Mouvement des satellites et des planètes

1) Introduction

Le mouvement des satellites (artificiels et naturels) et des planètes s’explique par l’interaction gravitationnelle. Au niveau Bac, on l’étudie avec la loi de la gravitation de Newton, les lois de Kepler, et des expressions utiles pour la vitesse orbitale, la période et l’énergie.

Constante gravitationnelle : \(G=6{,}67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}\). Paramètre gravitationnel d’un astre de masse \(M\) : \(\mu=GM\).

2) Loi de gravitation de Newton

Deux masses \(m\) et \(M\) séparées de la distance \(r\) s’attirent par une force de module \[ F=\frac{GmM}{r^2},\quad \text{dirigée selon la ligne joignant les centres.} \]

  • Pour un satellite de masse \(m\) autour de la Terre de masse \(M_T\), la force gravitationnelle fournit la force centripète pour un mouvement orbital.
  • On modélise le satellite comme un point matériel et la Terre comme une masse concentrée au centre (approximation valable si \(r\) est supérieur au rayon terrestre \(R_T\)).
Terre Satellite ⃗v ⃗F_g r
Orbite circulaire : \(\vec{v}\) tangentielle, \(\vec{F_g}\) centripète vers le centre.

3) Lois de Kepler (rappel Bac)

  1. 1ʳᵉ loi : Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe l’un des foyers.
  2. 2ᵉ loi : Le rayon vecteur balaie des aires égales en des temps égaux.
  3. 3ᵉ loi : \(\displaystyle \frac{T^2}{a^3}=\text{constante}\) pour les corps en orbite autour d’un même astre (ici \(a\) = demi-grand axe).

Pour deux satellites autour de la Terre, \(\displaystyle \frac{T_1^2}{a_1^3}=\frac{T_2^2}{a_2^3}\).

F F' Astre Aphélie Périhélie 2a
Orbite elliptique : astre au foyer \(F\), demi-grand axe \(a\).

4) Orbite circulaire : vitesse et période

En orbite circulaire de rayon \(r\) autour d’un astre de masse \(M\) : \[ \frac{mv^2}{r}=\frac{GMm}{r^2}\ \Rightarrow\ \boxed{v=\sqrt{\frac{GM}{r}}}. \] La période de révolution est \[ \boxed{T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}}. \]

Mémo : \(v\propto r^{-1/2}\) et \(T\propto r^{3/2}\). Plus on est haut, plus la vitesse est faible et la période grande.

5) Énergie orbitale et vitesse de libération

  • Énergie potentielle gravitationnelle (origine à l’infini) : \(\displaystyle E_p(r)=-\frac{GMm}{r}\).
  • En orbite circulaire, \(\displaystyle E_c=\frac{1}{2}mv^2=\frac{GMm}{2r}\) et \(\displaystyle E=E_c+E_p=-\frac{GMm}{2r}\).
  • Vitesse de libération (échapper à l’attraction) : \(\displaystyle v_\mathrm{lib}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}\).
Ne pas confondre vitesse orbitale \(v=\sqrt{GM/r}\) et vitesse de libération \(v_\mathrm{lib}=\sqrt{2GM/r}\).

6) Orbits elliptiques : équation de vis-viva (utile Bac)

Pour une orbite elliptique de demi-grand axe \(a\), à la distance \(r\) du foyer : \[ \boxed{v^2=GM\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)}. \] Aux extrémités : \(r_\mathrm{p}=a(1-e)\) (périastre), \(r_\mathrm{a}=a(1+e)\) (apoastre), \(0\le e<1\).

La vitesse est max au périastre (r minimum) et min à l’apoastre (r maximum), en accord avec la 2ᵉ loi de Kepler.

7) Satellite géostationnaire (autour de la Terre)

Un satellite est géostationnaire s’il reste immobile par rapport à un point de l’équateur terrestre : orbite circulaire, équatoriale, sens direct, période \(T=24\,\mathrm{h}\) (rotation sidérale).

  • Altitude \(h\) obtenue via \(T=2\pi\sqrt{r^3/GM_T}\) avec \(r=R_T+h\).
  • Valeurs usuelles (ordre de grandeur) : \(h\approx 35\,786\ \mathrm{km}\), \(r\approx 42\,164\ \mathrm{km}\) du centre de la Terre.
Équateur Terre Sat. GEO r = \(R_T+h\) Rotation 24 h
Orbite géostationnaire : circulaire, équatoriale, \(T=24\,\mathrm{h}\).

8) « Apesanteur » en orbite : clarification

Un astronaute en orbite subit toujours la pesanteur (forte) : il est en chute libre permanente autour de la Terre. La sensation d’apesanteur vient de l’absence de réaction du support, pas de l’absence de gravité.

9) Applications (Bac)

  • GNSS / GPS : période connue, altitude connue ⇒ synchronisation et triangulation.
  • Télécommunications : GEO pour diffusion TV ; MEO/LEO pour internet/observation.
  • Transferts orbitaux (idée) : variation d’énergie mécanique pour changer \(a\) (propulsion).

10) Exercices Bac (12) — solutions détaillées

Ex.1 — Vitesse circulaire basse orbite

Autour de la Terre (\(GM_T=3{,}986\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}\)), à \(r=6{,}90\times10^6\ \mathrm{m}\). Calculer \(v\).

\(v=\sqrt{GM_T/r}=\sqrt{3{,}986\times10^{14}/6{,}90\times10^6}\approx 7{,}61\times10^3\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).

Ex.2 — Période d’une orbite circulaire

Avec le même \(r\) que l’Ex.1, calculer \(T\).

\(T=2\pi\sqrt{r^3/GM_T}\approx 2\pi\sqrt{(6{,}90\times10^6)^3/3{,}986\times10^{14}}\approx 5{,}9\times10^3\ \mathrm{s}\) ≈ \(98\ \mathrm{min}\).

Ex.3 — Géostationnaire : altitude

\(T=86\,164\ \mathrm{s}\) (sidéral). Trouver \(r\), puis \(h=r-R_T\) (\(R_T=6{,}371\times10^6\ \mathrm{m}\)).

\(r=\big(GM_T (T/2\pi)^2\big)^{1/3}\approx 4{,}2164\times10^7\ \mathrm{m}\). \(h\approx 4{,}2164\times10^7-6{,}371\times10^6\approx 3{,}58\times10^7\ \mathrm{m}\) (≈ \(35\,786\ \mathrm{km}\)).

Ex.4 — Vitesse de libération (au sol)

À la surface : \(r=R_T\). Calculer \(v_\mathrm{lib}\).

\(v_\mathrm{lib}=\sqrt{2GM_T/R_T}\approx \sqrt{2\times 3{,}986\times10^{14}/6{,}371\times10^6}\approx 11{,}2\ \mathrm{km\,s^{-1}}\).

Ex.5 — Kepler 3 pour deux orbites

Deux satellites circulaires : \(r_1=7{,}0\times10^6\ \mathrm{m}\), \(r_2=1{,}4\times10^7\ \mathrm{m}\). Trouver \(T_2/T_1\).

\(T\propto r^{3/2}\Rightarrow T_2/T_1=(r_2/r_1)^{3/2}=(2)^{3/2}=2\sqrt{2}\approx 2{,}83\).

Ex.6 — Énergie mécanique en orbite circulaire

Donner \(E\) en fonction de \(r\) et interpréter.

\(E=-\dfrac{GM_T m}{2r}\) : négative (état lié). Plus \(r\) augmente, moins l’énergie est négative (on « s’affranchit » de l’attraction).

Ex.7 — Vis-viva à l’apoastre

Orbite elliptique de \(a=2{,}0\times10^7\ \mathrm{m}\), \(e=0{,}2\). Calculer \(v_a\) à \(r_a=a(1+e)\).

\(r_a=2{,}4\times10^7\). \(v_a=\sqrt{GM_T\left(\dfrac{2}{r_a}-\dfrac{1}{a}\right)}\approx \sqrt{3{,}986\times10^{14}(8{,}33\times10^{-8}-5{,}00\times10^{-8})}\approx 4{,}0\ \mathrm{km\,s^{-1}}\).

Ex.8 — Temps de révolution planétaire

Autour du Soleil (\(GM_\odot=1{,}327\times10^{20}\)). Pour \(a=1{,}5\times10^{11}\ \mathrm{m}\), calculer \(T\).

\(T=2\pi\sqrt{a^3/GM_\odot}\approx 2\pi\sqrt{(1{,}5\times10^{11})^3/1{,}327\times10^{20}}\approx 3{,}16\times10^7\ \mathrm{s}\) ≈ 1 an.

Ex.9 — Pourquoi l’ISS « flotte » ?

Expliquer l’apesanteur apparente.

Chute libre orbitale : gravité présente mais aucune réaction de support ⇒ sensation d’apesanteur.

Ex.10 — Variation de vitesse pour relever l’orbite

Pour passer d’un cercle \(r_1\) à un cercle \(r_2>r_1\) (idée de transfert de Hohmann), le premier allumage augmente la vitesse à périastre ou apoastre ?

À la plus basse altitude (périastre), on augmente l’énergie et le demi-grand axe : l’allumage se fait au périastre.

Ex.11 — Comparer \(v\) GEO vs LEO

Qui est plus rapide, un satellite GEO ou en LEO (orbite basse) ? Justifier.

\(v=\sqrt{GM/r}\) ⇒ plus \(r\) est grand, plus \(v\) est faible. Donc LEO est plus rapide que GEO.

Ex.12 — Changement de période avec altitude

Montrer qualitativement que \(T\) augmente plus vite que \(r\) quand on monte l’orbite.

\(T\propto r^{3/2}\) : si \(r\) est multiplié par \(k\), \(T\) est multiplié par \(k^{3/2}\) (croissance plus rapide).

11) Erreurs fréquentes

  • Utiliser \(g=9{,}81\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) au lieu de la gravitation newtonienne pour l’orbite (il faut \(GM/r^2\)).
  • Confondre \(v\) et \(v_\mathrm{lib}\).
  • Oublier que \(T\) dépend de \(r\) (ou \(a\)) via \(T\propto r^{3/2}\).
  • Penser que « apesanteur = absence de gravité » : faux, c’est une chute libre.

12) Mini-fiche

  • \(F=GMm/r^2\), centripète en orbite.
  • Cercle : \(v=\sqrt{GM/r}\), \(T=2\pi\sqrt{r^3/GM}\), \(E=-GMm/(2r)\).
  • Elliptique : vis-viva \(v^2=GM\left(\dfrac{2}{r}-\dfrac{1}{a}\right)\).
  • GEO : \(T=24\,\mathrm{h}\), orbite équatoriale, \(h\approx 35\,786\ \mathrm{km}\).

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