حيود الضوء بواسطة شبكة
1) تمهيد: حيود الضوء و دور الشبكة في التحليل الطيفي
يَعتبر برنامج الفيزياء (شعبة العلوم الرياضية) الضوء ذا طبيعة موجية. عندما يمر شعاع ضوئي عبر فتحات ضيقة عديدة (شبكة حيود) لا ينتشر في خط مستقيم فقط، بل يتوزّع في مجموعة من الأهداب المضيئة و المعتمة على شاشة بعيدة: هذه الظاهرة تسمّى حيود الضوء بواسطة شبكة.
الحيود هو انحراف انتشار موجة (من بينها الضوء) عندما تعبر فتحة ضيقة أو تلتف حول عائق، فينتج عن ذلك انتشار زاويّ أوسع من انتشار الشعاع الهندسي البسيط.
شبكة الحيود أداة أساسية في التحليل الطيفي: تسمح بمعرفة أطوال الموجة المكوِّنة لضوء معين (ضوء المصابيح، الشمس، الليزر…) من خلال دراسة مواقع الأهداب المضيئة.
2) شبكة الحيود: البنية و الكميات المميِّزة
2-1) تعريف شبكة الحيود
شبكة الحيود هي لوح (زجاجي أو بلاستيكي) يحتوي على عدد كبير من الشقوق المتوازية الدقيقة، متباعدة بمسافة ثابتة تُسمّى دَوْرة الشبكة.
- نرمز إلى دَوْرة الشبكة بـ \(d\) (بـالمتر): هي المسافة بين مركزَيْ شقَّيْن متتالِيَيْن.
- يُكتب على الشبكة غالبًا عدد الخطوط في المليمتر مثلاً: \(N = 600~\text{خط / mm}\).
إذا كانت الشبكة تتوفر على \(N\) خط في المليمتر، فإن:
\[ d = \frac{1}{N} \text{ (بوحدة mm)} \quad \Rightarrow \quad d = \frac{10^{-3}}{N} \ \text{(بالمتر)}. \]
2-2) الوضع التجريبي القياسي في المختبر
الوضع النموذجي في التجربة المدرسية:
- منبع ضوئي (ليزر أو مصباح مع حِجاب و ثقب صغير) يُعطي شعاعًا شبه أحادي اللون.
- الشعاع يصطدم عموديًا تقريبًا على شبكة الحيود.
- على بعد \(D\) من الشبكة نضع شاشة بيضاء أو مجسِّم استقبال.
3) شرط الأهداب المضيئة: علاقة الحيود بواسطة شبكة
3-1) تداخل الأشعة الخارجة من الشقوق
كل شق من شقوق الشبكة يُعتبر منبعًا ثانويًا لموجات كروية متزامنة. على نقطة معيّنة من الشاشة، تصل الموجات الصادرة عن الشقوق المختلفة مع فروق في المسار. إذا كان الفرق في المسار بين شعاعين متتالين مساويًا لعدد صحيح من الأطوال الموجية، نحصل على تداخل بنّاء (هدب مضيء).
شرط الأهداب المضيئة (رتبة \(k\))
\[ d \, \sin\theta_k = k \lambda \quad \text{حيث } k \in \mathbb{Z}. \]
- \(d\): دَوْرة الشبكة (م).
- \(\lambda\): طول موجة الشعاع المستعمل (م).
- \(\theta_k\): زاوية اتجاه الهدب ذي الرتبة \(k\) بالنسبة إلى العمود على الشبكة.
- \(k = 0\): الهدب المركزي المضيء في اتجاه العمود.
3-2) حدود الرتب الممكنة
بما أن \(|\sin\theta_k| \leq 1\)، فإن عدد الرتب الممكنة محدود بالعلاقة:
\[ |k| \leq \frac{d}{\lambda}. \]
إذن الرتب الكبرى تظهر فقط إذا كانت \(d\) كبيرة بما يكفي أو \(\lambda\) صغيرة.
3-3) تقريب الزوايا الصغيرة على شاشة بعيدة
عندما يكون بعد الشاشة \(D\) كبيرًا بالنسبة إلى إزاحات الأهداب \(x_k\)، نستعمل تقريب الزوايا الصغيرة:
\[ \tan\theta_k \approx \sin\theta_k \approx \theta_k \approx \frac{x_k}{D}. \]
بالتعويض في علاقة الحيود نحصل على:
\[ d \, \frac{x_k}{D} \approx k \lambda \quad \Rightarrow \quad \lambda \approx \frac{d}{k} \, \frac{x_k}{D}. \]
في التطبيق العددي، نحسب التناسب \(\dfrac{x_k}{k}\) باستعمال عدة رتب (مثلاً \(k=1,2,3\)) للحصول على قيمة أكثر دقة لـ \(\lambda\) (استغلال ميل مستقيم في تمثيل \(x_k\) بدلالة \(k\)).
4) تعيين طول موجة شعاع ضوئي باستعمال شبكة حيود
4-1) بروتوكول تجريبي مبسّط
- نختار شبكة حيود ذات دَوْرة معلومة \(d\) (أو عدد خطوط في المليمتر \(N\)).
- نُضيء الشبكة بشعاع ليزر أحادي اللون تقريبًا.
- نضع شاشة عمودية على الشعاع المركزي على بعد \(D\) من الشبكة (مثلاً \(D \approx 1\ \text{m}\)).
- نحدِّد موضع الهدب المركزي (\(k=0\)) على الشاشة، ثم نقيس إزاحة بعض الأهداب المضيئة من الرتبة \(k=1,2,\dots\): نسميها \(x_k\).
في تجربة مدرسية، قد نستعمل مثلاً \(N = 600~\text{خط/mm}\) و \(D = 1.50~\text{m}\)، ثم نقيس \(x_1,x_2,x_3\) على الشاشة بواسطة مسطرة.
4-2) استغلال بيان \(x_k\) بدلالة \(k\)
من العلاقة:
\[ x_k \approx \frac{k \lambda D}{d}, \]
نستنتج أن التمثيل المبياني \(x_k = f(k)\) هو تقريبًا مستقيمًا يمر من مبدأ المعلم، و ميل هذا المستقيم هو:
\[ a = \frac{\lambda D}{d} \quad \Rightarrow \quad \lambda = a \, \frac{d}{D}. \]
| الرتبة \(k\) | \(x_k\) (cm) | \(x_k / k\) (cm) |
|---|---|---|
| 1 | 3.2 | 3.2 |
| 2 | 6.4 | 3.2 |
| 3 | 9.6 | 3.2 |
نلاحظ ثبات القيمة \(x_k/k\)، ما يؤكِّد صحة النموذج و يسمح بحساب \(\lambda\) بسهولة.
5) تأثير معطيات الشبكة و الضوء على النموذج التجريبي
5-1) تأثير دَوْرة الشبكة \(d\) أو عدد الخطوط \(N\)
- كلما كانت دَوْرة الشبكة \(d\) أصغر (أي \(N\) أكبر)، كانت الأهداب المضيئة أبعد عن بعضها (زاويا أكبر) مما يسهل الفصل بين الأطوال الموجية القريبة.
- في المقابل، الشبكات ذات عدد خطوط قليل تعطي أهدابًا أقل انفصالاً (أقرب إلى بعضها).
5-2) تأثير طول الموجة \(\lambda\)
- الأطوال الموجية الأكبر (مثلاً الضوء الأحمر) تعطي أهدابًا أبعد عن المركز.
- الأطوال الموجية الأصغر (مثلاً البنفسجي) تعطي أهدابًا أقرب إلى المركز.
6) تطبيقات شبكة الحيود: التحليل الطيفي و تعيين الثوابت
- التحليل الطيفي: تفكيك الضوء الأبيض أو ضوء مصباح بخار (الصوديوم، الهيدروجين…) إلى خطوط ملونة مميِّزة لكل طول موجة.
- تعيين أطوال الموجة: باستعمال شبكة ذات دَوْرة معروفة و منبع أحادي اللون، نحسب \(\lambda\) من مواضع الأهداب.
- دراسة بنية المادة: أطياف الذرات و الجزيئات تتضمّن معلومات عن مستويات الطاقة، تُستغل في الفيزياء الحديثة و الفلك.
غاية برنامج الباكالوريا ليست دراسة التفاصيل الكمية المعقدة، بل فهم علاقة حيود الضوء بواسطة شبكة بالتداخل و استغلال علاقة الحيود في القياس.
7) منهجية تحليل تمرين حول حيود الضوء بواسطة شبكة
- قراءة المعطيات: استخراج \(N\) أو \(d\)، بعد الشاشة \(D\)، الرتب المستعملة، قيم \(x_k\)…
- الحساب الأولي: حساب \(d\) إذا كان \(N\) معطًى، أو العكس.
- اختيار العلاقة المناسبة: إما \(d \sin\theta_k = k\lambda\) أو تقريب الزوايا الصغيرة \(x_k \approx \dfrac{k\lambda D}{d}\).
- الاستغلال المبياني: إذا طُلب تمثيل \(x_k\) بدلالة \(k\) أو \(\sin\theta_k\) بدلالة \(k\)، نبحث عن مستقيم و نرتبط بميله.
- المناقشة الفيزيائية: تفسير تأثير تغيير \(\lambda\) أو \(d\) أو \(D\) على موضع الأهداب.
في التحرير، احرص على ذكر اسم العلاقة (علاقة الحيود بواسطة شبكة)، و تحديد الوحدات بدقة، و كتابة النتيجة النهائية مع تقريب مناسب.
8) تمارين تطبيقية (10) مع حلول مفصّلة
تمرين 1 — حساب دَوْرة شبكة من عدد الخطوط
كُتب على شبكة حيود: \(N = 500~\text{خط/mm}\). احسب دَوْرة الشبكة \(d\) بالمتر.
لدينا: \[ d = \frac{1}{N} = \frac{1}{500}~\text{mm} = 2\times 10^{-3}~\text{mm} \] و بما أن \(1~\text{mm} = 10^{-3}~\text{m}\)، فإن: \[ d = 2\times 10^{-3} \times 10^{-3} = 2\times 10^{-6}~\text{m}. \]
تمرين 2 — موضع الهدب من الرتبة الأولى
نستعمل شبكة ذات دَوْرة \(d = 1.7\times 10^{-6}~\text{m}\) و شعاع ليزر بطول موجة \(\lambda = 632~\text{nm}\) و شاشة على بعد \(D = 1.20~\text{m}\). احسب تقريبًا إزاحة الهدب من الرتبة الأولى \(x_1\) عن المركز.
نكتب: \[ x_1 \approx \frac{\lambda D}{d}. \] نحول أولًا \(\lambda\) إلى المتر: \(\lambda = 632~\text{nm} = 632\times 10^{-9}~\text{m}\).
إذن: \[ x_1 \approx \frac{632\times 10^{-9} \times 1.20}{1.7\times 10^{-6}} = \frac{758.4\times 10^{-9}}{1.7\times 10^{-6}} \approx 0.446~\text{m}. \]
أي \(x_1 \approx 44.6~\text{cm}\) تقريبًا.
تمرين 3 — عدد الرتب الممكنة
شبكة ذات دَوْرة \(d = 2.0\times 10^{-6}~\text{m}\) مضاءة بضوء طوله الموجي \(\lambda = 500~\text{nm}\). ما أكبر رتبة ممكنة للأهداب المضيئة؟
من الشرط: \[ |k| \leq \frac{d}{\lambda}. \] نحسب: \[ \frac{d}{\lambda} = \frac{2.0\times 10^{-6}}{500\times 10^{-9}} = \frac{2.0}{0.5} = 4. \]
إذن الرتب الممكنة هي \(k = 0,\pm1,\pm2,\pm3,\pm4\)، أي أكبر رتبة ممكنة هي \(k_{\max}=4\).
تمرين 4 — تعيين λ من جدول \(x_k\)
باستعمال شبكة ذات \(N = 600~\text{خط/mm}\) و شاشة على بعد \(D=1.50~\text{m}\)، حصلنا على الجدول التالي:
| k | \(x_k\) (cm) |
|---|---|
| 1 | 2.8 |
| 2 | 5.6 |
| 3 | 8.4 |
احسب طول موجة الضوء المستعمل.
أولًا: نحسب دَوْرة الشبكة: \[ d = \frac{10^{-3}}{600} \approx 1.67\times 10^{-6}~\text{m}. \]
من الجدول: \(x_k/k = 2.8\ \text{cm}\) ثابتة تقريبًا. نأخذ \(x_1 = 2.8~\text{cm} = 2.8\times 10^{-2}~\text{m}\).
من التقريب: \[ x_1 \approx \frac{\lambda D}{d} \Rightarrow \lambda \approx \frac{x_1 d}{D}. \]
إذن: \[ \lambda \approx \frac{2.8\times 10^{-2} \times 1.67\times 10^{-6}}{1.50} \approx 3.12\times 10^{-7}~\text{m} = 312~\text{nm}. \]
النتيجة تقريبية (طيف فوق بنفسجي في هذا المثال العددي).
تمرين 5 — مقارنة شبكتين
شبكة (1): \(N_1 = 300~\text{خط/mm}\)، شبكة (2): \(N_2 = 900~\text{خط/mm}\). نضيء الشبكتين بنفس الشعاع و بنفس البعد \(D\). أي الشبكتين تعطي أهدابًا أكثر انفصالًا على الشاشة؟ علِّل.
لدينا \(d = \dfrac{10^{-3}}{N}\). إذن: \[ d_1 = \frac{10^{-3}}{300} \approx 3.33\times 10^{-6}~\text{m},\quad d_2 = \frac{10^{-3}}{900} \approx 1.11\times 10^{-6}~\text{m}. \]
من العلاقة \(x_k \approx \dfrac{k\lambda D}{d}\)، نرى أن x_k يتناسب عكسيًا مع \(d\). وبما أن \(d_2 < d_1\)، فإن الشبكة (2) ذات \(N_2\) الأكبر تعطي أهدابًا أكثر ابتعادًا عن المركز, أي أكثر انفصالًا.
تمرين 6 — استعمال العلاقة العامة \(d\sin\theta = k\lambda\)
في تجربة حيود، قيست زاوية الهدب من الرتبة الثانية \(k=2\) فكانت \(\theta_2 = 18^\circ\)، باستعمال شبكة ذات دَوْرة \(d = 1.9\times 10^{-6}~\text{m}\). احسب \(\lambda\) دون استعمال تقريب الزوايا الصغيرة.
من العلاقة: \[ d \sin\theta_2 = 2\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{d \sin\theta_2}{2}. \]
نحسب \(\sin 18^\circ \approx 0.309\). إذن: \[ \lambda \approx \frac{1.9\times 10^{-6}\times 0.309}{2} \approx 2.94\times 10^{-7}~\text{m} = 294~\text{nm}. \]
تمرين 7 — اختبار صلاحية تقريب الزوايا الصغيرة
في تمرين سابق، وجدنا أن \(\theta_1 \approx 3^\circ\). تحقّق من أن تقريب \(\tan\theta_1 \approx \sin\theta_1 \approx \theta_1\) معقول عدديا (بالتقدير في الراديان).
أوّلًا نحول إلى الراديان: \[ \theta_1 = 3^\circ = 3\times \frac{\pi}{180} \approx 0.0524~\text{rad}. \]
نحسب: \(\sin\theta_1 \approx 0.0524\) (لأن الزاوية صغيرة)، و \(\tan\theta_1 \approx 0.0524\).
الفرق بين القيم الثلاث صغير جدًا، إذن التوفيق \(\theta_1 \approx \sin\theta_1 \approx \tan\theta_1\) معقول في هذه الحالة.
تمرين 8 — تفسير تغيّر موضع الأهداب عند تغيير λ
في نفس التركيب التجريبي، قمنا بتغيير المنبع الضوئي من ليزر أحمر إلى ليزر أخضر بطول موجة أصغر. لوحظ أن الأهداب اقتربت من المركز. فسِّر ذلك بالاعتماد على علاقة الحيود.
من العلاقة: \[ x_k \approx \frac{k\lambda D}{d}, \] نرى أن \(x_k\) يتناسب طرديًا مع \(\lambda\).
عندما نستبدل منبعًا ذا طول موجة أصغر (أخضر) بمنبع ذي طول موجة أكبر (أحمر)، فإن قيمة \(\lambda\) تنخفض، وبالتالي تنخفض \(x_k\) أيضًا: الأهداب تقترب من المركز كما لوحظ تجريبيًا.
تمرين 9 — استغلال بيان \(\sin\theta_k\) بدلالة \(k\)
في تجربة ما، مثّلنا \(\sin\theta_k\) بدلالة رتبة الهدب \(k\) فحصلنا على مستقيم يمر من مبدأ المعلم و ميله \(a = 1.2\times 10^{-3}\). نعلم أن دَوْرة الشبكة هي \(d = 2.0\times 10^{-6}~\text{m}\). احسب \(\lambda\).
من: \[ d \sin\theta_k = k\lambda \Rightarrow \sin\theta_k = \frac{\lambda}{d}k. \] إذن تمثيل \(\sin\theta_k\) بدلالة \(k\) مستقيم ميله \(\displaystyle a = \frac{\lambda}{d}\).
بالتالي: \[ \lambda = a d = 1.2\times 10^{-3} \times 2.0\times 10^{-6} = 2.4\times 10^{-9}~\text{m} = 2.4~\text{nm}. \]
(القيمة عددية فقط لتوضيح المنهج، و لا تمثّل شعاعًا ضوئيًا مرئيًا).
تمرين 10 — سؤال شامل حول حدود النموذج
أذكر شرطين أساسيين لاستعمال نموذج الحيود بواسطة شبكة كما قُدِّم في هذا الدرس، و بيّن ماذا يحدث إذا لم يتحقّق أحدهما.
- وجود منبع شبه أحادي اللون: إذا كان الضوء أبيضًا تمامًا دون اختيار طول موجة واحد، نحصل على مجموعة من الأهداب الملونة (طيفية) يصعب استغلالها بحساب واحد بسيط لـ \(\lambda\).
- سقوط الشعاع عموديًا تقريبًا على الشبكة: إذا كان السقوط مائلاً بشدة، تتغيّر العلاقة البسيطة و يجب إدخال زاوية السقوط في العلاقة العامة وهو خارج عن مستوى الباكالوريا.
هناك شروط أخرى مثل أخذ تقريب الزوايا الصغيرة فقط عندما تكون الزاوية فعلاً صغيرة، و إلا وجب استعمال العلاقة العامة \(d\sin\theta_k = k\lambda\).
9) خلاصة مركّزة لحيود الضوء بواسطة شبكة
- شبكة الحيود: عدد كبير من الشقوق المتوازية، دَوْرة \(d\)، عدد خطوط \(N\) في المليمتر.
- شرط الأهداب المضيئة: \(d\sin\theta_k = k\lambda\)، مع \(k\) عدد صحيح.
- تقريب منهجي على شاشة بعيدة: \(x_k \approx \dfrac{k\lambda D}{d}\).
- استعمال الشبكة لتعيين \(\lambda\) أو لمقارنة أطوال الموجة (تحليل طيفي).
- تأثير \(d\) و \(\lambda\): كلما صغر \(d\) أو كبر \(\lambda\)، ابتعدت الأهداب عن المركز.
درس: حيود الضوء بواسطة شبكة – شعبة العلوم الرياضية – neobac.ma