المجموعات الميكانيكية المتذبذبة

أ) تأرجح البندول: حركة متذبذبة حول موضع توازن يكون عندما يكون الخيط عمودياً والثقل في أسفل نقطة.

ب) سيارة بسرعة ثابتة في خط مستقيم: ليست حركة متذبذبة لأنها لا تعود بشكل دوري إلى نفس الموضع على نفس المسار.

ج) كتلة–نابض بدون احتكاك: حركة متذبذبة حول وضع توازن عندما يكون النابض في طوله الطبيعي (أو في الطول المكافئ حسب الوضع).

د) سقوط حر دون ارتداد: ليست حركة متذبذبة لأنها لا تتكرر حول وضع توازن، بل تتجه في اتجاه واحد فقط.

1) بالمقارنة مع \( x(t) = A\cos(\omega t + \varphi) \), نجد أن \(A = 0{,}05\,\mathrm{m}\).

2) النبض: \[ \omega = 20\pi\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}} \] الدور: \[ T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{20\pi} = 0{,}10\,\mathrm{s} \] والتواتر: \[ f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{0{,}10} = 10\,\mathrm{Hz} \]

3) عند \(t = 0\): \[ x(0) = 0{,}05\cos(0) = 0{,}05\,\mathrm{m} \] أي أن الجسيم في إحدى وضعيات القِت (السعة)، وليس في وضع التوازن (حيث \(x=0\)).

1) من: \[ \omega_0^2 = \dfrac{k}{m} \Rightarrow \omega_0 = \sqrt{\dfrac{20}{0{,}50}} = \sqrt{40} \approx 6{,}32\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}} \]

2) الدور: \[ T_0 = \dfrac{2\pi}{\omega_0} \approx \dfrac{2\pi}{6{,}32} \approx 0{,}99\,\mathrm{s} \] والتواتر: \[ f_0 = \dfrac{1}{T_0} \approx 1{,}01\,\mathrm{Hz} \]

3) بما أن \(\varphi = 0\): \[ x(t) = A\cos(\omega_0 t) = 0{,}04\cos(6{,}32 t) \]

1) من: \[ T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}80}{9{,}8}} \] نحسب داخل الجذر: \( 0{,}80/9{,}8 \approx 0{,}0816 \), ثم: \( \sqrt{0{,}0816} \approx 0{,}2855 \), إذن: \[ T_0 \approx 2\pi\times 0{,}2855 \approx 1{,}79\,\mathrm{s} \]

2) التواتر: \[ f = \dfrac{1}{T_0} \approx \dfrac{1}{1{,}79} \approx 0{,}56\,\mathrm{Hz} \]

3) إذا ضاعفنا طول الخيط: \[ L' = 2L \Rightarrow T_0' = 2\pi\sqrt{\dfrac{2L}{g}} = 2\pi\sqrt{2}\sqrt{\dfrac{L}{g}} = \sqrt{2}\,T_0 \] أي أن الدور يزداد بمعامل \(\sqrt{2}\) تقريباً (حوالي \(1{,}41\)).

1) عند القت (مثلاً \(x = A\)) تكون السرعة \( v = 0 \) وبالتالي: \[ E_{\mathrm{m}} = E_{\mathrm{p}}(A) = \dfrac{1}{2}kA^2 = \dfrac{1}{2}\times 25\times (0{,}10)^2 \] نحسب: \( (0{,}10)^2 = 0{,}01 \Rightarrow E_{\mathrm{m}} = 12{,}5\times 0{,}01 = 0{,}125\,\mathrm{J} \]

2) عند \(x=0\): \[ E_{\mathrm{p}}(0) = \dfrac{1}{2}k\times 0^2 = 0 \] وبما أن \(E_{\mathrm{m}}\) ثابت: \[ E_{\mathrm{c}} = E_{\mathrm{m}} = 0{,}125\,\mathrm{J} \]

3) عند \(x = A\): \[ E_{\mathrm{p}}(A) = E_{\mathrm{m}} = 0{,}125\,\mathrm{J} \] بينما \(E_{\mathrm{c}} = 0\).

1) القوى على الكتلة:

• الثقل: \(\vec{P} = m\vec{g}\) نحو الأسفل.
• قوة النابض: شدّ نحو الأعلى، شدّها \(k(\Delta l + y)\) بالنسبة إلى الطول الطبيعي.

بتطبيق نيوتن على محور رأسي (نحو الأسفل موجب):

قوة النابض نحو الأعلى تعطي مركبة سالبة: \[ \sum F_y = mg - k(\Delta l + y) = m\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} \] في وضع التوازن: \( mg = k\Delta l \). بطرح هذه العلاقة من المعادلة العامة نحصل على: \[ -ky = m\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} \Rightarrow \dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} + \dfrac{k}{m}y = 0 \] إذن: \[ \omega_0^2 = \dfrac{k}{m} \]

2) المعادلة من نفس شكل معادلة كتلة–نابض أفقي، إذن الحركة تذبذب حر توافقي بسيط حول وضع التوازن، بنفس النبض: \( \omega_0 = \sqrt{k/m} \).

1) للنظام \(A\): \[ N_A = 5 \text{ تذبذبات في } 10\,\mathrm{s} \Rightarrow f_A = \dfrac{5}{10} = 0{,}50\,\mathrm{Hz} \] الدور: \[ T_A = \dfrac{1}{f_A} = 2\,\mathrm{s} \]

للنظام \(B\): \[ N_B = 8 \Rightarrow f_B = \dfrac{8}{10} = 0{,}80\,\mathrm{Hz} \] الدور: \[ T_B = \dfrac{1}{f_B} = 1{,}25\,\mathrm{s} \]

2) النبض: \[ \omega = 2\pi f \Rightarrow \omega_B > \omega_A \] لأن \(f_B > f_A\).

3) بما أن: \[ \omega_0^2 = \dfrac{k}{m} \] فإن \(\dfrac{k}{m}\) للنظام \(B\) أكبر من قيمته في النظام \(A\) (إما لأن \(k_B\) أكبر، أو \(m_B\) أصغر، أو كلاهما).

1) هذا يسمى تذبذباً مخمّداً.

2) يرجع تناقص السعة إلى وجود قوى مقاومة (احتكاك مع الهواء، احتكاك مع الطاولة...) التي تستهلك جزءاً من الطاقة الميكانيكية في شكل حرارة.

3) الطاقة الميكانيكية لا تبقى ثابتة، بل تتناقص تدريجياً مع الزمن، لأن العمل الذي تبذله قوى الاحتكاك سالب، وتحول الطاقة الميكانيكية إلى طاقة حرارية في الوسط المحيط.

1) بالمقارنة مع \( x(t) = A\cos(\omega t + \varphi) \):

• \(A = 0{,}08\,\mathrm{m}\).
• \(\omega = 5\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}\).
• \(\varphi = \dfrac{\pi}{4}\,\mathrm{rad}\).

2) الموضع: \[ x(0) = 0{,}08\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0{,}08\times \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}08\times 0{,}707 \approx 0{,}0566\,\mathrm{m} \]

السرعة هي المشتق: \[ v(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -0{,}08\omega\sin(\omega t + \varphi) = -0{,}08\times 5\sin(5t + \dfrac{\pi}{4}) \] إذن: \[ v(0) = -0{,}40\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \approx -0{,}40\times 0{,}707 \approx -0{,}283\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} \]

3) في وضع التوازن يجب أن يكون \(x=0\). هنا \(x(0) \ne 0\)، إذن الجسيم ليس في وضع التوازن عند \(t=0\).

المجموعة الميكانيكية المتذبذبة هي نظام ميكانيكي يتحرك حول وضع توازن بحيث تتكرر الإزاحة زمنياً بشكل دوري أو شبه دوري. نختار موضعاً مرجعياً ونرمز للإزاحة بدالة الزمن \(x(t)\)، وتكون السعة \(A\) هي القيمة العظمى لـ \(|x(t)|\)، بينما الدور \(T\) هو الزمن اللازم لإعادة نفس الحالة والتواتر \(f = 1/T\). في الكثير من الحالات، يمكن كتابة الإزاحة بشكل جيبي من النمط \( x(t) = A\cos(\omega t + \varphi) \), حيث \(\omega\) هو النبض الذاتي المرتبط بالخواص الميكانيكية للنظام.

من بين النماذج الأساسية: نظام كتلة–نابض حيث \( \omega_0^2 = k/m \) والبندول البسيط حيث \( T_0 = 2\pi\sqrt{L/g} \) للتذبذبات الصغيرة. في غياب الاحتكاك تبقى الطاقة الميكانيكية \(E_{\mathrm{m}} = E_{\mathrm{c}} + E_{\mathrm{p}}\) ثابتة، مع تبادل دوري بين الطاقة الحركية وطاقة الوضع. أما في وجود الاحتكاك، فيظهر التذبذب المخمّد حيث تتناقص السعة والطاقة الميكانيكية تدريجياً مع الزمن.