RL ثنائي القطب

1) تمهيد: ثنائي القطب \(RL\) في الدوائر الكهربائية

يظهر ثنائي القطب \(RL\) (مقاومة على التوالي مع وشيعة) في كثير من التطبيقات: دوائر التصفية، دوائر الإقلاع للمحرّكات، دوائر الحماية، إلخ. مثل ثنائي القطب \(RC\)، يشكل \(RL\) نظاماً زمنياً من الدرجة الأولى يخضع لمعادلة تفاضلية بسيطة، لكن المتغيّر هذه المرة هو شدة التيار بدل التوتر على المكثّف.

هدف الدرس في الباك: فهم سلوك التيار في دارة \(RL\) عند غلق وفتح القاطع، واستغلال المنحنيات لتحديد الثابت الزمني \(\tau = \dfrac{L}{R}\)، ثمّ حساب شدة التيار والتوتر على الوشيعة في الزمن.

2) تذكير بالمكوّنين: المقاومة والوشيعة

المقاومة الكهربائية \(R\)

  • عنصر يحقق قانون أوم: \[ u_R(t) = R\,i(t) \]
  • وحيدته في النظام الدولي الأوم \(\Omega\).

الوشيعة (الملف) ذات الحث الذاتي \(L\)

  • عنصر يخزّن طاقة مغناطيسية عند مرور تيار فيه.
  • يتميز بـالحث الذاتي \(L\) (وحيدته الهنري \(\mathrm{H}\)).
  • العلاقة بين التوتر على وشيعة مثالية وشدة التيار: \[ u_L(t) = L\,\dfrac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d}t} \]
  • في الواقع، للوشيعة مقاومة أومية صغيرة؛ في الدرس غالباً نفصل بينهما أو نهملها حسب المعطيات.
مقاومة R وشيعة L
رموز المقاومة \(R\) والوشيعة \(L\) في المخططات الكهربائية.

3) ثنائي القطب \(RL\) ومعادلته التفاضلية

تعريف

ثنائي القطب \(RL\) هو مجموعة مكوّنة من مقاومة \(R\) ووشيعة \(L\) على التوالي. ندرسه غالباً في دارة شدة تيارها \(i(t)\) عند غلق أو فتح قاطع مع مولّد توتر مستمر \(E\).

مولّد E R L i(t)
دارة \(RL\) على التوالي تحت توتر ثابت \(E\).

معادلة كيرشوف على الدارة

عند غلق القاطع (حالة الشحن المغناطيسي)، يطبَّق قانون كيرشوف للتوترات: \[ E = u_R(t) + u_L(t) = R\,i(t) + L\,\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} \] أي المعادلة التفاضلية: \[ L\,\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + R\,i(t) = E \] وهي من الدرجة الأولى بالنسبة للتابع \(i(t)\).

4) تطور شدة التيار عند غلق القاطع (نموّ أسّي)

شرط البدء

نفترض أنه قبل غلق القاطع لا يمر أي تيار في الدارة: \(i(0)=0\). بحل المعادلة التفاضلية السابقة نحصل على: \[ i(t) = I_{\max}\left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\right) \] حيث: \[ I_{\max} = \dfrac{E}{R},\qquad \tau = \dfrac{L}{R} \]

الثابت الزمني لثنائي القطب \(RL\)

يُعرَّف: \[ \tau = \dfrac{L}{R} \] وحيدته الثانية \(\mathrm{s}\). يمثل الزمن الذي يصل فيه التيار إلى حوالي \(63\%\) من قيمته النهائية.

الزمن t \(i(t)\) \(I_{\max}\) τ 0,63 \(I_{\max}\)
منحنى نمو التيار في دارة \(RL\): بعد زمن \(\tau\) يصل إلى \(0{,}63 I_{\max}\).
\(t\) \(i(t)/I_{\max}\)
\(0\)\(0\)
\(\tau\)\(1 - \mathrm{e}^{-1} \approx 0{,}63\)
\(2\tau\)\(1 - \mathrm{e}^{-2} \approx 0{,}86\)
\(3\tau\)\(1 - \mathrm{e}^{-3} \approx 0{,}95\)
\(5\tau\)\(\approx 0{,}99\)

5) تطور شدة التيار عند فتح القاطع (تزايد تناقصي)

التفريغ المغناطيسي للوشيعة

إذا كان التيار في الدارة يساوي \(I_0\) في اللحظة التي نفتح فيها القاطع، فإن الوشيعة تميل إلى الحفاظ على التيار، فينشأ توتر يحاول إبقاء \(i(t)\) مستمراً. تطوّر شدة التيار يعطى بـ: \[ i(t) = I_0\,\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}},\qquad \tau = \dfrac{L}{R} \] أي تناقص أسّي بنفس الثابت الزمني.

الزمن t \(i(t)\) \(I_0\) τ 0,37 \(I_0\)
عند \(t=\tau\) ينخفض التيار إلى حوالي \(0{,}37 I_0\) في دارة التفريغ.

6) التوترات على \(R\) و \(L\) أثناء الظواهر العابرة

  • في لحظة غلق القاطع:
    • \(i(0)=0\) ⇒ \(u_R(0)=0\).
    • من كيرشوف: \(E = u_R(0) + u_L(0)\) ⇒ \(u_L(0) = E\).
  • بعد زمن طويل (نظام مستقر، \(t \gg \tau\)):
    • \(\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} \approx 0\) ⇒ \(u_L \approx 0\).
    • يصبح التيار ثابتاً \(I_{\max}=E/R\) والتوتر كله على المقاومة: \(u_R = E\).
  • في لحظة فتح القاطع (تفريغ)، قد تظهر توترات كبيرة على الوشيعة لأنّها تحاول الحفاظ على التيار ⇒ ضرورة استعمال ديود الحماية في الدوائر الإلكترونية.

7) الطاقة المغناطيسية المخزَّنة في الوشيعة

تعبير الطاقة

عندما يمر تيار \(i\) في وشيعة ذات حث \(L\)، تخزّن هذه الأخيرة طاقة مغناطيسية: \[ E_L = \dfrac{1}{2} L i^2 \]

أثناء نموّ التيار (غلق القاطع)، يقدم المولّد طاقة جزؤها يُخزن في المجال المغناطيسي للوشيعة، والباقي يتحول إلى حرارة في المقاومة. عند فتح القاطع، تتحول الطاقة المخزنة إلى حرارة في المقاومة أو إلى عمل في عنصر آخر (مثلاً محرك أو مصباح).

8) بعض تطبيقات ثنائي القطب \(RL\)

  • دوائر التصفية في التغذية المستمرة (مرشّحات تمرير منخفض للتيار).
  • دوائر الإقلاع للمحرّكات حيث يُستغل التأخير في نمو التيار.
  • الملفات والريلايات: الزمن اللازم لإغلاق/فتح الريلاي مرتبط بالثابت الزمني \(L/R\).

9) تمارين تطبيقية (10) مع حلول مفصّلة

تمرين 1 — حساب الثابت الزمني

ثنائي القطب \(RL\) مكوَّن من مقاومة \(R = 50\,\Omega\) ووشيعة حثها \(L = 0{,}20\,\mathrm{H}\). احسب الثابت الزمني \(\tau\).

\[ \tau = \dfrac{L}{R} = \dfrac{0{,}20}{50} = 4{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{s} = 4{,}0\,\mathrm{ms} \]

تمرين 2 — شدة التيار أثناء النمو

في دارة \(RL\) تحت توتر ثابت \(E = 12\,\mathrm{V}\) ومقاومة \(R = 60\,\Omega\)، حث الوشيعة \(L = 0{,}30\,\mathrm{H}\).
1) احسب \(I_{\max}\) و \(\tau\).
2) احسب شدة التيار بعد زمن \(t = \tau\).

1) \[ I_{\max} = \dfrac{E}{R} = \dfrac{12}{60} = 0{,}20\,\mathrm{A} \] \[ \tau = \dfrac{L}{R} = \dfrac{0{,}30}{60} = 5{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{s} = 5\,\mathrm{ms} \]

2) عند \(t=\tau\): \[ i(\tau) = I_{\max}\left(1 - \mathrm{e}^{-1}\right) \approx 0{,}20 \times 0{,}63 \approx 0{,}126\,\mathrm{A} \]

تمرين 3 — تناقص التيار

في دارة \(RL\) يساوي التيار \(I_0 = 0{,}50\,\mathrm{A}\) عند فتح القاطع. إذا كان \(\tau = 8{,}0\,\mathrm{ms}\)، احسب شدة التيار بعد \(t = 8{,}0\,\mathrm{ms}\) ثم بعد \(t = 24\,\mathrm{ms}\).

\[ i(t) = I_0\,\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} \] عند \(t=\tau\): \[ i(\tau) = 0{,}50\,\mathrm{e}^{-1} \approx 0{,}50\times0{,}37 \approx 0{,}185\,\mathrm{A} \] عند \(t=3\tau = 24\,\mathrm{ms}\): \[ i(3\tau) = 0{,}50\,\mathrm{e}^{-3} \approx 0{,}50\times0{,}05 \approx 0{,}025\,\mathrm{A} \]

تمرين 4 — استغلال المنحنى لتحديد \(\tau\)

في منحنى نمو التيار لدارة \(RL\) تحت توتر \(E = 6{,}0\,\mathrm{V}\)، نقرأ أن التيار يساوي \(i = 0{,}63\,I_{\max}\) عند الزمن \(t = 2{,}5\,\mathrm{ms}\). استنتج قيمة \(\tau\) ثم احسب \(L\) إذا كانت المقاومة \(R = 15\,\Omega\).

من النظرية، الزمن الذي يحقق \(i = 0{,}63 I_{\max}\) يساوي تقريباً \(\tau\)، إذن: \[ \tau \approx 2{,}5\,\mathrm{ms} = 2{,}5\times10^{-3}\,\mathrm{s} \] وبما أنّ \(\tau = L/R\): \[ L = R\tau = 15\times2{,}5\times10^{-3} = 3{,}75\times10^{-2}\,\mathrm{H} \]

تمرين 5 — طاقة مغناطيسية

وشيعة حثها \(L = 0{,}10\,\mathrm{H}\) يمر فيها تيار ثابت \(I = 0{,}80\,\mathrm{A}\).
1) احسب الطاقة المغناطيسية المخزَّنة \(E_L\).
2) إذا فُصلت الوشيعة فجأة وتحوّل كل هذه الطاقة إلى حرارة في المقاومة، فما مقدار الطاقة الحرارية المتحوِّلة؟

1) \[ E_L = \dfrac{1}{2} L I^2 = \dfrac{1}{2}\times0{,}10\times0{,}80^2 = 0{,}5\times0{,}10\times0{,}64 = 0{,}032\,\mathrm{J} \]

2) إذا تحوّلت كل الطاقة إلى حرارة، تكون الطاقة الحرارية المتحوّلة هي نفسها: \(Q_{\text{حراري}} = 0{,}032\,\mathrm{J}\).

تمرين 6 — إيجاد R أو L من \(\tau\)

في تجربة على دارة \(RL\)، قيس الثابت الزمني \(\tau = 12\,\mathrm{ms}\).
1) إذا كان الحث \(L = 0{,}24\,\mathrm{H}\)، احسب قيمة المقاومة \(R\).
2) إذا كانت المقاومة مجهولة لكن نعلم أنّها \(R = 20\,\Omega\)، احسب الحث \(L\).

1) \[ R = \dfrac{L}{\tau} = \dfrac{0{,}24}{12\times10^{-3}} = 20\,\Omega \]

2) \[ L = R\tau = 20\times12\times10^{-3} = 0{,}24\,\mathrm{H} \] (نجد نفس القيمة، مما يؤكد التوافق).

تمرين 7 — التوتر على الوشيعة في اللحظة الابتدائية

في دارة \(RL\) تحت توتر مستمر \(E = 9{,}0\,\mathrm{V}\)، المقاومة \(R = 30\,\Omega\)، الحث \(L = 0{,}15\,\mathrm{H}\).
1) ما قيمة \(u_L(0)\) عند غلق القاطع؟
2) وما قيمة \(u_L\) بعد زمن طويل؟

1) عند \(t=0\) يكون \(i(0)=0\) ⇒ \(u_R(0)=R\,i(0)=0\). من كيرشوف: \[ E = u_R(0) + u_L(0)\Rightarrow u_L(0) = E = 9{,}0\,\mathrm{V} \]

2) بعد زمن طويل يصبح التيار ثابتاً \(I_{\max} = E/R = 9/30 = 0{,}30\,\mathrm{A}\) ⇒ \(\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\approx0\) ⇒ \[ u_L \approx 0\,\mathrm{V} \]

تمرين 8 — تمثيل لوغاريتمي (مستوى أعمق)

بالنسبة لدارة \(RL\) في طور النمو، لدينا: \[ i(t) = I_{\max}\left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\right) \] أظهر أن التمثيل البياني للتابع \(\ln\left(I_{\max}-i(t)\right)\) بدلالة \(t\) هو مستـقيم، ثم استنتج كيف يمكن تحديد \(\tau\) من ميله.

نكتب: \[ I_{\max} - i(t) = I_{\max}\,\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} \] بأخذ اللوغاريتم: \[ \ln\left(I_{\max} - i(t)\right) = \ln I_{\max} - \dfrac{t}{\tau} \] هذه معادلة مستقيم في المستوى \((t,\,y)\) حيث \(y = \ln\left(I_{\max}-i(t)\right)\) ميله: \[ a = -\dfrac{1}{\tau} \] إذن: \[ \tau = -\dfrac{1}{a} \] أي أن الثابت الزمني يساوي مقلوب ميل المستقيم بأخذ الإشارة.

تمرين 9 — مقارنة ثنائيي أقطاب \(RL\)

لدينا دارتان \(RL\) لهما نفس الحث \(L\)، لكن المقاومة في الدارة (1) هي \(R_1 = 10\,\Omega\)، وفي الدارة (2) \(R_2 = 40\,\Omega\). أي دارة يصل فيها التيار إلى قيمته النهائية بسرعة أكبر؟ فسر جوابك باستعمال الثابت الزمني.

الثابت الزمني في كل دارة: \[ \tau_1 = \dfrac{L}{R_1},\qquad \tau_2 = \dfrac{L}{R_2} \] بما أنّ \(R_1 < R_2\) ⇒ \(\tau_1 > \tau_2\). إذن الدارة (2) لها ثابت زمني أصغر، وبالتالي يبلغ التيار قيمته النهائية فيها أسرع من الدارة (1). (لكن قيمته النهائية \(I_{\max}=E/R\) أصغر في الدارة (2) إذا كان نفس \(E\).)

تمرين 10 — مسألة شاملة

ثنائي القطب \(RL\) يتكون من مقاومة \(R = 25\,\Omega\) ووشيعة \(L = 0{,}50\,\mathrm{H}\)، موصول بمولّد توتر مستمر \(E = 10\,\mathrm{V}\).
1) احسب \(I_{\max}\) و \(\tau\).
2) عبّر عن \(i(t)\) أثناء النمو.
3) احسب \(i(0{,}040\,\mathrm{s})\).
4) بعد أن يصل التيار إلى الحالة المستقرة، يُفتح القاطع في لحظة نعدّها \(t'=0\). أعطِ تعبير \(i(t')\) أثناء التفريغ، ثم احسب \(i(0{,}060\,\mathrm{s})\) إذا كان \(t'\) محسوباً ابتداءً من تلك اللحظة.

1) \[ I_{\max} = \dfrac{E}{R} = \dfrac{10}{25} = 0{,}40\,\mathrm{A} \] \[ \tau = \dfrac{L}{R} = \dfrac{0{,}50}{25} = 0{,}020\,\mathrm{s} \]

2) \[ i(t) = 0{,}40\left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{t}{0{,}020}}\right) \]

3) عند \(t=0{,}040\,\mathrm{s} = 2\tau\): \[ i(0{,}040) = 0{,}40\left(1 - \mathrm{e}^{-2}\right) \approx 0{,}40\times0{,}86 \approx 0{,}34\,\mathrm{A} \]

4) عند بداية التفريغ يكون التيار \(I_0 \approx I_{\max} = 0{,}40\,\mathrm{A}\). بالنسبة للزمن \(t'\) أثناء التفريغ: \[ i(t') = I_0\,\mathrm{e}^{-\frac{t'}{\tau}} = 0{,}40\,\mathrm{e}^{-\frac{t'}{0{,}020}} \] عند \(t'=0{,}060\,\mathrm{s} = 3\tau\): \[ i(0{,}060) = 0{,}40\,\mathrm{e}^{-3} \approx 0{,}40\times0{,}05 \approx 0{,}020\,\mathrm{A} \]

10) خلاصة سريعة للباك

  • معادلة دارة \(RL\) تحت توتر ثابت: \[ L\,\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + R\,i(t) = E \]
  • الحل في طور النمو (غلق القاطع) مع \(i(0)=0\): \[ i(t) = I_{\max}\left(1 - \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\right),\quad I_{\max} = \dfrac{E}{R},\ \tau = \dfrac{L}{R} \]
  • الحل في طور التناقص (تفريغ) مع \(i(0)=I_0\): \[ i(t) = I_0\,\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} \]
  • في \(t=\tau\): في النمو \(i(\tau)\approx0{,}63I_{\max}\)، وفي التناقص \(i(\tau)\approx0{,}37I_0\).
  • التوتر على الوشيعة: \[ u_L(t) = L\,\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} \] يكون أكبر ما يمكن عند التغيرات السريعة للتيار (خاصة عند فتح القاطع).
  • الطاقة المغناطيسية المخزنة: \[ E_L = \dfrac{1}{2} L i^2 \]
  • استغلال المنحنيات (أو التمثيل اللوغاريتمي) يسمح بتحديد \(\tau\) ومنه \(L\) أو \(R\).

درس: ثنائي القطب \(RL\) — 2 باك علوم رياضية (فيزياء) — © neobac.ma