Propagation des ondes lumineuses
1) Introduction et vocabulaire
La lumière est une onde électromagnétique capable de se propager dans le vide à la célérité \(\displaystyle c=3{,}00\times10^8\ \text{m·s}^{-1}\). Dans un milieu matériel transparent d’indice \(n\ge 1\), sa célérité vaut \(v=\dfrac{c}{n}\).
- Rayon lumineux : modèle géométrique (direction de propagation locale).
- Onde monochromatique : fréquence unique \(f\) (la fréquence ne change pas lors d’un passage d’un milieu à l’autre).
- Longueur d’onde : \(\lambda=\dfrac{v}{f}\) (dans le vide : \(\lambda_0=\dfrac{c}{f}\)).
En milieu homogène, isotrope et transparent, la propagation est rectiligne. Aux interfaces, elle obéit aux lois de Descartes (réflexion/réfraction).
2) Indice de réfraction et célérité
Indice d’un milieu : \(\displaystyle \boxed{\,n=\frac{c}{v}\,}\). La fréquence \(f\) est invariante au changement de milieu ; la longueur d’onde s’adapte : \(\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{c}{nf}\).
3) Lois de Descartes (réflexion / réfraction)
À l’interface de deux milieux d’indices \(n_1\) et \(n_2\) :
- Réflexion : l’angle réfléchi égale l’angle d’incidence \(i_r=i\).
- Réfraction : \(\displaystyle \boxed{\,n_1\sin i=n_2\sin r\,}\) (Snell-Descartes).
Si \(n_1=1{,}00\) (air) et \(n_2=1{,}50\) (verre), pour \(i=30^\circ\) ⇒ \(\sin r=\dfrac{n_1}{n_2}\sin i=\dfrac{1}{1{,}5}\times0{,}5=0{,}333\) ⇒ \(r\approx 19{,}5^\circ\).
4) Réflexion totale interne (RTI)
Cas \(n_1>n_2\). Il existe un angle critique \(i_c\) tel que \(\sin i_c=\dfrac{n_2}{n_1}\). Pour \(i>i_c\), il n’y a plus de rayon réfracté : la réflexion est totale.
Application : fibres optiques. La lumière reste confinée par réflexions totales successives (cœur d’indice \(n_\text{cœur}\) > gaine \(n_\text{gaine}\)).
5) Dispersion et milieux dispersifs
Un milieu est dispersif si l’indice \(n\) dépend de la fréquence (ou de la longueur d’onde). Dans un verre ordinaire : \(n_\text{violet}>n_\text{rouge}\) ⇒ le violet est plus dévié que le rouge.
6) Propagation rectiligne — Ombre & pénombre
À l’échelle « géométrique » (ouverture \(\gg \lambda\)), la lumière se propage en lignes droites. Un écran opaque génère :
- Ombre : région non atteinte par aucun rayon de la source.
- Pénombre : région partiellement éclairée (source étendue).
Quand l’ouverture devient comparable à \(\lambda\), la diffraction apparaît : c’est traité dans un autre chapitre (ondes et interférences).
7) Exemples Bac guidés
Exemple 1 — Réfraction : Un rayon passe de l’air \((n_1=1{,}00)\) à l’eau \((n_2=1{,}33)\) avec \(i=40^\circ\). On cherche \(r\) : \(\sin r=\dfrac{n_1}{n_2}\sin i=\dfrac{1}{1{,}33}\sin40^\circ\approx0{,}488\Rightarrow r\approx29{,}2^\circ\).
Exemple 2 — RTI : Verre–air \((n_1=1{,}50, n_2=1{,}00)\). \(i_c=\arcsin\dfrac{n_2}{n_1}=\arcsin\left(\dfrac{2}{3}\right)\approx41{,}8^\circ\). Pour \(i=55^\circ\Rightarrow\) réflexion totale.
8) Exercices Bac (12) — solutions détaillées
Ex.1 — Longueur d’onde dans un milieu
Lumière monochromatique \(f=5{,}0\times10^{14}\ \text{Hz}\) se propage dans un liquide d’indice \(n=1{,}25\). Calculer \(v\) et \(\lambda\).
\(v=c/n=2{,}40\times10^8\ \text{m·s}^{-1}\). \(\lambda=v/f=4,8\times10^{-7}\ \text{m}=480\ \text{nm}\).
Ex.2 — Snell-Descartes
Air \(\to\) verre \((n_2=1{,}50)\) ; \(i=25^\circ\). Trouver \(r\).
\(\sin r=\dfrac{1}{1{,}50}\sin25^\circ\approx0{,}282\Rightarrow r\approx16{,}4^\circ\).
Ex.3 — Angle critique
Eau–air \((n_1=1{,}33, n_2=1{,}00)\). Calculer \(i_c\).
\(i_c=\arcsin(n_2/n_1)=\arcsin(0{,}7519)\approx48{,}8^\circ\).
Ex.4 — Invariance de la fréquence
Dans l’air, \(\lambda_0=600\ \text{nm}\). Dans un verre \(n=1{,}5\), calculer \(\lambda\).
\(\lambda=\lambda_0/n=400\ \text{nm}\).
Ex.5 — Déviation par prisme (ordre de grandeur)
Un prisme fin d’angle au sommet \(A=5^\circ\) et d’indice \(n=1{,}52\). Pour une incidence quasi-normale, estimer la déviation \(\delta\approx (n-1)A\).
\(\delta\approx0{,}52\times5^\circ\approx2{,}6^\circ\).
Ex.6 — Passage inverse
Rayon du verre \((n=1{,}50)\) vers l’air avec \(r=30^\circ\). Trouver \(i\).
\(n_1\sin i=n_2\sin r \Rightarrow 1{,}5\sin i=1{,}0\sin30^\circ=0{,}5\) ⇒ \(\sin i=1/3\Rightarrow i\approx19{,}5^\circ\).
Ex.7 — Vérifier RTI ou non
Verre–eau \((n_1=1{,}50, n_2=1{,}33)\) et \(i=70^\circ\). RTI ?
\(i_c=\arcsin(1{,}33/1{,}50)\approx62{,}5^\circ\). Ici \(i=70^\circ>i_c\) ⇒ RTI.
Ex.8 — Mélange de notions
Monochromatique \(f=4{,}6\times10^{14}\ \text{Hz}\). Dans l’air \(\lambda_0\approx652\ \text{nm}\). Dans un plastique \(n=1{,}40\), calculer \(v\) et \(\lambda\).
\(v=c/1{,}40\approx2{,}14\times10^8\ \text{m·s}^{-1}\). \(\lambda=v/f\approx465\ \text{nm}\).
Ex.9 — Rayon limite
À l’interface eau–air, trouver l’angle du rayon réfracté pour l’incidence critique.
Par définition du critique : \(r=90^\circ\) (rayon tangent à l’interface).
Ex.10 — Ombre/pénombre
Une petite ampoule étendue éclaire un disque opaque. Qualitativement, que voit-on sur un écran ?
Zone d’ombre centrale (aucun rayon) entourée d’une couronne de pénombre (éclairement partiel).
Ex.11 — Changement successif de milieux
Air \(\to\) eau \(\to\) verre. La fréquence finale ? La longueur d’onde finale ?
La fréquence reste celle de la source tout au long du parcours. La longueur d’onde prend successivement \(\lambda_1=c/f\), \(\lambda_2=(c/n_\text{eau})/f\), puis \(\lambda_3=(c/n_\text{verre})/f\).
Ex.12 — Calcul inverse d’indice
On mesure \(v=2{,}00\times10^8\ \text{m·s}^{-1}\) dans un matériau. Déterminer \(n\).
\(n=c/v=1{,}50\).
9) Erreurs fréquentes
- Changer la fréquence au passage d’un milieu à l’autre (c’est \(\lambda\) qui change, pas \(f\)).
- Oublier la rectiligne en milieu homogène : les rayons ne « courbent » qu’aux interfaces.
- Confondre réflexion totale (possible seulement si \(n_1>n_2\)) et « miroir » ordinaire.
- Utiliser les degrés au lieu des radians dans une calculatrice paramétrée en rad (vérifier le mode).
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