Étude quantitative de la variation (Biométrie)
1) Introduction : variation et biométrie en SVT
Dans une population d’êtres vivants (humains, plantes, animaux), les individus présentent des différences de taille, de masse, de durée de germination, de nombre de grains, etc. Ces différences constituent la variation des caractères.
La biométrie est l’étude quantitative de la variation des caractères mesurables (taille, masse, longueur de graine, diamètre de feuille, taux de glucose…) dans une population ou un échantillon.
Au programme de SVT (2e Bac Sciences Mathématiques), l’objectif est de savoir :
- Constituer une série biométrique à partir de mesures.
- Calculer des paramètres statistiques simples : moyenne, étendue, variance, écart-type.
- Construire et interpréter des représentations graphiques (histogramme, polygone des fréquences).
- Relier ces résultats à une interprétation biologique (variation, sélection, variabilité génétique).
2) Caractères qualitatifs et quantitatifs – série biométrique
2.1) Caractères qualitatifs vs quantitatifs
- Caractères qualitatifs : ne se mesurent pas par un nombre mais se décrivent par des classes (ex. : couleur des yeux, groupe sanguin, type de graine lisse/rugueuse…). On parle de variation discontinue.
- Caractères quantitatifs : peuvent être mesurés par une grandeur numérique (taille en cm, masse en g, durée en jours…). Ils présentent souvent une variation continue (tous les intermédiaires possibles).
Un caractère biométrique est un caractère quantitatif mesurable sur lequel on peut effectuer une étude statistique : série de mesures, moyenne, dispersion, histogramme, etc.
2.2) Série biométrique et vocabulaire de base
Supposons qu’on mesure la taille (en cm) de 40 élèves d’une classe. On obtient une liste de valeurs \(x_1, x_2, \dots, x_n\) (avec \(n\) le nombre de mesures).
- Individu : un élément de la population étudiée (un élève, une graine…).
- Effectif total : nombre total d’individus mesurés, noté \(N\).
- Modalité : une valeur possible du caractère (ex. taille = 165 cm).
- Effectif d’une modalité \(n_i\) : nombre d’individus qui présentent cette valeur (ou ce classement dans un intervalle).
- Fréquence d’une modalité : \(f_i = \dfrac{n_i}{N}\).
3) Étude quantitative : moyenne et autres paramètres simples
3.1) Moyenne arithmétique
La moyenne arithmétique d’un caractère quantitatif est une valeur centrale qui résume l’ensemble des mesures. Pour une série de valeurs regroupées avec effectifs, on utilise :
\(\displaystyle \overline{x} = \dfrac{\sum n_i x_i}{\sum n_i} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N}\)
Exemple : on mesure la taille (en cm) de 5 élèves : 160, 165, 170, 170, 175.
- La somme des tailles vaut \(160 + 165 + 170 + 170 + 175 = 840\).
- \(N = 5\), donc \(\overline{x} = \dfrac{840}{5} = 168\ \text{cm}\).
La moyenne donne une idée de la valeur typique du caractère, mais ne dit pas comment les valeurs sont réparties autour de cette valeur.
3.2) Médiane et mode (rappel simple)
- Médiane : valeur centrale d’une série de données rangées dans l’ordre croissant. Elle sépare la population en deux groupes de même effectif.
- Mode : valeur ou classe qui possède l’effectif le plus élevé (la plus fréquente).
Ces paramètres peuvent être évoqués au Bac, mais l’accent est mis surtout sur la moyenne et les mesures de dispersion.
4) Mesures de dispersion : étendue, variance et écart-type
4.1) Étendue
L’étendue d’une série est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale :
\(\displaystyle E = x_{\max} - x_{\min}\)
Elle donne une première idée de l’amplitude de la variation, mais ne tient pas compte de la répartition détaillée des valeurs.
4.2) Variance et écart-type
La variance mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Pour une série biométrique discrète, on peut utiliser :
\(\displaystyle \sigma^2 = \dfrac{\sum n_i (x_i - \overline{x})^2}{N}\)
L’écart-type \(\sigma\) est la racine carrée de la variance :
\(\displaystyle \sigma = \sqrt{\sigma^2}\)
- Plus \(\sigma\) est petit : plus les valeurs sont regroupées autour de la moyenne.
- Plus \(\sigma\) est grand : plus la variation est large.
En SVT, on ne demande pas tous les détails des calculs de variance au Bac, mais on doit comprendre que \(\sigma\) traduit l’homogénéité ou l’hétérogénéité d’un caractère dans une population.
5) Représentations graphiques : histogramme et polygone des fréquences
5.1) Tableau de distribution
Pour un grand nombre de mesures, on regroupe souvent les valeurs en classes (intervalles), par exemple : 150–155 cm, 155–160 cm, etc. On construit alors un tableau de distribution.
| Classe de taille (cm) | Effectif \(n_i\) | Fréquence \(f_i\) |
|---|---|---|
| [150 ; 155[ | 4 | 0,10 |
| [155 ; 160[ | 8 | 0,20 |
| [160 ; 165[ | 14 | 0,35 |
| [165 ; 170[ | 10 | 0,25 |
| [170 ; 175[ | 4 | 0,10 |
5.2) Histogramme des fréquences
Un histogramme représente les classes sur l’axe horizontal (x) et les effectifs (ou fréquences) sur l’axe vertical (y). Chaque classe est représentée par un rectangle.
5.3) Forme de la distribution
- Distribution unimodale : un seul maximum (une classe la plus fréquente).
- Distribution bimodale : deux maxima (peut révéler deux sous-populations).
- Distribution symétrique ou asymétrique (queue vers la droite ou la gauche).
En biologie, une distribution en cloche (proche de la loi normale) est fréquente pour des caractères polygéniques influencés par l’environnement (taille humaine, masse des graines…).
6) Interprétation biologique de la variation
L’étude quantitative d’un caractère (moyenne, dispersion, histogramme) permet de répondre à des questions biologiques :
- Les individus sont-ils homogènes pour ce caractère ?
- Observe-t-on une large variabilité qui pourrait être exploitée par la sélection naturelle ?
- Y a-t-il deux sous-populations (ex. mâles/femelles, variétés différentes)… ?
6.1) Variabilité génétique et environnementale
- Une partie de la variation est liée à la génétique (différence d’allèles, polygénie).
- Une autre partie est liée à l’environnement (nutrition, climat, soins, densité…).
Plus une population présente une variabilité quantitative importante pour un caractère, plus elle possède un potentiel de réponse à la sélection (naturelle ou artificielle).
6.2) Exemple simple : taille des plants de blé
Si on compare deux parcelles de blé :
- Parcelle A : moyenne \(\overline{x} = 80\ \text{cm}\) et \(\sigma = 3\ \text{cm}\).
- Parcelle B : moyenne \(\overline{x} = 80\ \text{cm}\) mais \(\sigma = 10\ \text{cm}\).
Les deux parcelles ont la même moyenne, mais la parcelle B présente une variabilité plus importante (différences plus marquées entre plants), indiquant soit une diversité génétique plus grande, soit des conditions environnementales plus hétérogènes.
7) Exemple d’exploitation d’une série biométrique (taille de 20 élèves)
On mesure la taille (en cm) de 20 élèves d’une même classe et on obtient le tableau suivant :
| Classe de taille (cm) | Effectif \(n_i\) | Centre de classe \(x_i\) (cm) |
|---|---|---|
| [150 ; 155[ | 2 | 152,5 |
| [155 ; 160[ | 4 | 157,5 |
| [160 ; 165[ | 7 | 162,5 |
| [165 ; 170[ | 5 | 167,5 |
| [170 ; 175[ | 2 | 172,5 |
- Vérifier que l’effectif total est \(N = 20\).
- Calculer la moyenne \(\overline{x}\) en utilisant les centres de classes \(x_i\).
- Construire un histogramme des effectifs ou des fréquences.
- Commenter la forme de la distribution.
Correction guidée (idée) : \(\overline{x} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N}\). On calcule chaque produit \(n_i x_i\), on les additionne, puis on divise par 20. L’histogramme est généralement unimodal, centré autour de 162,5–167,5 cm, ce qui traduit une variation continue du caractère « taille » autour d’une valeur moyenne.
8) Exercices d’application (10) avec solutions détaillées
Exercice 1 — Caractère qualitatif ou quantitatif ?
Classer les caractères suivants en « qualitatif » ou « quantitatif » :
- Groupe sanguin (A, B, AB, O).
- Taille (en cm).
- Couleur des fleurs (rouge, blanche…).
- Masse d’un fruit (en g).
1) Groupe sanguin : qualitatif (on ne le mesure pas par un nombre, ce sont des classes).
2) Taille : quantitatif (grandeur mesurable, variation continue).
3) Couleur des fleurs : qualitatif (classes).
4) Masse : quantitatif (on la mesure en g).
Exercice 2 — Effectifs et fréquences
On mesure la longueur (en cm) de 10 feuilles d’une plante et on obtient la série suivante : 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8.
- Donner les différentes modalités (valeurs possibles).
- Construire le tableau des effectifs \(n_i\) et des fréquences \(f_i\).
1) Modalités : 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8.
2) Tableau :
| Longueur (cm) | Effectif \(n_i\) | Fréquence \(f_i\) |
|---|---|---|
| 4 | 1 | 1/10 = 0,10 |
| 5 | 2 | 2/10 = 0,20 |
| 6 | 3 | 3/10 = 0,30 |
| 7 | 2 | 2/10 = 0,20 |
| 8 | 2 | 2/10 = 0,20 |
On vérifie que la somme des fréquences vaut 1.
Exercice 3 — Calcul de la moyenne
À partir de la série précédente (longueurs des feuilles), calculer la moyenne \(\overline{x}\).
\[ \overline{x} = \dfrac{\sum x_i}{N} = \dfrac{4 + 5 + 5 + 6 + 6 + 6 + 7 + 7 + 8 + 8}{10} \]
Somme = 62. Donc \(\overline{x} = \dfrac{62}{10} = 6,2\ \text{cm}\). Les feuilles ont en moyenne une longueur de 6,2 cm.
Exercice 4 — Étendue
Dans un élevage, la masse (en g) de 8 souris est : 18 ; 20 ; 19 ; 21 ; 24 ; 22 ; 20 ; 23.
- Déterminer la valeur minimale et la valeur maximale.
- Calculer l’étendue.
1) \(x_{\min} = 18\ \text{g}\), \(x_{\max} = 24\ \text{g}\).
2) \(E = 24 - 18 = 6\ \text{g}\).
L’étendue de la masse dans cet élevage est de 6 g.
Exercice 5 — Dispersion et interprétation
Deux populations de poissons ont les caractéristiques suivantes pour la masse (en g) :
- Population A : \(\overline{x} = 100\ \text{g}\), \(\sigma = 5\ \text{g}\).
- Population B : \(\overline{x} = 100\ \text{g}\), \(\sigma = 20\ \text{g}\).
- Quel groupe est le plus homogène en masse ?
- Proposer une interprétation biologique possible.
1) La population A est plus homogène car son écart-type est plus petit (5 g).
2) La population B présente des masses plus dispersées, ce qui peut traduire : – une plus grande diversité génétique ; – ou des conditions de croissance plus variables (nourriture, densité, température…).
Exercice 6 — Construction d’un histogramme (qualitatif)
On mesure la taille de 30 graines d’une même variété et on regroupe les valeurs en cinq classes. On obtient les effectifs suivants :
| Classe de taille (mm) | Effectif |
|---|---|
| [3 ; 4[ | 3 |
| [4 ; 5[ | 7 |
| [5 ; 6[ | 11 |
| [6 ; 7[ | 6 |
| [7 ; 8[ | 3 |
- Vérifier que l’effectif total est bien 30.
- Indiquer comment construire l’histogramme des effectifs.
1) Somme des effectifs = 3 + 7 + 11 + 6 + 3 = 30 ⇒ vérifiée.
2) Sur l’axe horizontal, on place les classes [3 ; 4[, [4 ; 5[, etc. Sur l’axe vertical, on graduera les effectifs (de 0 à 11). Pour chaque classe, on trace un rectangle de largeur égale à l’intervalle (1 mm) et de hauteur égale à l’effectif correspondant.
Exercice 7 — Forme de la distribution
Un histogramme de la taille des feuilles montre deux maxima distincts : un autour de 4 cm et un autre autour de 8 cm.
- Comment qualifie-t-on ce type de distribution ?
- Proposer une interprétation biologique possible.
1) Il s’agit d’une distribution bimodale (deux modes).
2) Cela peut refléter la présence de deux sous-populations : par exemple, deux variétés différentes, ou des conditions de milieu très différentes (soleil/ombre), ou encore une distinction entre jeunes feuilles et feuilles adultes.
Exercice 8 — Série biométrique et moyenne par classes
On mesure la hauteur (en cm) de 25 plants et on obtient le tableau suivant :
| Classe de hauteur (cm) | Effectif |
|---|---|
| [10 ; 12[ | 4 |
| [12 ; 14[ | 9 |
| [14 ; 16[ | 8 |
| [16 ; 18[ | 4 |
- Vérifier que l’effectif total est 25.
- Donner les centres de classes.
- Écrire l’expression de la moyenne \(\overline{x}\) à partir de ces centres.
1) Somme des effectifs : 4 + 9 + 8 + 4 = 25 ⇒ vérifiée.
2) Centres de classes :
[10 ; 12[ → 11 ; [12 ; 14[ → 13 ; [14 ; 16[ → 15 ; [16 ; 18[ → 17.
3) \[ \overline{x} = \dfrac{4\times 11 + 9\times 13 + 8\times 15 + 4\times 17}{25} \] On laisse le calcul numérique à l’élève si demandé.
Exercice 9 — Variabilité et sélection
Un sélectionneur souhaite améliorer la taille des fruits dans une population de tomates. Pourquoi est-il important que ce caractère présente une variabilité quantitative suffisante ?
La sélection (naturelle ou artificielle) ne peut agir que s’il existe des différences entre les individus. Si la taille des fruits est très variable, le sélectionneur peut choisir les individus à gros fruits pour la reproduction. Si au contraire tous les fruits ont quasiment la même taille (variabilité très faible), la marge de progression sera très limitée.
Exercice 10 — Rédaction : étude quantitative de la variation
Rédiger un court paragraphe (8–10 lignes) expliquant en quoi l’étude biométrique d’un caractère (taille, masse…) permet d’interpréter la variabilité d’une population sur le plan biologique.
L’étude biométrique consiste à mesurer un caractère quantitatif chez un grand nombre d’individus et à analyser la distribution des valeurs. La moyenne indique la valeur centrale du caractère, tandis que l’étendue et l’écart-type renseignent sur l’ampleur de la variation. L’histogramme montre la forme de la distribution : unimodale, bimodale, symétrique ou non. Ces informations permettent de savoir si la population est homogène ou très variée pour ce caractère. Une forte variabilité traduit souvent la combinaison d’une diversité génétique et d’effets de l’environnement, et offre un potentiel de réponse à la sélection, ce qui est important en agronomie, en écologie et en évolution.
9) Bilan — Étude quantitative de la variation (Biométrie)
- La biométrie étudie quantitativement la variation des caractères mesurables (taille, masse, durée…) dans une population.
- Elle s’appuie sur des notions de série statistique : effectif, fréquence, moyenne, étendue, variance, écart-type.
- Les représentations graphiques (histogrammes, polygones des fréquences) permettent de visualiser la distribution des valeurs et de repérer des tendances (unimodale, bimodale…).
- Sur le plan biologique, l’étude quantitative de la variation renseigne sur l’homogénéité ou l’hétérogénéité d’une population et sur son potentiel de réponse à la sélection.
- Cette démarche est essentielle en agronomie, en élevage, en écologie et en évolution.
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