Fonction Transmettre – Transmission de puissance (Pignon chaîne)

1) Objet : transmettre puissance par pignons et chaîne

Un pignon–chaîne transmet un couple entre deux arbres par engagement discret des maillons sur les dents. Atouts : rapport quasi exact (glissement négligeable), grandes distances entre arbres, robustesse, faible entretien. Points d’attention : bruit et effet polygonal (variation périodique de vitesse pour petits nombres de dents).

Vocabulaire — Nombre de dents \(z_1,z_2\), pas \(p\) (mm), rayon primitif \( r \approx \dfrac{p}{2\sin(\pi/z)} \), entraxe \(C\), brin tendu/mou \(T_1,T_2\), vitesse \(n_1,n_2\) (tr/min).

2) Types de chaînes et de pignons

  • Chaînes à rouleaux (ISO 06B…16B) — la plus courante en transmission de puissance.
  • Chaînes silencieuses (à maillons inversés) — bruit réduit, vitesses élevées.
  • Chaînes doubles/triples — charges plus élevées.
  • Pignons : acier trempé/nitruré, \(z \ge 15\) conseillé pour limiter l’effet polygonal.
Au bac (programme marocain SI/SMB) : maîtriser rapport, vitesse, longueur, et puissance transmise \(P=(T_1-T_2)v\).

3) Relations utiles

  • Rapport : \( \displaystyle i=\frac{n_1}{n_2}=\frac{z_2}{z_1} \Rightarrow n_2 = n_1\frac{z_1}{z_2}. \)
  • Rayon/diamètre primitifs (approx.) : \( r \approx \dfrac{p}{2\sin(\pi/z)} \), \( d=2r \).
  • Vitesse du brin : \( v = \dfrac{2\pi r_1 n_1}{60} \).
  • Puissance : \( P=(T_1-T_2)\,v \). Rendement typique \( \eta\in[0{,}94;0{,}98] \).
  • Longueur (maillons), \(x=C/p\) : \[ N \approx 2x + \frac{z_1+z_2}{2} + \frac{(z_2-z_1)^2}{4\pi^2 x},\qquad L=Np. \]
⚠️ Effet polygonal : pour petit \(z\), variation de vitesse → vibrations/bruit. Préférer \(z_1\ge 17\) pour vitesses élevées.

4) Animation — chaîne sur deux pignons

—
Le rapport \( i=\dfrac{z_2}{z_1} \). Rouleaux espacés régulièrement selon le pas \(p\) et trajectoire lissée par arcs + tangentes ; l’effet polygonal diminue lorsque \(z\) augmente.

5) Simulateur A — Rapport, vitesses, longueur & entraxe

i = z2/z1 n2 (tr/min) N (maillons) L (mm) v (m/s)
—————
Le calcul de \(N\) donne un réel → on arrondit au pair le plus proche (chaînes à pas constant) et on ajuste légèrement \(C\).

6) Simulateur B — Efforts, puissance transmissible & rendement

r1 (m)Couple \((T_1-T_2)r_1\) (N·m)v (m/s)P = (T1-T2)·v (kW)η estimé
—————
Ordres de grandeur : \( \eta \approx 0{,}94\)–\(0{,}98\) selon lubrification/tension/alignement. Éviter sur-tension (usure paliers) comme sous-tension (saut de dents).

7) Comparaison rapide

CritèrePignon–chaînePoulie–courroieEngrenages
GlissementQuasi nulOui (sauf crantée)Non
Rapport exactTrès bonMoyen (crantée : bon)Excellent
Distance entre arbresGrande possibleGrande possibleFaible à moyenne
Rendement0.94–0.980.92–0.980.95–0.99
BruitMoyen à élevéFaibleMoyen (hélicoïdal ↓)
Coût/maintenanceFaiblesTrès faiblesPlus élevés

8) Exemples guidés

Ex1 — \(z_1=18\), \(z_2=54\), \(n_1=600\) tr/min → \(i=3\), \(n_2=200\) tr/min.

Ex2 — \(p=12{,}7\) mm, \(z_1=18\) ⇒ \(r_1 \approx \dfrac{12{,}7}{2\sin(\pi/18)}=36{,}6\) mm, \(d_1\approx73{,}2\) mm.

Ex3 — \(T_1=1200\) N, \(T_2=400\) N, \(n_1=600\) tr/min, \(p=12{,}7\) mm, \(z_1=18\) ⇒ \(v\approx 2\pi r_1 n_1/60 \approx 2{,}30\) m/s, \(P\approx (800)\cdot2{,}30=1{,}84\) kW.

9) Exercices (10) avec solutions

1 — Rapport & vitesse

\(z_1=20\), \(z_2=50\), \(n_1=900\) tr/min → \(n_2\) ?

\(i=2{,}5\). \(n_2=900/2{,}5=360\) tr/min.

2 — Rayon primitif

\(p=9{,}525\) mm, \(z_1=16\). Calculer \(r_1 \approx \dfrac{p}{2\sin(\pi/z_1)}\).

\(\sin(\pi/16)=0{,}1951\). \(r_1\approx 9{,}525/(2\times0{,}1951)=24{,}4\) mm.

3 — Longueur de chaîne

\(p=12{,}7\) mm, \(C=400\) mm, \(z_1=18\), \(z_2=54\). Calculer \(N\) puis \(L\).

\(x=C/p=31{,}5\). \(N\approx 2x+(z_1+z_2)/2 + (z_2-z_1)^2/(4\pi^2 x)\approx 63 + 36 + 81/39{,}5\approx 101{,}0\) → arrondir à 102 maillons. \(L=102\times12{,}7=1295{,}4\) mm.

4 — Vitesse du brin

\(n_1=1200\) tr/min, \(p=9{,}525\) mm, \(z_1=20\). \(v\)?

\(r_1=p/(2\sin(\pi/20))=9{,}525/(2\cdot0{,}1564)=30{,}5\) mm. \(v=2\pi r_1 n_1/60\approx 3{,}83\) m/s.

5 — Puissance

\(T_1=1500\) N, \(T_2=500\) N, \(v=4\) m/s.

\(P=(1500-500)\cdot4=4\) kW.

6 — Ajustement entraxe

On obtient \(N=101{,}4\). Quelle règle d’arrondi ? Conséquence sur \(C\)?

Arrondir au pair le plus proche (102). Ajuster \(C\) (légère variation) ou utiliser maillons de réglage.

7 — Effet polygonal

Pourquoi choisir \(z_1\) plus grand pour haute vitesse ?

Plus \(z\) grand → variation de vitesse relative plus faible → vibrations/bruit réduits.

8 — Rendement

Pour \(P_\text{in}=3{,}0\) kW et \(\eta=0{,}96\), \(P_\text{out}\)?

\(2{,}88\) kW.

9 — Choix techno

Longue distance, rapport exact, environnement poussiéreux : chaîne ou courroie ?

Chaîne : moins sensible au glissement, robuste, tolère poussière avec lubrification.

10 — Couple sur menant

\(T_1-T_2=900\) N, \(r_1=0{,}036\) m. Calculer le couple.

\(T=(T_1-T_2)r_1=900\cdot0{,}036=32{,}4\) N·m.

10) Récapitulatif

  • \(i=z_2/z_1\), \(n_2=n_1 z_1/z_2\).
  • \(r \approx \dfrac{p}{2\sin(\pi/z)}\), \(v=2\pi r_1 n_1/60\).
  • Longueur : \(N \approx 2x + \dfrac{z_1+z_2}{2} + \dfrac{(z_2-z_1)^2}{4\pi^2 x}\), \(x=C/p\).
  • Puissance : \(P=(T_1-T_2)\,v\), \(\eta\) élevé si tension/alignement/lubrification corrects.

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