Fonction Transmettre – Liaison Encastrement

1) Définition & symboles

Liaison encastrement (fixe) : aucun mouvement relatif entre deux solides ⇒ toutes les translations et rotations sont bloquées. Symbole normalisé : bloc plein. Usages : collage/sertissage/soudure, appuis fixes, encastrement d’une poutre dans un mur.

  • Contraintes (3D) : 6. DDL autorisés : 0.
  • Torseur cinématique : nul. Torseur des actions mécaniques : 6 composantes inconnues (réactions).
  • Au bac marocain (SI/SM-B) : savoir reconnaître le symbole, écrire les réactions (2D/3D), et estimer flèche/rotation d’une poutre encastrée.

2) DDL, torseurs, cas plan

  • Plan (2D) : on retient trois composantes de réaction au point d’encastrement \(O\) : \(R_x, R_y, M_z\).
  • Équilibre : \(\sum F_x=0\), \(\sum F_y=0\), \(\sum M_z(O)=0\).
  • Exemple (poutre encastrée, effort vertical \(F\) au bout, portée \(L\)) : \[ R_x=0,\quad R_y=F,\quad M_z=F\,L. \]
Le dimensionnement se base sur la contrainte de flexion \(\sigma_{max}=\dfrac{M_{max}c}{I}\) et la flèche admissible. Pour un rectangle \(I=\dfrac{b\,h^3}{12}\), \(c=h/2\).

3) Animation — poutre encastrée chargée en bout

—
Déformée exagérée (échelle). Flèche au bout \( \delta_{max}=\dfrac{F L^3}{3 E I} \). Rotation au bout \( \theta_{max}=\dfrac{F L^2}{2 E I} \).

4) Simulateur A — Réactions d’encastrement (plan)

\(R_x\) (N)\(R_y\) (N)\(M_z\) (N·m)
———
Formules : F verticale en bout : \(R_y=F,\,M_z=F L\). F axiale : \(R_x=F\). Couple en bout : \(M_z=M\). Répartie \(w\) : \(R_y=wL,\, M_z=wL^2/2\).

5) Simulateur B — Flèche & rotation (dimensionnement rapide)

Moment max \(M_{max}\) (N·m)\(\sigma_{max}=\dfrac{M_{max}c}{I}\) (MPa) \(\delta_{max}\) (mm)\(\theta_{max}\) (rad)
————
Rappels flèches : bout \(F\) ⇒ \(\delta_{max}=\dfrac{F L^3}{3EI}\), \(\theta_{max}=\dfrac{F L^2}{2EI}\). Répartie \(w\) ⇒ \(\delta_{max}=\dfrac{wL^4}{8EI}\), \(\theta_{max}=\dfrac{wL^3}{6EI}\). Couple \(M\) ⇒ \(\delta_{max}=\dfrac{M L^2}{2EI}\), \(\theta_{max}=\dfrac{M L}{EI}\).

6) Dimensionnement rapide & bonnes pratiques

  • Choix section : augmenter hauteur \(h\) ⇒ \(I \propto h^3\) (très efficace). Éviter arêtes vives (concentrations).
  • Matériaux (\(E\)) : acier ~210 GPa, alu ~70 GPa, bois ~10–14 GPa.
  • Vérifs : \(\sigma_{max} \le \sigma_{adm}\) (avec coefficient de sécurité) et \(\delta_{max}\) sous la flèche admissible (0.5–1% \(L\) typ.).
  • Modélisation : attention aux unités (N, m, mm, GPa) et aux hypothèses (poutre d’Euler-Bernoulli, petites déformations).

7) Exemples guidés

Ex1 — \(L=1{,}2\) m, \(F=600\) N en bout : \(R_y=600\) N, \(M_z=720\) N·m.

Ex2 — Rectangle \(b=40\) mm, \(h=60\) mm ⇒ \(I= b h^3/12 = 40\times60^3/12=720{,}000\) mm⁴ = \(7,2\times10^{-7}\) m⁴ ; \(\delta_{max} = \dfrac{F L^3}{3EI}\) (prendre \(E=210\) GPa).

8) Exercices (10) avec solutions

1 — Réactions (F en bout)

Poutre encastrée \(L=1{,}5\) m, \(F=800\) N verticale au bout.

\(R_y=800\) N ; \(M_z=F L=1200\) N·m ; \(R_x=0\).

2 — Réactions (répartie)

\(w=300\) N/m sur \(L=2\) m.

Charge totale \(wL=600\) N : \(R_y=600\) N, \(M_z=wL^2/2=600\) N·m.

3 — Contrainte max

Avec \(M_{max}=1000\) N·m et section \(b=30\) mm, \(h=50\) mm, calculer \(\sigma_{max}\).

\(I=30\times50^3/12=312{,}500\) mm⁴ \(=3,125\times10^{-7}\) m⁴, \(c=0{,}025\) m ⇒ \(\sigma_{max}=M c / I \approx 1000\times0{,}025/3{,}125e{-7}=80\) MPa.

4 — Flèche (F en bout)

\(E=70\) GPa (alu), \(I=1{,}2\times10^{-6}\) m⁴, \(L=1\) m, \(F=300\) N.

\(\delta_{max}=F L^3/(3EI)=300/(3\cdot70e9\cdot1{,}2e{-6})=1{,}19\times10^{-3}\) m = 1,19 mm.

5 — Couple en bout

\(M=500\) N·m, \(E=210\) GPa, \(I=8e{-7}\) m⁴, \(L=0{,}8\) m. Trouver \(\theta_{max}\) et \(\delta_{max}\).

\(\theta_{max}=ML/(EI)=500\cdot0{,}8/(210e9\cdot8e{-7})=0{,}00238\) rad. \(\delta_{max}=M L^2/(2EI)=0{,}00095\) m = 0,95 mm.

6 — Choix section

On double \(h\) en gardant \(b\) : effet sur \(\sigma\) et \(\delta\) ?

\(I \propto h^3\) ⇒ \(\sigma\) (via \(I\)) ÷8 et \(\delta\) ÷8.

7 — Matériau

Passage acier → alu (E ÷3). Flèche ?

\(\delta \propto 1/E\) ⇒ flèche ×3.

8 — Erreur d’unités

Si \(b,h\) en mm et \(L\) en m, que faire pour \(I\)?

Convertir en m : \(1\ \text{mm}^4=10^{-12}\ \text{m}^4\).

9 — Sécurité

Pourquoi une zone d’encastrement nécessite raccords généreux ?

Forte concentration de contraintes au col ; congés/rayons diminuent \(\sigma_{max}\).

10 — Torseur

Donner les composantes inconnues du torseur d’actions à l’encastrement (3D).

\(R_x,R_y,R_z\) et \(M_x,M_y,M_z\).

9) Récapitulatif

  • Encastrement : 0 DDL, 6 réactions (3D). En plan : \(R_x,R_y,M_z\).
  • Équilibre : \(\sum F=0\), \(\sum M=0\).
  • Flexion poutre encastrée : \(\delta_{max}\) et \(\theta_{max}\) selon cas (bout \(F\), répartie \(w\), couple \(M\)).
  • Dimensionnement : vérifier \(\sigma_{max}=M_{max}c/I\) et flèche admissible.

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