Fonction Transmettre – Liaisons pivot

1) Définition & DDL

Liaison pivot : autorise une seule rotation autour d’un axe \((R_z)\). Elle bloque les 3 translations et 2 rotations restantes ⇒ 5 contraintes, 1 DDL.

Torseur cinématique (3D) : \(\{\Omega\}=\{0,0,\dot\theta\}\), \(\{V\}=\{0,0,0\}\) au centre de la liaison.
Modèle plan (2D) : on retient \(R_x,R_y\) (réactions), moment nul si pivot idéal (pas de couple transmis).
Réalisations : palier lisse (bronze + lubrification), roulement (billes/rouleaux), axe + bague (H7/h6 typ.).

2) Réactions d’un pivot (plan) & équilibres

Au plan (mécanique statique) : un pivot en \(O\) transmet deux composantes \(R_x, R_y\). Si l’action en bout est \(F\) à distance \(L\), l’équilibre du solide impose :

\(\sum F_x=0,\ \sum F_y=0,\ \sum M_O=0\). Pour une charge verticale \(F\) : \(R_y=F\) et \(R_x=0\) si pas d’autres efforts ; moment transmis par un pivot idéal = 0.

En présence de frottement, un petit couple résistant peut apparaître. On le modélise souvent par \(M_f=\mu\,N\,r\) (approche pédagogique avec rayon \(r\)).

3) Animation — axe pivot, rotation & effort

Vitesse angulaire \( \omega \) (°/s) 120°/s

10360720

Charge \(F\) (N) 300 N Bras \(L\) (m) 0.25 m Coefficient \(\mu\) (frottement palier) 0.05

Couple moteur requis (pédagogique) : \(C \approx F\,L + M_f\), avec \(M_f \approx \mu\,N\,r\) (ici \(N \approx F\), \(r \approx 15\ \text{mm}\)).

4) Simulateur A — Réactions au pivot (plan)

Hypothèses : pivot en \(O\), bras rigide, charge \(F\) verticale appliquée à la distance \(L\). Pivot idéal ⇒ pas de moment transmis.

\(F\) (N) 500 \(L\) (m) 0.30 Charge axiale ? Non \(F_x\) (N) 0

\(R_x\) (N)	\(R_y\) (N)	Couple requis \(C\) (N·m)
—	—	—

Si le pivot n’est pas idéal (frottement important), un petit couple de réaction peut exister. Ici, on compte surtout \(C \approx F\,L\) (plus \(M_f\) si activé dans l’animation).

5) Réalisations — palier lisse vs roulement

Solution	Avantages	Limites	Usuel
Palier lisse (bagues bronze + lub)	Simple, économique, silencieux	Démarrage à sec, échauffement, usure	Vitesses modérées, charges élevées
Roulement à billes (gorge profonde)	Faible frottement, vitesses élevées	Sensibles choc/pollution	Charges radiales + un peu axiales
Roulement à rouleaux cylindriques	Grande charge radiale	Peu d’axial	Transmissions lourdes
Butée à billes/rouleaux	Charge axiale importante	Peu ou pas de radial	Axes verticaux, vis-écrou

Ajustements typiques : arbre \(h6\), alésage \(H7\) pour un pivot guidé « libre » (jeu contrôlé). Pour montage serré (bagues), voir « Tolérances & Ajustements ».

6) Simulateur B — Choix rapide de roulement (pédagogique)

Heuristique simple : selon \(F_r\) (radial), \(F_a\) (axial) et la vitesse \(n\), propose un type courant.

\(F_r\) (N) 1200 \(F_a\) (N) 200 Vitesse \(n\) (tr/min) 1500

Proposition	Pourquoi
—	—

Ce choix est indicatif (pédagogique). En pratique : vérifier dimension, durée de vie, lubrification, étanchéité, environnement.

7) Exemples guidés

Ex1 — Bras de 0,3 m avec \(F=400\) N : couple à fournir ≈ \(C=F L=120\) N·m (hors frottement).

Ex2 — Pivot plan idéal : une poulie montée sur axe en \(O\), \(F\) verticale sur la jante ⇒ \(R_y=F\), \(R_x=0\), \(M_O=0\).

Ex3 — Choix roulement : \(F_r=1000\) N, \(F_a=50\) N, \(n=3000\) tr/min ⇒ bille gorge profonde (radial + petite axial, vitesse élevée).

8) Exercices (10) + solutions

1 — DDL/Contraintes

Donner DDL et contraintes d’un pivot (3D).

1 DDL (rotation autour de l’axe), 5 contraintes (3 translations + 2 rotations).

2 — Réactions plan

Pivot en \(O\), charge \(F=600\) N à \(L=0{,}25\) m verticale. Trouver \(R_x, R_y\).

\(R_y=600\) N ; \(R_x=0\) (si aucune autre force horizontale).

3 — Couple requis

Avec \(\mu=0{,}05\), \(N\approx F\), \(r=15\) mm, \(F=600\) N, \(L=0{,}25\) m. Calculer \(C\).

\(M_f=\mu N r=0{,}05\times600\times0{,}015=0{,}45\) N·m ; \(C\approx F L+M_f=150+0{,}45=150{,}45\) N·m.

4 — Jeu d’assemblage

Pour un axe de pivot démontable et précis : proposer un ajustement.

H7/h6 typique (jeu faible, montage aisé).

5 — Type de roulement

\(F_r\) élevé, \(F_a\) faible, \(n\) modérée → choix ?

Rouleaux cylindriques (radial fort) ou billes si vitesse prioritaire.

6 — Modèle plan

Pourquoi le pivot plan idéal ne transmet-il pas de moment ?

Car seule la rotation est libre ; les liaisons plan idéales n’imposent pas de couple autour de l’axe libre.

7 — Frottement

Quel est l’effet du frottement sur le couple moteur requis ?

Il ajoute un couple résistant \(M_f\), donc \(C\) augmente.

8 — Sécurité

Citer deux précautions pour augmenter la durée de vie d’un pivot.

Lubrification correcte ; étanchéité contre poussières ; ajustement adapté ; éviter désalignements.

9 — Lecture schéma

Sur un schéma cinématique, quel symbole indique un pivot ?

Deux pièces reliées par un axe (cercle/axe) — rotation autour de l’axe.

10 — Petit projet

Dimensionner grossièrement \(C\) pour lever \(F=200\) N à \(L=0{,}4\) m, \(\mu=0{,}04\), \(r=12\) mm.

\(M_f=0{,}04\cdot200\cdot0{,}012=0{,}096\) N·m ; \(C\approx 200\cdot0{,}4+0{,}096=80{,}096\) N·m.

9) Récapitulatif

Pivot : 1 DDL (rotation), 5 contraintes ; torseur cinématique \(\dot\theta\) seul.
Plan : réactions \(R_x,R_y\) ; couple transmis nul (idéal) ; \(C\approx F\,L\) (+ frottement).
Réalisation : palier lisse / roulements (billes/rouleaux) ; ajustements usuels H7/h6.