Fonction Transmettre – Transmission de puissance (Poulie Courroie )

1) Objet : transmettre puissance et mouvement par poulie–courroie

Un système poulie–courroie convertit la rotation et transmet le couple entre deux arbres via l’adhérence et/ou l’engrènement (courroies crantées). Avantages : simplicité, amortissement des chocs, compacité, coût réduit, désalignements modérés tolérés. Inconvénient : glissement possible (sauf crantées).

Vocabulaire — Diamètres primitifs \(d_1,d_2\), vitesses \(n_1,n_2\) (tr/min), vitesse linéaire courroie \(v\), entraxe \(C\), angle d’enroulement \(\theta\) (rad), tensions brin tendu \(T_1\) et mou \(T_2\), coefficient de frottement \(\mu\).

2) Typologie des courroies

  • Plates : vitesse élevée, rendement bon, exige guidage (bombé/galet).
  • Trapézoïdales (V-belt) : prise par coin → glissement réduit, usage industriel courant.
  • Poly-V : multi-gorges, compacité et grandes vitesses.
  • Crantées (synchrone) : pas de glissement (rapport exact), bruit ↓, mais montage précis requis.
  • Rondes / dentelées spéciales : cas particuliers (faibles puissances, convoyage).
Au bac : maîtriser les relations cinématiques, la formule d’Euler-Eytelwein et savoir estimer la puissance transmise.

3) Relations utiles & glissement

  • Vitesse linéaire : \( v = \dfrac{\pi d_1 n_1}{60} = \dfrac{\pi d_2 n_2}{60} \) (si sans glissement).
  • Rapport idéal : \( \displaystyle i_0=\frac{n_1}{n_2}=\frac{d_2}{d_1} \Rightarrow n_2 = n_1\frac{d_1}{d_2} \).
  • Glissement (adhérence imparfaite) : \( \displaystyle s = \frac{V_1 - V_2}{V_1} \) ⇒ \( n_2 \approx n_1\frac{d_1}{d_2}(1-s) \).
  • Adhérence (Euler–Eytelwein) : \( \displaystyle \frac{T_1}{T_2} = e^{\mu \theta} \) ( \(\theta\) en radians). Pouvoir transmissible : \( P = (T_1 - T_2)\,v \).
  • Longueur de courroie (approx. 2 poulies ext.–ext.) : \[ L \approx 2C + \frac{\pi}{2}(d_1+d_2) + \frac{(d_2-d_1)^2}{4C}. \]
⚠️ L’angle d’enroulement \(\theta\) diminue quand \(d_1\) est petit et/ou \(C\) grand ⇒ adhérence ↓ ⇒ risque de patinage ↑.

4) Animation — mouvement de la courroie & rapport

—
La courroie défile à la même vitesse linéaire sur les deux poulies. Le rapport de vitesse est déterminé par \(d_1\) et \(d_2\), puis corrigé par le glissement \(s\).

5) Simulateur A — Rapport, vitesses, entraxe & longueur

Rapport idéal \(i_0=\dfrac{d_2}{d_1}\) n2,idéal (tr/min) n2,rée (avec \(s\)) Longueur \(L\) (mm) Angle enroul. menante (≈)
—————
L’angle d’enroulement menante est approximé par \( \theta_1 \approx \pi - 2\arcsin\left(\frac{d_2-d_1}{2C}\right) \). Plus \(\theta\) est grand, meilleure est l’adhérence.

6) Simulateur B — Adhérence, puissance transmissible & rendement

T2 (N)v (m/s)P max = (T1-T2)·v (kW)Rendement estimé
————
Pour un ordre de grandeur du rendement, on peut prendre \( \eta \approx 1 - s - \epsilon \), où \(\epsilon\) regroupe pertes flexion/ventilation (typ. 1–3 %). Les courroies crantées ont un \(\eta\) supérieur et \(s \approx 0\).

7) Comparaison avec les engrenages

CritèrePoulie–CourroieEngrenages
Rapport exactMoyen (glissement sauf crantée)Excellent (sans glissement)
RendementBon à très bon (0.92–0.98)Très bon (0.95–0.99)
Coût / maintenanceFaibles, remplacement simplePlus élevé (usinage, lubrification)
BruitFaiblePeut être élevé (réduit par hélicoïdal)
Désalignement toléréOui (modéré)Faible
Grande vitesse / longues distancesTrès adaptéMoins adapté

8) Exemples guidés

Ex1 — \(d_1=120\,\text{mm}\), \(d_2=240\,\text{mm}\), \(n_1=900\) tr/min, \(s=2\%\). \(n_2 \approx 900\cdot 120/240 \cdot (1-0{,}02)=441\) tr/min.

Ex2 — \(T_1=800\,\text{N}\), \(\mu=0{,}3\), \(\theta=170^\circ=2{,}967\,\text{rad}\) ⇒ \(T_2=\frac{T_1}{e^{\mu\theta}}\approx \frac{800}{e^{0{,}89}} \approx 328\,\text{N}\). Si \(d_1=0{,}12\,\text{m}\), \(n_1=900\) ⇒ \(v=\pi d_1 n_1/60 \approx 5{,}65\) m/s, \(P\approx (800-328)\cdot5{,}65 \approx 2{,}66\) kW.

9) Exercices (10) avec solutions

1 — Rapport & vitesse

\(d_1=100\) mm, \(d_2=250\) mm, \(n_1=1200\) tr/min, \(s=0\). Calculer \(n_2\).

\(n_2=1200\cdot100/250=480\) tr/min.

2 — Glissement

Reprendre ex.1 avec \(s=3\%\).

\(n_2=480\cdot(1-0{,}03)=466{,}6\) tr/min.

3 — Vitesse de courroie

\(d_1=160\) mm, \(n_1=1500\) tr/min. Calculer \(v\).

\(v=\pi\cdot0{,}16\cdot1500/60\approx 12{,}57\) m/s.

4 — Adhérence

\(T_1/T_2=e^{\mu\theta}\) avec \(\mu=0{,}28\), \(\theta=160^\circ\). Trouver \(T_2\) si \(T_1=600\) N.

\(\theta=2{,}793\) rad ⇒ \(T_2=600/e^{0{,}782}\approx 273\) N.

5 — Puissance transmise

Avec ex.4 et \(d_1=0{,}12\) m, \(n_1=1200\). \(P\)?

\(v=\pi\cdot0{,}12\cdot1200/60\approx 7{,}54\) m/s ; \(P=(600-273)\cdot7{,}54\approx 2{,}46\) kW.

6 — Longueur

Calculer \(L\) pour \(d_1=120\) mm, \(d_2=240\) mm, \(C=300\) mm.

\(L\approx2\cdot300+\frac{\pi}{2}(120+240)+\frac{(240-120)^2}{4\cdot300}\approx 600+565{,}5+12=1177{,}5\) mm.

7 — Angle d’enroulement

Avec ex.6, \(\theta_1\) (menante) ?

\(\theta_1\approx \pi - 2\arcsin\big((240-120)/(2\cdot300)\big)=\pi - 2\arcsin(0{,}2)\approx 2{,}74\) rad (≈ 157°).

8 — Rendement

Si \(s=2\%\) et \(\epsilon=1{,}5\%\), estimer \(\eta\).

\(\eta\approx 1-0{,}02-0{,}015=0{,}965\) (96,5 %).

9 — Courroie crantée

Pourquoi \(s \approx 0\) ? Un inconvénient ?

Engrènement denté → pas de glissement ; inconvénient : coût et précision de montage.

10 — Choix technologique

Grande vitesse, faible bruit, faible coût, rapport ~2 : courroie ou engrenages ?

Courroie (trapézoïdale/poly-V) : simple, silencieuse, peu coûteuse. Vérifier adhérence (\(\theta,\mu\)) et tension.

10) Récapitulatif

  • \(n_2 \approx n_1 \dfrac{d_1}{d_2}(1-s)\), \(v=\dfrac{\pi d_1 n_1}{60}\).
  • \(T_1/T_2=e^{\mu\theta}\), \(P=(T_1-T_2)\,v\).
  • Augmenter \(\theta\) (galet tendeur) et \(\mu\) (type de courroie) pour éviter le patinage.

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