الموجات الميكانيكية المتوالية الدورية

1) تذكير: الموجة الميكانيكية المتوالية

الموجة الميكانيكية المتوالية هي انتشار اضطراب في وسط مادي (حبل، سطح ماء، نابض، هواء...) حيث تهتز نقط الوسط الواحدة تلو الأخرى حول موضع توازنها بينما لا تنتقل المادة وإنما تنتقل الطاقة و المعلومة.

  • كل نقطة \(M\) من الوسط تهتز حول موضع توازنها بنفس نوع الاهتزاز (نفس الشكل الزمني) مع تأخر في الزمن.
  • الانتشار يتم بسرعة ثابتة (في الشروط البسيطة) نرمز لها بـ \(v\).
  • في هذا الدرس نهتم بحالة خاصة: الموجة الميكانيكية المتوالية الدورية.

2) تعريف الموجة الميكانيكية المتوالية الدورية

نقول إن الموجة الميكانيكية المتوالية دورية إذا كان الاهتزاز الذي تقوم به كل نقطة من الوسط دوريًا في الزمن، أي يتكرر نفسه بعد مدة ثابتة \(T\) (الدور).

إذا كان التشوه عند نقطة مرجعية \(O\) يُعطى بـ: \[ y(O,t+T) = y(O,t)\quad \forall t \] فإن الموجة المتولدة عن هذا الاهتزاز هي موجة ميكانيكية متوالية دورية.

مثال بسيط

إذا قمنا بهز طرف حبل حركةً جيبية منتظمة بتردد \(f=10~\text{Hz}\)، فإن فترة الاهتزاز هي \[ T = \frac{1}{f} = 0{,}10~\text{s} \] وتكون الموجة المتولدة موجة حبل جيبية دورية.

3) المميزات الأساسية لموجة دورية

3-1) الدور \(T\) و التردد \(f\)

  • الدور الزمني \(T\) هو المدة اللازمة ليُتم الاهتزاز دورة كاملة عند نقطة معينة: \[ y(M,t+T)=y(M,t) \]
  • التردد \(f\) هو عدد الدورات في الثانية: \[ f = \frac{1}{T}\quad \text{بوحدة هرتز (Hz)} \]

3-2) طول الموجة \( \lambda \)

طول الموجة \( \lambda \) هو المسافة بين نقطتين متتالتين من الوسط لهما نفس الطور (مثلاً من قمة إلى قمة، أو من وادٍ إلى وادٍ) في نفس اللحظة الزمنية: \[ \lambda = v \, T \]

\( \lambda \) مقطع مكاني لموجة دورية
يمكن قياس \( \lambda \) على المقطع المكاني بين قمتين متتاليتين.
\( T \) مقطع زمني لموضع نقطة من الوسط
على المقطع الزمني نحدد الدور \(T\) بين قمتين أو قاعين متتاليين.

3-3) علاقة السرعة \(v\) بالخصائص الأخرى

لموجة دورية تنتشر بسرعة ثابتة \(v\): \[ v = \frac{\lambda}{T} = \lambda f \] هذه العلاقة أساسية لتغيير وحدة القياس بين الزمن و المسافة.

4) المعادلة الزمنية و المكانية لموجة جيبية دورية

إذا كانت الموجة الجيبية الدورية تنتشر على محور \(x\) نحو القيم الموجبة بسرعة \(v\)، وكان التشوه يُقاس بالاستطالة \(y\) (مثلاً على حبل)، فإن معادلة الموجة يمكن كتابتها على الشكل: \[ y(x,t) = A \sin\!\big( \omega t - kx + \varphi_0 \big) \]

  • \(A\): سعة الموجة (الاستطالة العظمى).
  • \(\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}\): السرعة الزاوية.
  • \(k = \frac{2\pi}{\lambda}\): العدد الموجي.
  • \(\varphi_0\): الطور الابتدائي عند \(x=0\) و \(t=0\).

إشارة العبارة داخل \(\sin\) ترتبط باتجاه الانتشار: نحو \(+x\) نستعمل \(\omega t - kx\)، نحو \(-x\) نستعمل \(\omega t + kx\).

5) الطور، فرق الطور و التأخر الزمني

نرمز لـطور الاهتزاز عند النقطة \(M\) في اللحظة \(t\) بـ: \[ \varphi_M(t) = \omega t - kx_M + \varphi_0 \] نقطتان لهما نفس الطور في لحظة معينة تكونان في نفس حالة الاهتزاز (نفس الإشارة و القيمة النسبية).

5-1) فرق الطور بين نقطتين

إذا كان موضع النقطتين \(M(x_M)\) و \(N(x_N)\) على نفس الحامل، فإن فرق الطور بينهما في اللحظة \(t\) هو: \[ \Delta\varphi = \varphi_N(t) - \varphi_M(t) = -k(x_N - x_M) \] ومنه: \[ \left|\Delta\varphi\right| = \frac{2\pi}{\lambda}\,|x_N - x_M| \]

5-2) التأخر الزمني

نقول إن النقطة \(N\) متأخرة زمنيًا عن النقطة \(M\) بمدة \(\Delta t\) إذا وصلها نفس الاضطراب بعد هذه المدة: \[ \Delta t = \frac{|x_N - x_M|}{v} \] عندها يكون فرق الطور: \[ \Delta\varphi = \omega \Delta t \]

\(M\) \(N\) \( \Delta x \) كلما ابتعدت النقطتان زاد فرق الطور بينهما
فرق الطور يرتبط بمسافة الفصل \( \Delta x \) و بطول الموجة \( \lambda \).

6) التمثيل البياني لموجة دورية

في التجارب نستعمل غالبًا نوعين من التمثيل البياني:

  1. مقطع مكاني \(y(x,t_0)\): نمثل الاستطالة بدلالة الموضع لمجموعة نقط في لحظة زمنية ثابتة.
  2. مقطع زمني \(y(M,t)\): نمثل الاستطالة عند نقطة واحدة بدلالة الزمن.
  • من المقطع المكاني نستخرج \( \lambda \) بسهولة.
  • من المقطع الزمني نستخرج \(T\) و بالتالي التردد \(f\).
  • من ميل المستقيم الذي يربط بين موضع جبهة الموجة و الزمن يمكن تقدير السرعة \(v\).

7) انتقال الطاقة في موجة دورية

الموجة الميكانيكية الدورية تنقل طاقة اهتزازية من المنبع إلى باقي النقط. كلما كانت السعة \(A\) أكبر كانت الطاقة المنقولة في كل دورة أكبر.

  • في موجة طولية على نابض مثلاً، تتناوب مناطق الانضغاط و التخلخل حاملةً الطاقة.
  • في موجة على سطح الماء، تتحرك جزيئات الماء في مسارات تقريبًا دائرية بينما تنتشر الموجة أفقياً.
  • في غياب احتكاكات مهمة، نحسب القدرة المنقولة على أساس العمل المنجز خلال فترة واحدة.

8) تمارين تطبيقية (10 تمارين) مع الحل

تمرين 1 — حساب الدور و التردد

موجة حبل دورية تردد المنبع فيها \(f=25~\text{Hz}\). احسب الدور \(T\).

نستعمل العلاقة \(T=\frac{1}{f}\): \[ T = \frac{1}{25} = 0{,}04~\text{s} \]

تمرين 2 — حساب السرعة انطلاقًا من \(T\) و \(\lambda\)

في تجربة على حبل وجدنا أن طول الموجة هو \( \lambda = 0{,}80~\text{m} \) و الدور \(T=0{,}20~\text{s}\). احسب سرعة انتشار الموجة.

\[ v = \frac{\lambda}{T} = \frac{0{,}80}{0{,}20} = 4{,}0~\text{m·s}^{-1} \]

تمرين 3 — تحديد \(T\) و \(\lambda\) من تمثيلين بيانيين

من المقطع الزمني عند نقطة \(M\) تبين أن الزمن بين قمتين متتاليتين يساوي \(8~\text{ms}\). ومن المقطع المكاني في نفس اللحظة كان البعد بين قمتين متتاليتين \(2{,}4~\text{m}\). احسب \(T\)، \(f\) و \(v\).

لدينا \(T = 8~\text{ms} = 8{,}0\times10^{-3}~\text{s}\)، و \( \lambda = 2{,}4~\text{m}\). \[ f = \frac{1}{T} \approx 125~\text{Hz},\quad v = \lambda f = 2{,}4 \times 125 = 300~\text{m·s}^{-1} \]

تمرين 4 — فرق الطور بين نقطتين

على نفس الحامل توجد نقطتان \(M\) و \(N\) بحيث \(x_N - x_M = \frac{\lambda}{4}\). ما هو فرق الطور بينهما؟

\[ |\Delta\varphi| = \frac{2\pi}{\lambda}\,|x_N - x_M| = \frac{2\pi}{\lambda}\,\frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2} \] أي أن النقطتين متفصلتان بفرق طور قدره \( \frac{\pi}{2} \) (ربع دورة).

تمرين 5 — التأخر الزمني

تنتشر موجة دورية بسرعة \(v=340~\text{m·s}^{-1}\) على طول أنبوب هواء. المسافة بين النقطتين \(A\) و \(B\) هي \(1{,}70~\text{m}\). احسب التأخر الزمني بين اهتزاز \(A\) و \(B\).

\[ \Delta t = \frac{AB}{v} = \frac{1{,}70}{340} = 5{,}0\times10^{-3}~\text{s} \]

تمرين 6 — معادلة موجة نحو \(+x\)

موجة جيبية دورية على حبل سعتها \(A=2{,}0~\text{cm}\)، ترددها \(f=50~\text{Hz}\) وطولها الموجي \( \lambda = 0{,}40~\text{m} \). تكتب معادلتها: \[ y(x,t) = A \sin(\omega t - kx) \] احسب \(\omega\) و \(k\) ثم اكتب المعادلة عددياً.

\[ \omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 = 100\pi~\text{rad·s}^{-1} \] \[ k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0{,}40} = 5\pi~\text{rad·m}^{-1} \] إذن: \[ y(x,t) = 2{,}0 \sin\!\big(100\pi t - 5\pi x\big)\ \text{(cm)} \]

تمرين 7 — حساب السرعة من معادلة موجة

أعطيت معادلة موجة على محور \(x\) على الشكل: \[ y(x,t) = 3{,}0 \sin\!\big(40\pi t - 8\pi x\big) \] (الوحدات الدولية). احسب \(f\)، \(\lambda\) و سرعة الانتشار \(v\).

من المعادلة: \(\omega = 40\pi\) و \(k = 8\pi\). \[ f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{40\pi}{2\pi} = 20~\text{Hz} \] \[ \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{8\pi} = 0{,}25~\text{m} \] \[ v = \lambda f = 0{,}25 \times 20 = 5{,}0~\text{m·s}^{-1} \]

تمرين 8 — استخراج \(T\) و \(\lambda\) من رسم تخطيطي

على تمثيل بياني (غير معطى هنا) تبين أن أربع قمم متتالية على المقطع المكاني تغطي مسافة \(6{,}0~\text{m}\). و على المقطع الزمني لنفس الموجة، ثلاث قمم متتالية تفصل بينها مدة \(0{,}18~\text{s}\). احسب \( \lambda \)، \(T\) و \(v\).

أربع قمم متتالية تعني ثلاث أطوال موجية: \[ 3\lambda = 6{,}0 \Rightarrow \lambda = 2{,}0~\text{m} \] ثلاث قمم متتالية في الزمن تعني دورتين: \[ 2T = 0{,}18 \Rightarrow T = 0{,}090~\text{s} \] السرعة: \[ v = \frac{\lambda}{T} = \frac{2{,}0}{0{,}090} \approx 22{,}2~\text{m·s}^{-1} \]

تمرين 9 — مقارنة سعتين

موجتان دوريتان لهما نفس التردد و نفس الوسط لكن إحداهما سعتها ضعف سعة الأخرى. كيف تقارن الطاقة المنقولة في كل موجة؟

في الموجات الميكانيكية الجيبية تكون الطاقة المتوسطة المنقولة في كل دورة متناسبة مع مربع السعة \(E \propto A^2\). إذا كانت السعة مضاعفة يصبح: \[ E_2 = 4 E_1 \] أي أن الموجة ذات السعة الأكبر تنقل طاقة أكبر أربع مرات تقريبًا.

تمرين 10 — تعيين اتجاه الانتشار من المعادلة

لدينا معادلة موجة: \[ y(x,t) = A \sin\!\big(60\pi t + 12\pi x\big) \] حدد اتجاه الانتشار (نحو \(+x\) أم نحو \(-x\))، ثم احسب \(f\) و \(\lambda\).

وجود الإشارة + بين \(60\pi t\) و \(12\pi x\) يعني أن الموجة تنتشر نحو \(-x\). لدينا: \[ \omega = 60\pi \Rightarrow f = \frac{\omega}{2\pi} = 30~\text{Hz} \] \[ k = 12\pi \Rightarrow \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{12\pi} = \frac{1}{6}~\text{m} \]