Atome et mécanique de Newton
1) Introduction : du monde classique à l’atome
La mécanique de Newton décrit avec succès le mouvement des corps macroscopiques. À l’échelle de l’atome, elle reste utile pour modéliser certaines grandeurs (trajectoires, bilans énergétiques) mais montre des limites qui ont conduit à la physique quantique. Ce cours relie les lois de Newton (forces, dynamique, énergie) aux modèles atomiques (Rutherford, Bohr) et introduit la transition vers la quantification.
2) Rappel des lois de Newton & outils dynamiques
Deuxième loi (fondamentale) : \(\boxed{\ \sum \vec F = m\,\vec a\ }\).
Force centripète (mouvement circulaire) : \(\boxed{\ \vec F_c = m\,\dfrac{v^2}{r}\,\vec u_r\ \text{(vers le centre)} }\).
- Énergie cinétique : \(E_c=\tfrac12 m v^2\).
- Puissance d’une force : \(p=\vec F\cdot\vec v\).
- Travail (force conservative) : \(\Delta E_p=-W\), énergie mécanique \(E=E_c+E_p\).
3) Forces fondamentales en jeu : gravitation vs Coulomb
Gravitation : \( \vec F_g = -G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}\,\vec u_r\). Coulomb : \( \vec F_e = k\dfrac{q_1 q_2}{r^2}\,\vec u_r\) avec \(k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\).
- Pour proton–électron : \( |F_e| \gg |F_g| \) (Coulomb domine à l’échelle atomique).
- Potentiel de Coulomb (attractif pour charges opposées) : \(E_p(r) = -\,k\,\dfrac{e^2}{r}\).
4) Modèles atomiques : Rutherford & Bohr (lecture newtonienne)
4.1 Rutherford (1911) : noyau central et électrons périphériques
Diffusion \(\alpha\) sur feuille d’or ⇒ noyau massif et positif ; électrons autour. Mais le modèle planétaire classique instable (rayonnement de charge accélérée).
4.2 Bohr (1913) : conditions de stabilité quantifiées
Hypothèses (pour l’hydrogène) :
- Orbitation circulaire par équilibre centripète : \(\dfrac{m_e v^2}{r} = \dfrac{k e^2}{r^2}\).
- Quantification du moment cinétique : \(m_e v r = n\,\hbar\), \(n\in\mathbb{N}^*\).
Rayons et énergies quantifiés :
\(\displaystyle r_n = a_0\,n^2,\quad a_0=\dfrac{\hbar^2}{m_e k e^2}\ ;\qquad E_n = -\dfrac{13{,}6}{n^2}\ \text{eV}\).
5) Dynamique newtonienne de l’électron sur une orbite circulaire
Équilibre centripète/electrostatique :
\[\frac{m_e v^2}{r} = \frac{k e^2}{r^2}\ \Rightarrow\ v=\sqrt{\frac{k e^2}{m_e r}}.\]
Énergie potentielle \(E_p=-k\dfrac{e^2}{r}\), énergie cinétique \(E_c=\tfrac12 m_e v^2=\tfrac12 k\dfrac{e^2}{r}\) ⇒ énergie totale
\[\boxed{\,E=E_c+E_p=-\frac{1}{2}\,k\frac{e^2}{r}\,}\quad(<0)\ .\]
- État lié (\(E<0\)) : l’électron reste captif ; plus \(r\) est petit, plus \(E\) est bas (plus négatif).
- État libre (\(E\ge 0\)) : ionisation (électron arraché).
6) Limites de la mécanique newtonienne à l’échelle atomique
- Rayonnement des charges accélérées : un électron en orbite classique perdrait de l’énergie et s’effondrerait sur le noyau ⇒ contradiction avec la stabilité de l’atome.
- Discrétisation expérimentale des spectres (raies) non prédite par Newton sans postulat ad hoc.
7) Ouverture : dualité onde–corpuscule (pont vers la quantique)
De Broglie (1924) : à toute particule de quantité de mouvement \(p\) est associée une longueur d’onde \( \lambda = \dfrac{h}{p}\). Les électrons manifestent des phénomènes d’interférence ⇒ description ondulatoire nécessaire à l’échelle atomique.
- Dans le modèle de Bohr, la condition \(m_e v r = n\hbar\) s’interprète comme résonance stationnaire : \(2\pi r = n\lambda\).
- La mécanique newtonienne reste un outil d’approximation (bilans, ordres de grandeur) mais n’est plus fondatrice.
8) Applications numériques guidées
Exemple A — Vitesse orbitale (n=1) selon Bohr : avec \(r_1=a_0\), \(v_1=\dfrac{\hbar}{m_e a_0} \approx \alpha c\) (constante de structure fine \(\alpha\approx 1/137\)). Ordre de grandeur : \(v_1\approx 2{,}2\times10^6\ \text{m·s}^{-1}\).
Exemple B — Énergie totale : \(E=-\tfrac12 k\dfrac{e^2}{r}\). Pour \(r=a_0\), on retrouve \(E_1\simeq -13{,}6\ \text{eV}\).
9) Erreurs fréquentes
- Oublier le signe de \(E_p\) de Coulomb (négatif pour charges opposées).
- Assimiler \(E_c = k e^2/r\) (il y a un facteur \(1/2\)).
- Confondre orbites (Bohr) avec orbitales (Schrödinger) — ne pas mélanger les modèles.
- Appliquer \( \vec F = m\vec a\) sans vérifier l’orientation (centripète vers le centre).
10) Exercices type Bac (12) — solutions détaillées
Ex.1 — Coulomb vs gravitation
Comparer \(F_e\) et \(F_g\) entre proton et électron distants de \(r\). Exprimer \(\dfrac{F_e}{F_g}\) en fonction de constantes.
\(\dfrac{F_e}{F_g}=\dfrac{k e^2/r^2}{G m_p m_e/r^2}=\dfrac{k e^2}{G m_p m_e}\) (indépendant de \(r\)). Numériquement \(\sim 10^{39}\) ⇒ \(F_e\) domine.
Ex.2 — Vitesse orbitale classique
Pour une orbite circulaire de rayon \(r\), montrer \(v=\sqrt{\dfrac{k e^2}{m_e r}}\), puis calculer \(v\) pour \(r=a_0\).
De \(m_e v^2/r = k e^2/r^2\) ⇒ \(v=\sqrt{k e^2/(m_e r)}\). Pour \(r=a_0\), \(v=\hbar/(m_e a_0)\approx 2{,}2\times10^6\ \text{m·s}^{-1}\).
Ex.3 — Énergie totale
Établir \(E=-\tfrac12 k e^2/r\) pour l’orbite circulaire. Quelle est la signification de \(E<0\) ?
Avec \(E_p=-k e^2/r\) et \(E_c=+\tfrac12 k e^2/r\) ⇒ somme \(E=-\tfrac12 k e^2/r\). \(E<0\) : état lié.
Ex.4 — Rayons de Bohr
Partant de \(m_e v r= n\hbar\) et de l’équilibre centripète, déduire \(r_n=a_0 n^2\).
De \(m_e v r=n\hbar\Rightarrow v=n\hbar/(m_e r)\). Équilibre : \(m_e v^2/r=k e^2/r^2\Rightarrow m_e(n^2\hbar^2/m_e^2 r^2)/r=k e^2/r^2\Rightarrow r=\dfrac{n^2\hbar^2}{m_e k e^2}=a_0 n^2\).
Ex.5 — Niveaux d’énergie
Montrer que \(E_n=-\dfrac{13{,}6}{n^2}\ \text{eV}\) pour l’atome d’hydrogène à partir des résultats précédents.
Insérer \(r_n=a_0 n^2\) dans \(E=-\tfrac12 k e^2/r\) et utiliser les constantes ⇒ \(E_n\) ci-dessus.
Ex.6 — Transition spectrale
Calculer l’énergie du photon émis lors de la transition \(n=3 \to n=2\).
\(\Delta E=E_2-E_3=-3{,}4-(-1{,}51)=1{,}89\ \text{eV}\) ⇒ \( \lambda=\dfrac{hc}{\Delta E}\approx 656\ \text{nm}\) (raie H-\(\alpha\)).
Ex.7 — Ionisation
Énergie minimale pour arracher l’électron depuis \(n=1\) ?
\(E_\text{ion}=-E_1=13{,}6\ \text{eV}\).
Ex.8 — Travail des forces
Lors d’un passage \(r_1\to r_2\) (cercle→cercle), calculer le travail de la force de Coulomb.
Force conservative : \(W = -\Delta E_p = -\left[-k e^2\left(\dfrac{1}{r_2}-\dfrac{1}{r_1}\right)\right]= k e^2\left(\dfrac{1}{r_2}-\dfrac{1}{r_1}\right)\).
Ex.9 — Accélération centripète
Exprimer \(a_c\) pour l’orbite de rayon \(r\) puis donner \(a_c\) en fonction uniquement de \(r\).
\(a_c=v^2/r = k e^2/(m_e r^2)\cdot 1/r = k e^2/(m_e r^3)\).
Ex.10 — Dualité & condition de stationnarité
À partir de \(\lambda=h/(m v)\), montrer que la condition \(2\pi r=n\lambda\) conduit à \(m v r=n\hbar\).
\(2\pi r=n\,\dfrac{h}{m v}\Rightarrow m v r = n\dfrac{h}{2\pi}=n\hbar\).
Ex.11 — Énergie et signe de \(E_p\)
Pourquoi \(E_p(r)=-k e^2/r\) est négative ? Interpréter physiquement.
Référence \(E_p(\infty)=0\). L’interaction est attractive : il faut fournir un travail positif pour amener l’électron à l’infini ⇒ \(E_p(r)<0\).
Ex.12 — Limites du modèle
Donner deux raisons pour lesquelles la mécanique newtonienne est insuffisante pour l’atome.
(1) Stabilité : un électron accéléré devrait rayonner (non observé). (2) Spectres discrets nécessitant la quantification (Newtons + Coulomb ne suffisent pas).
11) Mini-fiche récapitulative
- Équilibre centripète–Coulomb : \( m v^2/r = k e^2/r^2\) ⇒ \(E=-\tfrac12 k e^2/r\).
- Bohr : \(m v r = n\hbar\), \(r_n=a_0 n^2\), \(E_n=-13{,}6/n^2\ \text{eV}\).
- Le modèle classique explique des ordres de grandeur, mais la quantification est indispensable.
- Ouverture : \( \lambda=h/(m v)\) (de Broglie), orbitales (Schrödinger).
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