حركة دوران جسم صلب حول محور ثابت
1) مقدّمة: حركة دوران جسم صلب حول محور ثابت
في هذا الدرس من فيزياء 2 باك (مسلك العلوم التجريبية والعلوم الرياضية)، ندرس حالة خاصّة من حركة الأجسام الصلبة: حركة دوران حول محور ثابت.
أمثلة يومية:
- دوران عجلة دراجة حول محورها.
- دوران قرص آلة تسجيل أو قرص طاحونة.
- دوران باب حول مفصّلاته (محور عمودي).
نقول إن جسماً صلباً يقوم بحركة دوران حول محور ثابت إذا بقي هذا المحور ثابتاً في الفضاء، وكل نقطة من الجسم تصف مساراً دائرياً مركزه على هذا المحور.
في هذا النوع من الحركة، يمكن تعويض الحركة المعقّدة لنقط الجسم بوصف بسيط يعتمد على: زاوية الدوران \(\theta\)، السرعة الزاوية \(\omega\)، التسارع الزاوي \(\alpha\)، ثم مفاهيم العزم وعزم القصور الذاتي ومعادلة ديناميكية للدوران.
2) الوصف الحركي لحركة الدوران: \(\theta\)، \(\omega\)، \(\alpha\)
زاوية الدوران \(\theta\)
نعتبر جسماً صلباً يدور حول محور ثابت \(\Delta\). نختار نقطة مرجعية \(M\) من الجسم ونسقط موضعها على دائرة مركزها على المحور. تُقاس زاوية الدوران \(\theta(t)\) بالنسبة إلى موضع مرجعي.
- \(\theta(t)\): زاوية الدوران (بالراديان) عند اللحظة \(t\).
- عند حالة دوران منتظم: \(\theta(t)\) تتزايد خطياً مع الزمن.
السرعة الزاوية \(\omega\)
السرعة الزاوية هي معدل تغيّر زاوية الدوران بالنسبة للزمن:
\[ \omega(t) = \dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \]
- الوحدة في النظام الدولي: \(\mathrm{rad\cdot s^{-1}}\).
- إذا كانت \(\omega\) ثابتة، نقول إن الحركة دورانية منتظمة.
التسارع الزاوي \(\alpha\)
التسارع الزاوي هو معدل تغيّر السرعة الزاوية:
\[ \alpha(t) = \dfrac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2} \]
- الوحدة: \(\mathrm{rad\cdot s^{-2}}\).
- إذا كانت \(\alpha\) ثابتة، نقول إن الدوران بتسارع زاوي ثابت.
علاقات مهمة في حالة \(\alpha\) ثابتة
- إذا كانت \(\alpha\) ثابتة: \[ \omega(t) = \omega_{0} + \alpha t \] حيث \(\omega_{0}\) السرعة الزاوية الابتدائية.
- زاوية الدوران: \[ \theta(t) = \theta_{0} + \omega_{0} t + \dfrac{1}{2}\alpha t^2 \]
3) سرعة وتسارع نقطة من الجسم في حركة دوران
سرعة نقطة من الجسم في حركة دوران
إذا كانت نقطة \(M\) من الجسم على بعد \(r\) من محور الدوران الثابت، وكانت السرعة الزاوية للجسم \(\omega\)، فإن شدة سرعة النقطة \(M\) هي:
\[ v = \omega\,r \]
- \(v\): شدة السرعة الخطية للنقطة \(M\).
- \(r\): المسافة بين \(M\) والمحور (نصف قطر المسار الدائري).
- \(\vec{v}\) يكون مماسياً للمسار الدائري.
تسارع نقطة من الجسم في حركة دوران
التسارع الكلي \(\vec{a}\) لنقطة \(M\) يمكن تفكيكه إلى مركبتين:
- التسارع المماسـي: \[ a_{\mathrm{t}} = \alpha\,r \] موجه حسب المماس، مرتبط بتغير شدة السرعة.
- التسارع المركزي (العمودي أو الناظمي): \[ a_{\mathrm{n}} = \omega^2\,r \] موجه نحو مركز المسار الدائري.
في حالة حركة دورانية منتظمة (\(\omega\) ثابت، \(\alpha = 0\)): يكون \(\,a_{\mathrm{t}} = 0\) (لا يوجد تغير في شدة السرعة)، ويبقى فقط التسارع المركزي \(\,a_{\mathrm{n}} = \omega^2 r\).
4) عزم قوة بالنسبة لمحور ثابت
تعريف عزم قوة بالنسبة لمحور
نعتبر جسماً صلباً يدور حول محور ثابت \(\Delta\)، و\(\vec{F}\) قوة مطبقة على نقطة \(M\) من الجسم. عزم هذه القوة بالنسبة للمحور \(\Delta\) يعبّر عن قدرة القوة على تدوير الجسم حول المحور.
شدة عزم القوة:
\[ M_{\Delta}(\vec{F}) = F\,d \]
- \(F\): شدة القوة.
- \(d\): الذراع العمودية للقوة (أقصر مسافة بين المحور وخط عمل القوة).
إشارة العزم
يتم تحديد إشارة العزم حسب اتجاه الدوران الذي تسببه القوة:
- إذا كانت القوة تميل إلى تدوير الجسم في اتجاه موجب (مثلاً عكس عقارب الساعة حسب الاتفاق) ⇒ العزم موجب.
- إذا كانت تميل إلى تدويره في اتجاه معاكس ⇒ العزم سالب.
5) عزم القصور الذاتي لجسم صلب حول محور ثابت
تعريف عزم القصور الذاتي
عزم القصور الذاتي لجسم صلب حول محور ثابت \(\Delta\)، المرموز له بـ \(J_{\Delta}\)، يقيس مقاومة الجسم لتغيير حالته الدورانية.
كلما كان \(J_{\Delta}\) كبيراً، كان من الصعب تسريع أو إيقاف دوران الجسم حول ذلك المحور.
- الوحدة في النظام الدولي: \(\mathrm{kg\cdot m^2}\).
- \(J_{\Delta}\) يعتمد على شكل الجسم، كتلته، وتوزيع الكتلة بالنسبة للمحور.
قيم تقريبية لبعض الأجسام (تعطى في المعطيات في الباك)
| الجسم | المحور | عزم القصور الذاتي |
|---|---|---|
| قرص مصمت كتلته \(M\)، نصف قطره \(R\) | محور عمودي يمر بالمركز | \(J = \dfrac{1}{2} M R^2\) |
| حلقة رفيعة كتلته \(M\)، نصف قطرها \(R\) | محور عمودي يمر بالمركز | \(J = M R^2\) |
| قضيب رفيع كتلته \(M\)، طوله \(L\) | محور يمر بمركزه وعمودي عليه | \(J = \dfrac{1}{12} M L^2\) |
في التمارين، تُعطى غالباً قيم \(J\) مباشرة في المعطيات.
في هذا المستوى لا نحتاج إلى حسابات تكاملية لإيجاد \(J\)، بل نستعمل فقط العلاقات المُعطاة أو القيمة الرقمية لعزم القصور الذاتي.
6) معادلة ديناميكية لحركة الدوران حول محور ثابت
معادلة نيوتن للدوران
لعزم محصلة القوى بالنسبة لمحور ثابت \(\Delta\) وعزم القصور الذاتي \(J_{\Delta}\) لجسم صلب في حركة دوران حول هذا المحور، المعادلة الديناميكية هي:
\[ \sum M_{\Delta}(\vec{F}_i) = J_{\Delta}\,\alpha \]
- \(\sum M_{\Delta}(\vec{F}_i)\): مجموع عزوم القوى المطبقة على الجسم بالنسبة لـ \(\Delta\).
- \(J_{\Delta}\): عزم القصور الذاتي حول \(\Delta\).
- \(\alpha\): التسارع الزاوي للجسم.
هذه المعادلة تشبه كثيراً: \[ \sum \vec{F} = m\vec{a} \] في الحركة الانتقالية، لكن هنا نعمل على عزوم القوى بدل القوى، وعلى التسارع الزاوي بدل التسارع الخطي.
مثال نوعي: قرص يُدَوَّر بعزم ثابت
قرص مصمت عزم قصوره \(J\)، يخضع لعزم ثابت موجب \(M_{\Delta}\) (نفس الاتجاه) على محور ثابت. من: \[ M_{\Delta} = J\,\alpha \] نستنتج: \[ \alpha = \dfrac{M_{\Delta}}{J} \] أي أن التسارع الزاوي ثابت، فتكون السرعة الزاوية تزداد خطيًا مع الزمن: \[ \omega(t) = \omega_{0} + \dfrac{M_{\Delta}}{J} t \]
7) الطاقة الحركية الدورانية والقدرة
الطاقة الحركية الدورانية
في حركة دوران جسم صلب حول محور ثابت \(\Delta\) بسرعة زاوية \(\omega\)، تكون الطاقة الحركية:
\[ E_{\mathrm{c,rot}} = \dfrac{1}{2} J_{\Delta}\,\omega^2 \]
- \(J_{\Delta}\): عزم القصور الذاتي حول المحور.
- \(\omega\): السرعة الزاوية للجسم.
القدرة المرتبطة بعزم قوة
إذا أثّرت قوة بعزم \(M_{\Delta}\) على جسم يدور بسرعة زاوية \(\omega\)، فإن القدرة اللحظية المبذولة هي:
\[ P = M_{\Delta}\,\omega \]
هذه العلاقة تستعمل في وصف الأنظمة الميكانيكية مثل المحركات الكهربائية، الأنظمة الدوارة...
في التمارين، يمكن استعمال مبدأ الحفاظ على الطاقة مع الطاقة الحركية الدورانية، خصوصاً عند تحويل طاقة وضع (ثقالية مثلاً) إلى طاقة حركية دورانية (كما في جهاز البندول الفيزيائي أو الأقراص الدوارة).
8) تمارين تطبيقية (10) مع حلول مفصّلة
تمرين 1 — زاوية الدوران والسرعة الزاوية
جسم صلب (قرص) يدور حول محور ثابت، تُعطى زاوية دورانه بالدالة: \[ \theta(t) = \theta_{0} + \omega_{0} t \] حيث \(\theta\) بوحدة الراديان، \(\theta_{0} = 0\) و \(\omega_{0} = 4\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}\).
1) هل حركة الدوران منتظمة أم متسارعة؟ علّل جوابك.
2) أحسب زاوية الدوران بعد \(t = 3\,\mathrm{s}\).
3) ما هي السرعة الزاوية في كل لحظة؟
1) الدالة: \[ \theta(t) = \theta_{0} + \omega_{0} t \] خطية في الزمن، مشتقتها ثابتة: \[ \omega(t) = \dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \omega_{0} \] إذن السرعة الزاوية ثابتة، وبالتالي الحركة دورانية منتظمة.
2) عند \(t = 3\,\mathrm{s}\): \[ \theta(3) = 0 + 4\times 3 = 12\,\mathrm{rad} \]
3) السرعة الزاوية: \[ \omega(t) = \omega_{0} = 4\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}} \] ثابتة مع الزمن.
تمرين 2 — حركة دورانية بتسارع زاوي ثابت
يدور جسم صلب حول محور ثابت، زاوية الدوران تُعطى بالعلاقة: \[ \theta(t) = \theta_{0} + \omega_{0} t + \dfrac{1}{2}\alpha t^2 \] حيث: \(\theta_{0} = 0\)، \(\omega_{0} = 2\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}\)، \(\alpha = 1\,\mathrm{rad\cdot s^{-2}}\).
1) عبّر عن السرعة الزاوية \(\omega(t)\) بدلالة \(t\).
2) أحسب \(\omega(4)\).
3) ما هي زاوية الدوران بين
\(t_{1} = 0\) و\(t_{2} = 4\,\mathrm{s}\)؟
1) السرعة الزاوية: \[ \omega(t) = \dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \omega_{0} + \alpha t \] بالتعويض: \[ \omega(t) = 2 + 1\times t = 2 + t \]
2) عند \(t = 4\,\mathrm{s}\): \[ \omega(4) = 2 + 4 = 6\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}} \]
3) زاوية الدوران بين 0 و4 ثوان: \[ \theta(4) = 0 + 2\times 4 + \dfrac{1}{2}\times 1\times 4^2 = 8 + 8 = 16\,\mathrm{rad} \]
تمرين 3 — سرعة نقطة من جسم يدور حول محور ثابت
قرص يدور حول محور ثابت بسرعة زاوية \(\omega = 10\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}\). نعتبر نقطة \(M\) من القرص على بعد \(r = 0{,}20\,\mathrm{m}\) من المحور.
1) أحسب شدة السرعة الخطية للنقطة \(M\).
2) في حالة \(\omega\) ثابتة، ما نوع الحركة التي تقوم بها النقطة \(M\)؟
1) من: \[ v = \omega r \Rightarrow v = 10\times 0{,}20 = 2{,}0\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} \]
2) بما أن السرعة الزاوية ثابتة، فإن النقطة \(M\) تقوم بـ حركة دائرية منتظمة (شدة السرعة ثابتة ولكن اتجاهها يتغير).
تمرين 4 — التسارع المركزي والمماسـي لنقطة
جسم صلب يدور حول محور ثابت بتسارع زاوي ثابت \(\alpha = 2\,\mathrm{rad\cdot s^{-2}}\). عند لحظة معينة تكون السرعة الزاوية \(\omega = 6\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}\). نعتبر نقطة \(M\) على بعد \(r = 0{,}30\,\mathrm{m}\) من المحور.
1) أحسب شدة التسارع المماسـي \(a_{\mathrm{t}}\).
2) أحسب شدة التسارع المركزي \(a_{\mathrm{n}}\).
3) ناقش أي التسارعين أكبر في هذه الحالة.
1) التسارع المماسـي: \[ a_{\mathrm{t}} = \alpha r = 2\times 0{,}30 = 0{,}60\,\mathrm{m\cdot s^{-2}} \]
2) التسارع المركزي: \[ a_{\mathrm{n}} = \omega^2 r = 6^2\times 0{,}30 = 36\times 0{,}30 = 10{,}8\,\mathrm{m\cdot s^{-2}} \]
3) نلاحظ أن \( a_{\mathrm{n}} \gg a_{\mathrm{t}} \) (أكبر بكثير)، وهذا شائع حين تكون السرعة الزاوية كبيرة نسبياً.
تمرين 5 — تطبيق معادلة الدوران على قرص
قرص مصمت عزم قصوره حول محور مركزي عمودي: \[ J = 0{,}20\,\mathrm{kg\cdot m^2} \] يخضع لعزم ثابت \[ M_{\Delta} = 0{,}50\,\mathrm{N\cdot m} \] في نفس اتجاه الدوران.
1) أحسب التسارع الزاوي \(\alpha\).
2) إذا كان القرص منطلقاً من السكون (\(\omega_{0}=0\)), عبّر عن السرعة الزاوية \(\omega(t)\).
3) أحسب \(\omega\) بعد \(t = 4\,\mathrm{s}\).
1) من معادلة الدوران: \[ M_{\Delta} = J\alpha \Rightarrow \alpha = \dfrac{M_{\Delta}}{J} = \dfrac{0{,}50}{0{,}20} = 2{,}5\,\mathrm{rad\cdot s^{-2}} \]
2) بما أن \(\alpha\) ثابتة والجسم من السكون: \[ \omega(t) = \omega_{0} + \alpha t = 0 + 2{,}5\,t = 2{,}5t \]
3) عند \(t = 4\,\mathrm{s}\): \[ \omega(4) = 2{,}5\times 4 = 10\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}} \]
تمرين 6 — طاقة حركية دورانية لقرص
قرص مصمت عزم قصوره \[ J = 0{,}20\,\mathrm{kg\cdot m^2} \] يدور بسرعة زاوية \[ \omega = 8\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}} \].
1) أحسب طاقته الحركية الدورانية \(E_{\mathrm{c,rot}}\).
2) إذا تضاعفت السرعة الزاوية، كيف تتغير الطاقة الحركية؟
1) من: \[ E_{\mathrm{c,rot}} = \dfrac{1}{2} J \omega^2 = \dfrac{1}{2}\times 0{,}20\times 8^2 \] نحسب: \[ 8^2 = 64 \Rightarrow E_{\mathrm{c,rot}} = 0{,}10\times 64 = 6{,}4\,\mathrm{J} \]
2) إذا تضاعفت \(\omega\) (أي أصبحت \(2\omega\)): \[ E' = \dfrac{1}{2} J (2\omega)^2 = \dfrac{1}{2} J 4\omega^2 = 4\,E_{\mathrm{c,rot}} \] إذن الطاقة الحركية تتضاعف أربع مرات.
تمرين 7 — القدرة وعزم قوة
محرك يدير عموداً بسرعة زاوية ثابتة \(\omega = 20\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}\). القدرة التي يقدّمها المحرك هي \[ P = 600\,\mathrm{W} \].
1) استعمل العلاقة بين القدرة والعزم لإيجاد عزم القوة
\(M_{\Delta}\) الذي يمارسه المحرك على العمود.
2) علّق على معنى هذه النتيجة.
1) لدينا: \[ P = M_{\Delta}\,\omega \Rightarrow M_{\Delta} = \dfrac{P}{\omega} = \dfrac{600}{20} = 30\,\mathrm{N\cdot m} \]
2) يعني أن المحرك يمارس عزمًا قدره \(30\,\mathrm{N\cdot m}\) للحفاظ على دوران العمود بسرعة زاوية ثابتة \(20\,\mathrm{rad\cdot s^{-1}}\) (معاوضاً عن الاحتكاكات والخسائر).
تمرين 8 — عزم القصور الذاتي وتأثيره على التسارع الزاوي
لدينا جسمان صلبان \(A\) و\(B\) يدوران حول نفس المحور، لهما نفس العزم المطبق \[ M_{\Delta} = 5{,}0\,\mathrm{N\cdot m} \] لكن: \[ J_{A} = 0{,}10\,\mathrm{kg\cdot m^2},\quad J_{B} = 0{,}40\,\mathrm{kg\cdot m^2} \].
1) أحسب التسارع الزاوي \(\alpha_{A}\) للجسم \(A\).
2) أحسب التسارع الزاوي \(\alpha_{B}\) للجسم \(B\).
3) أيهما يتسارع بسرعة أكبر؟ ماذا تستنتج بخصوص تأثير عزم القصور الذاتي؟
1) للجسم \(A\): \[ \alpha_{A} = \dfrac{M_{\Delta}}{J_{A}} = \dfrac{5{,}0}{0{,}10} = 50\,\mathrm{rad\cdot s^{-2}} \]
2) للجسم \(B\): \[ \alpha_{B} = \dfrac{M_{\Delta}}{J_{B}} = \dfrac{5{,}0}{0{,}40} = 12{,}5\,\mathrm{rad\cdot s^{-2}} \]
3) نلاحظ أن \(\alpha_{A} > \alpha_{B}\). الجسم ذو عزم القصور الأصغر (\(J_{A}\)) يتسارع زاويًا بسرعة أكبر لنفس العزم. إذن: كلما ازداد عزم القصور الذاتي، قلت الاستجابة (التسارع الزاوي) لنفس العزم المطبق.
تمرين 9 — نظام قرص وحبل (سؤال نوعي + عددي بسيط)
قرص مصمت نصف قطره \(R = 0{,}25\,\mathrm{m}\)، عزم قصوره حول محور مركزي \(J = 0{,}30\,\mathrm{kg\cdot m^2}\). يلتف حوله حبل خفيف متصل بجسم صغير كتلته \(m = 1{,}0\,\mathrm{kg}\) يتحرك عمودياً. نهمل الاحتكاك.
1) إذا كان العزم الناتج عن ثقل الجسم (بالنسبة لمحور القرص) هو
\[
M_{\Delta} = T\,R
\]
حيث \(T\) شد الحبل،
اشرح نوعياً كيف يمكن تطبيق معادلة الدوران على القرص.
2) في نموذج مبسّط، نفترض أن العزم الفعّال المكافئ هو
\[
M_{\Delta} \approx m g R
\]
(حيث \(g = 10\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\)),
أحسب تقريبياً التسارع الزاوي للقرص.
1) على القرص يؤثر عزم ناتج عن شد الحبل، هذا العزم يميل إلى تدوير القرص في اتجاه سقوط الجسم. بتطبيق معادلة الدوران: \[ \sum M_{\Delta} = J\alpha \] يكون عزم شد الحبل (مع الإشارة المناسبة) هو المسؤول عن التسارع الزاوي \(\alpha\).
2) في النموذج المبسّط: \[ M_{\Delta} \approx m g R = 1{,}0\times 10\times 0{,}25 = 2{,}5\,\mathrm{N\cdot m} \] ومن: \[ M_{\Delta} = J\alpha \Rightarrow \alpha = \dfrac{M_{\Delta}}{J} = \dfrac{2{,}5}{0{,}30} \approx 8{,}3\,\mathrm{rad\cdot s^{-2}} \]
تمرين 10 — سؤال مقالي: تلخيص حركة دوران جسم صلب حول محور ثابت
اكتب فقرة منظمة (6–8 أسطر) تشرح فيها كيف نصف حركة دوران جسم صلب حول محور ثابت من الناحية الحركية (Kinematics) والديناميكية (Dynamics)، مع ذكر المفاهيم الأساسية المستعملة في هذا الدرس.
حركة دوران جسم صلب حول محور ثابت تُوصف حركيًا بواسطة زاوية الدوران \(\theta(t)\)، السرعة الزاوية \(\omega(t) = \dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\) والتسارع الزاوي \(\alpha(t) = \dfrac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}\). كل نقطة من الجسم تصف مداراً دائرياً نصف قطره \(r\)، وشدة سرعتها \(v = \omega r\)، والتسارع الكلي لها يتكوّن من مركبة ممسية \(a_{\mathrm{t}} = \alpha r\) ومركزية \(a_{\mathrm{n}} = \omega^2 r\).
من الناحية الديناميكية، تُستبدل القوى بعزومها بالنسبة للمحور، ويظهر مفهوم عزم القصور الذاتي \(J\) الذي يقيس مقاومة الجسم لتغيير حالته الدورانية. قانون نيوتن للدوران: \[ \sum M_{\Delta} = J\alpha \] يشبه قانون نيوتن للحركة الانتقالية، ويُستعمل لحساب التسارع الزاوي أو العزم المطبق. كذلك، الطاقة الحركية الدورانية تُعطى بالعلاقة \( E_{\mathrm{c,rot}} = \dfrac{1}{2}J\omega^2 \), والقدرة المرتبطة بعزم قوة هي \( P = M_{\Delta}\omega \). هذه المفاهيم مجتمعة تسمح بفهم سلوك الأنظمة الدوارة في التطبيقات الميكانيكية المختلفة.
9) خلاصة مركّزة للباك — حركة دوران جسم صلب حول محور ثابت
- في حركة الدوران حول محور ثابت، كل نقطة من الجسم تصف مساراً دائرياً حول المحور، وتُوصف الحركة بزاوية الدوران \(\theta\) وسرعة زاوية \(\omega\) وتسارع زاوي \(\alpha\).
- سرعة نقطة على بعد \(r\) من المحور: \[ v = \omega r \] والتسارع له مركبتان: \[ a_{\mathrm{t}} = \alpha r,\quad a_{\mathrm{n}} = \omega^2 r \]
- عزم قوة بالنسبة لمحور: \[ M_{\Delta}(\vec{F}) = F d \] يقيس قدرة القوة على تدوير الجسم حول المحور، مع إشارة تحدَّد باتجاه الدوران.
- عزم القصور الذاتي \(J_{\Delta}\) يميز مقاومة الجسم لتغيير حالته الدورانية، ويعتمد على الكتلة وتوزيعها وشكل الجسم.
- معادلة الدوران: \[ \sum M_{\Delta} = J_{\Delta}\alpha \] هي النظير الدوراني لـ \( \sum \vec{F} = m\vec{a} \) في الحركة الانتقالية.
- الطاقة الحركية الدورانية: \[ E_{\mathrm{c,rot}} = \dfrac{1}{2} J_{\Delta}\omega^2 \] والقدرة: \[ P = M_{\Delta}\omega \], وتستعملان في دراسة وتحليل الأنظمة الميكانيكية الدوارة (محركات، أقراص، عجلات...).
درس: حركة دوران جسم صلب حول محور ثابت — 2 باك فيزياء/كيمياء — © neobac.ma