تطبيقات قوانين نيوتن: الحركات المستوية

1) بالاشتقاق: \[ \vec{v}(t) = \dfrac{d\vec{OM}}{dt} = \dfrac{dx}{dt}\,\vec{i} + \dfrac{dy}{dt}\,\vec{j} = v_x(t)\,\vec{i} + v_y(t)\,\vec{j} \] \[ \vec{a}(t) = \dfrac{d\vec{v}}{dt} = \dfrac{dv_x}{dt}\,\vec{i} + \dfrac{dv_y}{dt}\,\vec{j} \]

2) لدينا: \[ x(t) = 2t \Rightarrow v_x(t) = \dfrac{dx}{dt} = 2 \Rightarrow a_x(t) = 0 \] \[ y(t) = 3t^2 \Rightarrow v_y(t) = 6t \Rightarrow a_y(t) = 6 \] إذن: \[ \vec{v}(t) = 2\,\vec{i} + 6t\,\vec{j} \] \[ \vec{a}(t) = 0\,\vec{i} + 6\,\vec{j} \]

عند \(t = 1\,\mathrm{s}\): \[ \vec{v}(1) = 2\,\vec{i} + 6\,\vec{j}\,\ (\mathrm{m\cdot s^{-1}}) \] \[ \vec{a}(1) = 6\,\vec{j}\,\ (\mathrm{m\cdot s^{-2}}) \]

1) نختار:

• \(Ox\): أفقي نحو اليمين.
• \(Oy\): عمودي نحو الأعلى، سطح الأرض عند \(y = 0\).

القوة الوحيدة هي الثقل \(\vec{P} = m\vec{g}\) نحو الأسفل، إذن: \[ a_x = 0,\quad a_y = -g \] بما أن القذف أفقي: \[ v_{0x} = v_0,\quad v_{0y} = 0 \] وموضع البداية: \[ x(0) = 0,\quad y(0) = h \]

إذن: \[ x(t) = v_0 t,\quad y(t) = h + 0\cdot t - \dfrac{1}{2} g t^2 = h - \dfrac{1}{2} g t^2 \]

2) يصل الجسيم إلى الأرض عند: \[ y(t_{\text{chute}}) = 0 \Rightarrow h - \dfrac{1}{2} g t_{\text{chute}}^2 = 0 \Rightarrow t_{\text{chute}} = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} \] بالتعويض: \[ t_{\text{chute}} = \sqrt{\dfrac{2\times 20}{9{,}8}} \approx \sqrt{4{,}08} \approx 2{,}02\,\mathrm{s} \]

3) مدى القذيفة: \[ L = x(t_{\text{chute}}) = v_0 t_{\text{chute}} \approx 10 \times 2{,}02 = 20{,}2\,\mathrm{m} \]

1) من تعريف المركّبات: \[ v_{0x} = v_0 \cos\theta = 15\cos 30^\circ = 15 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 12{,}99\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} \] \[ v_{0y} = v_0 \sin\theta = 15\sin 30^\circ = 15 \times \dfrac{1}{2} = 7{,}5\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} \]

2) القوة الوحيدة هي الثقل: \[ a_x = 0,\quad a_y = -g = -10 \] إذن: \[ x(t) = v_{0x} t \] \[ y(t) = v_{0y} t - \dfrac{1}{2} g t^2 = 7{,}5 t - 5 t^2 \]

3) لحذف \(t\)، من: \[ x(t) = v_{0x} t \Rightarrow t = \dfrac{x}{v_{0x}} \] بالتعويض في \(y(t)\): \[ y(x) = v_{0y} \dfrac{x}{v_{0x}} - \dfrac{1}{2} g \left(\dfrac{x}{v_{0x}}\right)^2 \] أي: \[ y(x) = \dfrac{v_{0y}}{v_{0x}} x - \dfrac{g}{2 v_{0x}^2} x^2 \] وهي معادلة قطع مكافئ في المستوى.

1) مركّبتا الثقل: \[ P_x = mg\sin\alpha,\quad P_y = mg\cos\alpha \] حيث \(P_x\) موازي للمستوى و\(P_y\) عمودي عليه.

2) بدون احتكاك، على المحور الموازي: \[ \sum F_x = m a \Rightarrow mg\sin\alpha = m a \Rightarrow a = g\sin\alpha \] بالتعويض: \[ a = 10 \sin 30^\circ = 10 \times 0{,}5 = 5{,}0\,\mathrm{m\cdot s^{-2}} \]

3) بما أن الحركة مستقيمة متسارعة انطلاقاً من السكون، يمكن استعمال العلاقة: \[ v^2 = v_0^2 + 2 a d \] هنا \(v_0 = 0\)، إذن: \[ v^2 = 2 \times 5{,}0 \times 2{,}0 = 20 \Rightarrow v = \sqrt{20} \approx 4{,}47\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} \]

1) على المحور الموازي مع اتجاه النزول: \[ \sum F_x = mg\sin\alpha - f = m a' \]

2) نحسب: \[ mg\sin\alpha = 1{,}0 \times 10 \times \sin 30^\circ = 5{,}0\,\mathrm{N} \] إذن: \[ 5{,}0 - 1{,}0 = 1{,}0 \times a' \Rightarrow a' = 4{,}0\,\mathrm{m\cdot s^{-2}} \]

3) بدون احتكاك كان \(a = 5{,}0\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\)، ومع الاحتكاك أصبح \(a' = 4{,}0\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\). إذن الاحتكاك يقلّل التسارع ويجعل تسارع الجسم أصغر، أي أن الجسم يتسارع أقل (حركته أبطأ).

1) التسارع المركزي: \[ a_{\text{n}} = \dfrac{v^2}{R} = \dfrac{4{,}0^2}{0{,}8} = \dfrac{16}{0{,}8} = 20\,\mathrm{m\cdot s^{-2}} \]

2) القوة المركزية هنا هي قوة شد الخيط \(\vec{T}\) التي توجه دائماً نحو مركز الدائرة. من قانون نيوتن الثاني على الاتجاه الشعاعي نحو المركز: \[ T = m a_{\text{n}} = 0{,}5 \times 20 = 10\,\mathrm{N} \]

3) جهة \(\vec{T}\) (القوة المركزية) تكون دائماً عمودية على السرعة اللحظية، وموجهة نحو مركز الدائرة، أي إلى داخل المنحنى.

1) المعادلة من الشكل: \[ y(x) = ax^2 + bx + c \] مع \(a = -0{,}5\)، \(b = 4\)، \(c = 0\)، إذن المنحنى هو قطع مكافئ يفتح نحو الأسفل.

2) أعلى ارتفاع يكون عند رأس القطع المكافئ. يمكن إيجاده من: \[ x_{\text{max}} = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \times (-0{,}5)} = -\dfrac{4}{-1} = 4 \] إذن: \[ y_{\text{max}} = y(4) = 4\times 4 - 0{,}5 \times 4^2 = 16 - 0{,}5\times 16 = 16 - 8 = 8\,\mathrm{m} \]

3) عندما \(y = 0\): \[ 0 = 4x - 0{,}5 x^2 \Rightarrow x(4 - 0{,}5x) = 0 \] إما: \[ x = 0 \quad\text{أو}\quad 4 - 0{,}5x = 0 \Rightarrow x = 8 \] فيزيائياً:

• \(x = 0\): موضع القذف (نقطة الانطلاق).
• \(x = 8\,\mathrm{m}\): الموضع الأفقي عند عودة الجسم إلى الأرض (نهاية المسار).

1) على المحور \(Ox\): \[ x(t) = 3t \Rightarrow v_x(t) = 3,\ a_x(t) = 0 \] إذن السرعة الأفقية ثابتة، الحركة على \(Ox\) مستقيمة منتظمة.

2) على المحور \(Oy\): \[ y(t) = 5t - 2t^2 \Rightarrow v_y(t) = 5 - 4t,\ a_y(t) = -4 \] التسارع ثابت وسالب، إذن الحركة على \(Oy\) مستقيمة متسارعة (في القيمة المطلقة) لكن متباطئة في الاتجاه الموجب.

3) بما أن الحركة على المحورين مختلفة (أفقياً منتظمة وعمودياً متسارعة)، فإن المسار الكلي في المستوي ليس مستقيماً بل منحنياً (قطع مكافئ).

1) بما أن الجسم ينزل من ارتفاع أكبر إلى ارتفاع أصغر دون احتكاك، فإن طاقة الوضع تتحول إلى طاقة حركية، لذلك تزداد سرعة الجسم من \(A\) إلى \(B\).

2) عند نقطة في منتصف المسار، الحركة منحنية، لذا يكون التسارع له مركبتان:

• مركبة مماسية (على طول المسار) مرتبطة بتغير شدة السرعة.
• مركبة ناظمية (نحو مركز الدائرة) مرتبطة بتغير اتجاه السرعة.

3) وجود المسار المنحني (جزء من دائرة) يعني أن اتجاه السرعة يتغير باستمرار، ولتغيير اتجاه السرعة نحتاج إلى مركبة ناظمية للتسارع نحو مركز الدائرة، والتي تنتج عن القوة المركزية المؤثرة على الجسم (رد فعل السكة والثقل…).

في الحركات المستوية، يكون مسار النقطة المادية منحصراً في مستوى واحد مثل \((Oxy)\)، ويمكن كتابة موضعها \(\vec{OM}(t) = x(t)\,\vec{i} + y(t)\,\vec{j}\). بتطبيق قانون نيوتن الثاني في مرجع غاليلي، نكتب \(\sum \vec{F} = m\vec{a}\)، ثم نحلّل هذه العلاقة على المحورين لنحصل على معادلتين عدديتين \(\sum F_x = m a_x\) و\(\sum F_y = m a_y\).

في حركة القذيفة مثلاً، تسارع الجاذبية يؤثر عمودياً فقط، فنجد \(a_x = 0\) و\(a_y = -g\)، ما يؤدي إلى مسار قطع مكافئ. في حركة جسم على مستوى مائل، نحصل على تسارع ثابت \(a = g\sin\alpha\) على الاتجاه الموازي، بينما قوة رد الفعل تعوّض مركبة الثقل العمودية. أما في الحركة الدائرية المستوية، فإن تطبيق قانون نيوتن يبيّن ضرورة وجود قوة مركزية تجعل التسارع موجهاً نحو المركز (\(a_{\text{n}} = v^2/R\)). هذه النماذج تمكّن التلميذ من الربط بين المتجهات (قوى، تسارع، سرعة) والمعادلات العددية و التمثيل البياني في المستوي.