇒ \(E_{n+1}/E_n=e^{-2\gamma T}\) ; déduire \(\gamma\) et \(Q=\omega_0/(2\gamma)\).
  3. Puissance dissipée : en régime forcé, \( \langle P\rangle=\tfrac12 b\omega^2A^2\).
  4. Bande passante : relever \(A(\omega)\), trouver \(\omega_{1,2}\) tels que \(A=A_\text{max}/\sqrt{2}\), calculer \(Q\).

8) Erreurs fréquentes

  • Confondre \(E\propto A\) (faux) au lieu de \(E\propto A^2\).
  • Oublier que la puissance moyenne fournie égale la puissance dissipée au régime établi.
  • Lire la demi-puissance sur l’amplitude (utiliser \(A_\text{max}/\sqrt{2}\), pas \(A_\text{max}/2\)).
  • Utiliser \(T=2\pi\sqrt{\ell/g}\) du pendule hors petits angles.

9) Exercices type Bac (12) — solutions détaillées

Ex.1 — OHL : énergie de l’oscillation

Ressort \(k=25\ \text{N·m}^{-1}\), amplitude \(A=6{,}0\ \text{cm}\). Calculer \(E\).

\(E=\tfrac12 kA^2=0{,}5\times25\times0{,}06^2=0{,}045\ \text{J}\).

Ex.2 — Amorti : loi énergétique

On observe \(A(t)=A_0 e^{-\gamma t}\) avec \(\gamma=0{,}18\ \text{s}^{-1}\), \(E_0=0{,}10\ \text{J}\). Donner \(E(t)\) au bout de \(5\,\text{s}\).

\(E(t)=E_0 e^{-2\gamma t}=0{,}10\,e^{-1{,}8}\approx 0{,}0165\ \text{J}\).

Ex.3 — Décrément & \(Q\)

Deux maxima séparés d’un période donnent \(x_1=4{,}2\ \text{cm}\), \(x_2=3{,}5\ \text{cm}\). \(T=0{,}80\ \text{s}\), \(\omega_0=7{,}6\). Calculer \(\gamma\) puis \(Q\).

\(\delta=\ln(x_1/x_2)=\ln(4{,}2/3{,}5)=0{,}182\). \(\gamma=\delta/T=0{,}227\ \text{s}^{-1}\). \(Q=\omega_0/(2\gamma)=7{,}6/0{,}454\approx 16{,}7\).

Ex.4 — Puissance dissipée (régime sinusoïdal)

\(b=0{,}80\ \text{kg·s}^{-1}\), \(A=0{,}025\ \text{m}\), \(\omega=12\). Calculer \(\langle p_d\rangle\).

\(\langle p_d\rangle=\tfrac12 b\omega^2A^2=0{,}5\times0{,}80\times144\times(0{,}025)^2\approx 0{,}036\ \text{W}\).

Ex.5 — Forcé : énergie stockée

Au régime établi, \(A=3{,}0\ \text{cm}\), \(k=40\). Calculer \(E\).

\(E=\tfrac12 kA^2=0{,}5\times40\times0{,}03^2=0{,}018\ \text{J}\).

Ex.6 — Demi-puissance & bande passante

Le pic d’amplitude vaut \(A_\text{max}=5{,}0\ \text{cm}\) à \(\omega_r\). On mesure \(A=3{,}54\ \text{cm}\) pour \(\omega_1\) et \(\omega_2\). Montrer que \(A=A_\text{max}/\sqrt{2}\) et déduire \(Q\simeq \omega_0/\Delta\omega\).

\(3{,}54\approx 5/\sqrt{2}\). Définition demi-puissance ⇒ \(\Delta\omega=\omega_2-\omega_1\) ; \(Q=\omega_0/\Delta\omega\) (amortissement faible).

Ex.7 — Pendule : énergie au point haut

Pendule (\(\ell=0{,}80\ \text{m}\)) lâché de \(\Theta=10^\circ\). Donner \(E\) (petits angles) puis la vitesse au passage par l’équilibre.

\(E=\tfrac12 m g \ell \Theta^2\) (en rad). Avec \(m\) quelconque, l’énergie par unité de masse vaut \(e=\tfrac12 g\ell \Theta^2\). \(v_\text{max}=\omega_0 \ell \Theta=\sqrt{g/\ell}\ \ell\ \Theta=\sqrt{g\ell}\,\Theta\).

Ex.8 — Comparer deux systèmes par \(Q\)

Deux oscillateurs ont \(Q_1=12\) et \(Q_2=40\). Lequel stocke le plus d’énergie à résonance pour une même puissance injectée ?

Le plus grand \(Q\) ⇒ pertes plus faibles ⇒ plus d’énergie stockée. Donc l’oscillateur 2.

Ex.9 — Énergie perdue en une période

OHL faiblement amorti : \(Q=30\), \(E=0{,}060\ \text{J}\). Énergie perdue par période ?

\(\Delta E/E=2\pi/Q\Rightarrow \Delta E=E\cdot 2\pi/Q=0{,}060\times 0{,}2094\simeq 0{,}0126\ \text{J}\).

Ex.10 — Relation \(E\)–\(A\) et incertitudes

On mesure \(A=(2{,}50\pm0{,}05)\ \text{cm}\), \(k=28\pm1\). Évaluer \(E\) et l’incertitude relative (premier ordre).

\(E=\tfrac12 kA^2=0{,}5\times 28\times 0{,}025^2=0{,}00875\ \text{J}\).

\(\dfrac{u(E)}{E}\approx \dfrac{u(k)}{k}+2\dfrac{u(A)}{A}= \dfrac{1}{28}+2\dfrac{0{,}0005}{0{,}025}\approx 0{,}0357+0{,}04=0{,}0757\) soit \(7{,}6\%\).

Ex.11 — Puissance d’un moteur excitateur

En régime permanent, un vibreur fournit \(P=0{,}20\ \text{W}\) à un système \(b=1{,}2\), \(A=1{,}6\ \text{cm}\). À quelle fréquence travaille-t-il ?

\(P=\tfrac12 b\omega^2 A^2\Rightarrow \omega=\sqrt{\dfrac{2P}{bA^2}}=\sqrt{\dfrac{0{,}40}{1{,}2\times (0{,}016)^2}}\approx 114\ \text{rad·s}^{-1}\) ⇒ \(f\approx 18{,}1\ \text{Hz}\).

Ex.12 — Bande passante expérimentale

On mesure \(\omega_1=58\), \(\omega_2=62\), \(\omega_0\simeq60\). Calculer \(Q\). Combien de périodes faut-il pour perdre 10 % d’énergie ?

\(Q=\omega_0/\Delta\omega=60/4=15\).

Perte par période \(2\pi/Q=0{,}419\). Pour 10 % : \(0{,}10 \approx n\times 0{,}419\) ⇒ \(n\approx 0{,}24\) période (en énergie) — résultat : l’énergie chute vite si \(Q\) est faible.

10) Mini-fiche

  • OHL : \(E=\tfrac12 kA^2\) (constante) ; échanges \(E_c\)↔\(E_p\).
  • Amorti : \(A(t)=A_0 e^{-\gamma t}\) ⇒ \(E(t)=E_0 e^{-2\gamma t}\) ; \(\langle p_d\rangle=\tfrac12 b\omega^2A^2\).
  • Forcé : \(\langle P_\text{in}\rangle=\tfrac12 b\omega^2A^2=\langle P_\text{diss}\rangle\) ; pic d’énergie à \(\omega_r\).
  • Qualité : \(Q=\omega_0/(2\gamma)=2\pi\,E/\Delta E_\text{période}\), \(\Delta\omega\simeq\omega_0/Q\).
  • Pendule (petits angles) : \(E=\tfrac12 m\ell^2(\dot\theta^2+\omega_0^2\theta^2)\).

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