Fonction Transmettre – Schématisation et liaisons
1) Objet : schématiser et choisir les liaisons
La schématisation remplace les formes réelles par des solides indéformables reliés par des liaisons normalisées (ISO). On décrit :
- la structure cinématique (graphe des liaisons),
- les degrés de liberté (DDL) et de contraintes de chaque liaison,
- les symboles et le torseur cinématique associé (au programme : forme qualitative).
2) Liaisons usuelles (symboles, DDL, torseur cinématique)
| Liaison | Symbole (simplifié) | DDL autorisés | Contraintes | Torseur cinématique (sens) | Exemples |
|---|---|---|---|---|---|
| Pivot | axe ⦿ | 1 rotation \(R_z\) | 5 | \(\{\Omega\}=\{0,0,\dot\theta\};\ \{V\}=\{0,0,0\}\) | charnière, axe roue |
| Glissière | rail ⇆ | 1 translation \(T_x\) | 5 | \(\{\Omega\}=\{0,0,0\};\ \{V\}=\{\dot x,0,0\}\) | coulisseau |
| Pivot glissant | axe ⦿ + ⇆ | 1 \(R\) + 1 \(T\) | 4 | \(\{\Omega\}=\{0,0,\dot\theta\},\ \{V\}=\{\dot x,0,0\}\) | foret dans le mandrin |
| Rotule | ◯ | 3 rotations | 3 | \(\{\Omega\}=\{\dot\theta_x,\dot\theta_y,\dot\theta_z\}\) | embout de bielle |
| Appui plan | ▭ | 2 translations + 1 rotation normale | 3 | \(T_x,T_y,R_z\) | patin sur table |
| Rotule à doigt | ◯| | 2 rotations + 1 translation | 3 | libertés orientées | rotule guidée |
| Encastrement | ▮ fixe | 0 | 6 | aucun mouvement | collage/serti |
3) Animations — que permet la liaison ?
4) Simulateur A — Mobilité d’un mécanisme
Formules :
Plan (modèle plan, joints parfaits) :
\[
M_p = 3(N-1) - \sum c_i + H,
\]
Espace (3D) :
\[
M = 6(N-1) - \sum c_i + H.
\]
\(N\) : nombre de solides (y compris la base), \(c_i\) : contraintes imposées par la liaison \(i\),
\(H\) : surcontraintes utiles (chaînes fermées, redondances) — souvent \(H=0\) au bac.
| Mobilité \(M\) | Interprétation |
|---|---|
| — | — |
5) Simulateur B — Mini-graphe de liaisons
Ajoute jusqu’à 6 solides et des liaisons simples ; le mini-graphe affiche les nœuds et arêtes. Objectif : visualiser chaînes fermées et sous-ensembles.
6) Exemples guidés
Ex1 — Mécanisme plan : \(N=3\) (bâti + manivelle + bielle), liaisons : 2 pivots ⇒ \(\sum c_i=5+5=10\). \(M_p=3(3-1)-10= -4\). On sait pourtant que le système bouge (1 ddl) : la réalité plan impose liaison pivot plan (2D : \(c=2\) chacune) ⇒ \(M_p=3(3-1)-(2+2)=2\) ddl ; avec une entrée imposée ⇒ 1 sortie.
Ex2 — Portique 3D : \(N=2\), encastrement (6 contraintes) ⇒ \(M=6(2-1)-6=0\) : structure immobile.
Ex3 — Robot type SCARA (plan) : base-bras pivot (c=2), bras-avant-bras pivot (c=2), avant-bras-chariot glissière (c=2) ⇒ \(N=4\), \(\sum c_i=6\), \(M_p=3(4-1)-6=3\) ddl (R-R-T).
7) Exercices (10) avec solutions
1 — Lire DDL/contraintes
Donner DDL et contraintes d’une rotule.
3 rotations libres ⇒ 3 DDL ; 3 contraintes (toutes les translations). Torseur cinématique : \(\{\Omega\}=\{\omega_x,\omega_y,\omega_z\},\ \{V\}=\{0,0,0\}\).
2 — Choix liaison
On veut un coulissement pur guidé dans une rainure : liaison ?
Glissière (1 translation), attention au jeu et à la lubrification.
3 — Mobilité plan
Mécanisme plan : \(N=4\), liaisons : 4 pivots plans (\(c=2\) chacun). Calculer \(M_p\).
\(\sum c_i=8\). \(M_p=3(4-1)-8=1\) ddl.
4 — Mobilité 3D
\(N=3\), liaisons : pivot + glissière (3D). \(M\)?
\(\sum c_i=5+5=10\). \(M=6(3-1)-10=2\) ddl (R sur pivot + T sur glissière).
5 — Surcontraintes
Un parallélogramme plan avec 4 pivots (tous co-plans). Sans actionneurs, \(H=1\). \(N=5\) (dont bâti), \(\sum c_i=8\). Calcule \(M_p\).
\(M_p=3(5-1)-8+1=5\). Avec 2 entrées imposées, la sortie a 3 ddl théoriques (à contraindre par guidages).
6 — Appui plan
Pourquoi l’appui plan autorise \(T_x,T_y,R_z\) ?
Contact surfacique : pas de pénétration normale ⇒ translation normale bloquée ; pas de moment normal (faible), donc rotation autour de la normale libre ; glissements tangents possibles (si frottement négligé).
7 — Graphe
Indiquer une chaîne fermée pour \(N=4\) : 0-1, 1-2, 2-3, 3-0.
Cycle de longueur 4 ⇒ compatibilité géométrique à vérifier (surcontraintes possibles).
8 — Torseur (qualitatif)
Donner la forme du torseur cinématique d’un pivot glissant.
\(\{\Omega\}=\{0,0,\dot\theta\}\), \(\{V\}=\{\dot x,0,0\}\) autour/dans la même direction d’axe.
9 — Schématisation
Quels éléments conserver sur un schéma cinématique ?
Solides (repérés), axes/références, symboles normalisés de liaisons, sens positifs, entrées/sorties, éventuelles butées.
10 — Piège classique
Pourquoi un mécanisme peut-il avoir \(M<0\) avec la formule ?
Modélisation inadaptée (3D vs plan), liaisons trop “fortes” comptées, ou surcontraintes ignorées \(H\neq0\). Revoir l’hypothèse (ex : pivots plans).
8) Récapitulatif
- Schématiser = solides + liaisons normalisées (symboles, DDL, contraintes).
- Torseur cinématique : formes qualitatives exigées au bac (sens des vitesses/rotations).
- Mobilité : \(M_p=3(N-1)-\sum c_i+H\) (plan), \(M=6(N-1)-\sum c_i+H\) (3D).
- Vérifier cycles du graphe pour repérer surcontraintes.
Fonction Transmettre — Schématisation & Liaisons — © neobac