Fonction Transmettre – Transmission de puissance (Engrenages)

1) Objet : transmettre puissance et mouvement par engrenages

Un engrenage transmet le mouvement de rotation et le couple entre deux arbres via le roulement sans glissement des cercles primitifs et l’engrènement des profils (denture généralement involute 20°). L’intérêt : rapport précis, rendement élevé, compacité, réversibilité (sauf vis sans fin à faible rendement).

Vocabulaire — Module \(m\) (mm), pas primitif \(p=\pi m\), nombre de dents \(z\), diamètre primitif \(d=mz\), rayon primitif \(r=d/2\), angle de pression \(\alpha=20^\circ\), largeur de denture \(b\), jeu (backlash), entraxe \(a=(d_1+d_2)/2\).

2) Typologie des engrenages

Cylindriques droits (axes parallèles, bruit ↑ à grande vitesse).
Cylindriques hélicoïdaux (axes parallèles, β hélice → charge progressive, bruit ↓ ; efforts axiaux \(F_a\)).
Coniques (axes concourants), hypoïdes (axes décalés).
Vis sans fin – roue (axes orthogonaux, grands rapports, réversibilité faible, \( \eta \) plus faible).
Crémaillère (rotation → translation).

À programme : focus sur cylindriques (droits/hélicoïdaux) et rappels vis sans fin.

3) Paramètres géométriques & rapports

Rapport \(\displaystyle i=\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{z_2}{z_1}=\frac{d_2}{d_1}\). Pour engrenage extérieur–extérieur : sens inversé ; intérieur–extérieur : même sens.
Entraxe \(\displaystyle a=\frac{m(z_1+z_2)}{2}\), pas \(p=\pi m\).
Antitalonnage (interférence) : avec \(\alpha=20^\circ\) et hauteur standard, \(z_{\min}\approx17\) (pignon), sinon correction de profil (déport).
Largeur \(b\) typique : \(8m\) à \(12m\) (premier dimensionnement).

Efforts (droits) : \(F_t=\dfrac{T}{r}\), \(F_r=F_t\tan\alpha\). (hélicoïdaux) : \(F_a=F_t\tan\beta\), \(F_r=F_t\tan\alpha/\cos\beta\).

4) Animation — sens de rotation & vitesse relative

z₁ (pignon) 20 dents

104580

z₂ (roue) 60 dents

20110200

Type d’engrènement — Vitesse n₁ 900 tr/min

3015003000

Les cercles primitifs roulent sans glisser. Le sens dépend du type de contact ; la vitesse est proportionnelle à \(1/z\).

5) Simulateur A — Rapport, vitesses, entraxe

Module \(m\) 3 mm

1510

z₁ 18 dents

104580

z₂ 72 dents

20110200

n₁ 1500 tr/min

3015003000

i = z₂/z₁	n₂ (tr/min)	a (mm)	d₁/d₂ (mm)	p = πm (mm)	Antitalonnage
—	—	—	— / —	—	—

Rappel : antitalonnage (profil 20°) → \(z_1 \ge 17\) conseillé. Sinon correction par déport positif.

6) Simulateur B — Couple, efforts sur dent et composantes

Puissance \(P\) 5.00 kW

0.0550200

Vitesse n₁ 1500 tr/min

3015003000

Module \(m\) 3 mm

1510

z₁ 18 dents

104580

Type (droits/hélicoïdaux) —

T₁ (N·m)	r₁ (m)	F_t (N)	F_r (N)	F_a (N)
—	—	—	—	—

Formules : \(T=\dfrac{9550\,P}{n}\) (N·m, P en kW, n en tr/min). \(r=\dfrac{m\,z}{2}/1000\) (m). \(F_t=\dfrac{T}{r}\). Droits : \(F_r=F_t\tan\alpha\) (avec \(\alpha=20^\circ\)). Hélicoïdaux : \(F_a=F_t\tan\beta\), \(F_r=\dfrac{F_t\tan\alpha}{\cos\beta}\).

7) Simulateur C — Rendement d’un train d’engrenages

Nombre d’engrènements 2 engr.

135

Type moyen — P_entrée 5.00 kW

0.0550200

η par engrènement	η global	P_sortie (kW)	Pertes (kW)
—	—	—	—

Rappel : \( \eta_\text{global}=\eta^k \). Les rendements dépendent de la vitesse, lubrification, état de surface, charge, alignement.

8) Dimensionnement (survol programme) & bonnes pratiques

Vérif. résistance à la flexion (formule de Lewis, facteur de forme) et contact (Hertz) — niveau d’intro : connaître les grandeurs et dépendances.
Matériaux & traitements : aciers C45/42CrMo4 (trempe/revenu), cémentation-nitruration pour surfaces dures, fonte/bronze pour vis sans fin.
Lubrification : bain, barbotage, pompe ; viscosité selon vitesse/température.
Qualité/tolérances : jeu (backlash) adapté ; bruit → hélicoïde, correction d’angle, finition.
Montage : entraxe précis, alignement, rigidité carter, étanchéité (poussière/huile).

⚠️ À l’examen : savoir calculer i, vitesses, entraxe, efforts et justifier un choix de type (droits/hélicoïdaux/vis) avec contraintes de bruit/rendement/effort axial.

9) Exemples guidés

Ex1 — \(m=3\,\text{mm}\), \(z_1=20\), \(z_2=60\) : \(i=3\), \(a=\frac{3(20+60)}{2}=120\,\text{mm}\), \(p=\pi m\approx9{,}42\,\text{mm}\).

Ex2 — \(P=5\,\text{kW}\), \(n_1=1500\,\text{tr/min}\), \(m=3\,\text{mm}\), \(z_1=18\) : \(T_1=\frac{9550\cdot5}{1500}=31{,}8\,\text{N·m}\). \(r_1=\frac{3\cdot18}{2000}=0{,}027\,\text{m}\) ⇒ \(F_t\approx1178\,\text{N}\). Droits : \(F_r=F_t\tan20^\circ\approx 430\,\text{N}\).

10) Exercices (12) avec solutions

1 — Rapport & vitesse

\(z_1=16\), \(z_2=64\), \(n_1=1200\) tr/min. Calculez \(i\) et \(n_2\).

\(i=64/16=4\). \(n_2=n_1/i=300\) tr/min.

2 — Entraxe

\(m=2{,}5\) mm, \(z_1=24\), \(z_2=48\). Calculez \(a\).

\(a=\frac{m(z_1+z_2)}{2}=\frac{2{,}5(72)}{2}=90\) mm.

3 — Antitalonnage

Profil 20°. Un pignon \(z_1=14\) dents sans correction est-il recommandé ?

Non : \(z_{\min}\approx17\). Prévoir déport positif ou augmenter \(z_1\).

4 — Efforts (droits)

\(P=2\,\text{kW}\), \(n_1=1000\) tr/min, \(m=2\) mm, \(z_1=20\). Calculez \(T_1\), \(F_t\), \(F_r\).

\(T_1=9550\cdot2/1000=19{,}1\) N·m. \(r_1=2\cdot20/2000=0{,}02\) m. \(F_t=T/r=955\) N. \(F_r=F_t\tan20^\circ\approx 347\) N.

5 — Hélicoïdal (β=30°)

Reprenez ex.4 avec β=30°. Donnez \(F_a\) et \(F_r\) (hélicoïdal).

\(F_a=F_t\tan30^\circ\approx 552\) N. \(F_r=\dfrac{F_t\tan20^\circ}{\cos30^\circ}\approx 401\) N.

6 — Rendement train

3 engrènements cylindriques (η=0,97/eng.). \(P_\text{in}=10\) kW → \(P_\text{out}\) ?

\(\eta_g=0{,}97^3\approx0{,}912\). \(P_\text{out}\approx 9{,}12\) kW.

7 — Choix type

Vitesse élevée & bruit faible : droits ou hélicoïdaux ? Justifiez.

Hélicoïdaux : prise progressive → bruit/vibrations ↓, mais efforts axiaux.

8 — Crémaillère

Donnez l’expression liant rotation pignon \(n\) et vitesse linéaire \(v\).

\(v=\omega r=\dfrac{2\pi n}{60}\cdot\dfrac{mz}{2}=\dfrac{\pi m z\,n}{60}\).

9 — Vis sans fin

Avantage et inconvénient principaux ?

Rapports élevés, compacts, parfois irréversibles ; mais rendement ↓ et échauffement ↑.

10 — Largeur

Pour \(m=3\) mm, donnez une largeur initiale \(b\) plausible.

Entre \(8m\) et \(12m\) ⇒ \(24\) à \(36\) mm (à affiner selon charge).

11 — Sens de rotation

Ext–Ext vs Int–Ext : sens relatif ?

Ext–Ext : sens inversé. Int–Ext : même sens.

12 — Pas primitif

Calculez \(p\) pour \(m=2{,}5\) mm.

\(p=\pi m\approx 7{,}85\) mm.

11) Récapitulatif

\(i=z_2/z_1\), \(a=m(z_1+z_2)/2\), \(p=\pi m\).
Efforts : \(F_t=T/r\), \(F_r=F_t\tan\alpha\), hélicoïdal \(F_a=F_t\tan\beta\).
Choix type selon bruit, rendement, efforts axiaux, rapport souhaité.