Fonctions primitives
1) Définition et propriétés générales
Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(f:I\to\mathbb{R}\) une fonction. Une fonction \(F:I\to\mathbb{R}\) est dite primitive (ou antidérivée) de \(f\) sur \(I\) si \(F\) est dérivable sur \(I\) et \(F'(x)=f(x)\) pour tout \(x\in I\).
Propriété essentielle
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), alors toutes les primitives de \(f\) sur \(I\) s'écrivent \(F(x)+C\), où \(C\) est une constante réelle.
Remarque : une primitive n'existe pas pour toute fonction ; l'existence est garantie par des conditions (continuité suffisante suffit sur un intervalle). Au Bac, on suppose généralement que \(f\) est continue sur \(I\) quand on cherche des primitives.
2) Existence et familles de primitives
Théorème (analyse élémentaire) : si \(f\) est continue sur un intervalle \(I\), alors \(f\) admet des primitives sur \(I\). Une construction usuelle est la fonction intégrale \(\displaystyle F(x)=\int_{x_0}^{x} f(t)\,dt\) pour un \(x_0\in I\) (forme constructive du théorème fondamental).
Conséquence pratique
Pour calculer une primitive on peut souvent reconnaître \(f\) comme dérivée d'une expression connue (table), ou appliquer des méthodes (substitution, parties, fractionnement en éléments simples, identités trigonométriques...).
3) Table des primitives usuelles (à connaître)
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) |
|---|---|
| \(x^n\) ( \(n\neq -1\) ) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|+C\) |
| \(e^{ax}\) | \(\dfrac{1}{a}e^{ax}+C\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x + C\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x + C\) |
| \(\sec^2 x\) | \(\tan x + C\) |
| \(\dfrac{1}{1+x^2}\) | \(\arctan x + C\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arcsin x + C\) |
4) Linéarité et opérations sur les primitives
Si \(F\) est primitive de \(f\) et \(G\) primitive de \(g\) sur \(I\), alors pour tout \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) la fonction \(\alpha F+\beta G\) est primitive de \(\alpha f+\beta g\).
En pratique : \(\displaystyle \int (\alpha f+\beta g)\,dx = \alpha\int f\,dx + \beta\int g\,dx + C\).
Exemple
\(\int (3x^2 - 5\sin x)\,dx = 3\cdot \dfrac{x^3}{3} +5\cos x + C = x^3+5\cos x + C\) (attention au signe pour \(\sin\)).
5) Méthode de substitution (changement de variable)
Si \(u=\phi(x)\) est une bijection différentiable sur intervalle et si \(f\) admet une primitive \(F\), alors \(\int f(\phi(x))\phi'(x)\,dx = F(\phi(x))+C\).
Exemple type
Calculer \(\displaystyle \int 2x\cos(x^2)\,dx\). Poser \(u=x^2\) alors \(du=2x\,dx\) et l'intégrale devient \(\int \cos u\,du=\sin u + C = \sin(x^2)+C\).
6) Intégration par parties
Formule (déduite du produit dérivé) : si \(u(x)\) et \(v(x)\) sont dérivables, alors
\[\int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)\,dx + C.\]
Exemple
Calculer \(\int x e^x\,dx\). Poser \(u=x\), \(v'=e^x\). Alors \(u'=1\), \(v=e^x\) et
\(\int x e^x dx = x e^x - \int 1\cdot e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C.\)
7) Intégrales de fonctions rationnelles (aperçu)
Pour une fraction rationnelle \(P(x)/Q(x)\) (polynômes), on décompose en éléments simples après division éventuelle. Exemple typique au Bac : \(\dfrac{1}{(x-a)(x-b)}\) se décompose en \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\) puis s'intègre par \(\ln|x-a|\).
Exemple simple
\(\int \dfrac{dx}{x^2-1} = \int \left(\dfrac{1/2}{x-1} - \dfrac{1/2}{x+1}\right) dx = \tfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right| + C.\)
8) Intégrale définie et théorème fondamental
Théorème fondamental du calcul intégral
Soit \(f\) continue sur \([a,b]\). Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a,b]\), alors
\[\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).\]
Interprétation géométrique
L'intégrale définie \(\int_a^b f(x)\,dx\) mesure l'aire algébrique sous la courbe de \(f\) entre \(a\) et \(b\).
Remarques
- Si \(f\ge0\) sur \([a,b]\) alors l'intégrale est l'aire positive.
- Changement d'orientation : \(\int_b^a f = -\int_a^b f\).
9) Applications géométriques et physiques
- Aire sous une courbe : \(\mathcal{A}=\int_a^b f(x)\,dx\).
- Longueur d'arc (formule) : \(L=\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx\) (hors programme exigeant, mais utile à connaître).
- Mouvement : si \(v(t)\) est la vitesse, la position est \(x(t)=\int v(t)\,dt + C\) (primitives et intégrales).
10) Exercices (12) + solutions
1 — Primitive simple
Calculer une primitive de \(f(x)=3x^2-4x+1\).
\(\displaystyle F(x)=x^3-2x^2+x + C\) (car \((x^3)'=3x^2\), etc.).
2 — Substitution
Calculer \(\int 5x\sqrt{1+x^2}\,dx\).
Poser \(u=1+x^2\Rightarrow du=2x\,dx\). Donc \(\int 5x\sqrt{1+x^2}\,dx = \tfrac{5}{2}\int \sqrt{u}\,du = \tfrac{5}{2}\cdot \tfrac{2}{3}u^{3/2}+C = \tfrac{5}{3}(1+x^2)^{3/2}+C.\)
3 — Parties
Calculer \(\int x\ln x\,dx\) ( \(x>0\) ).
Poser \(u=\ln x\) (donc \(u'=1/x\)), \(dv=x\,dx\) (\(v=x^2/2\)). Par parties : \(\int x\ln x\,dx = \dfrac{x^2}{2}\ln x - \int \dfrac{x^2}{2}\cdot \dfrac{1}{x}\,dx = \dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{1}{2}\int x\,dx = \dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4} + C.\)
4 — Rationalité
Calculer \(\int \dfrac{dx}{x^2-1}\) sur les intervalles adéquats.
Décomposition : \(\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{1/2}{x-1}-\dfrac{1/2}{x+1}\). Donc \(\int \dfrac{dx}{x^2-1}=\tfrac{1}{2}\ln|x-1|-\tfrac{1}{2}\ln|x+1|+C=\tfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|+C.\)
5 — Trigonométrique
Calculer \(\int \sin^2 x\,dx\).
Utiliser l'identité \(\sin^2x=\tfrac{1-\cos(2x)}{2}\). Donc \(\int \sin^2x\,dx = \tfrac{1}{2}\int 1\,dx - \tfrac{1}{2}\int \cos 2x\,dx = \tfrac{x}{2} - \tfrac{1}{4}\sin 2x + C\).
6 — Exponentielle
Calculer \(\int e^{3x}\,dx\).
\(\dfrac{1}{3}e^{3x}+C\).
7 — Définie (aire)
Calculer \(\int_0^1 (3x^2+2x)\,dx\).
Primitive : \(x^3+x^2\). Donc \([x^3+x^2]_0^1 = (1+1)-0=2.\)
8 — Substitution plus avancée
Calculer \(\int \dfrac{2x}{1+x^2}\,dx\).
Poser \(u=1+x^2 \Rightarrow du=2x\,dx\). Alors l'intégrale vaut \(\int \dfrac{du}{u} = \ln|u|+C = \ln(1+x^2)+C.\)
9 — Parties récursives
Calculer \(\int x^2 e^x\,dx\).
Par parties deux fois ou utiliser la formule : on obtient \(e^x(x^2-2x+2)+C\) (vérifier en dérivant).
10 — Intégrale impropre (aperçu)
Étudier \(\int_1^{\infty} \dfrac{1}{x^2}\,dx\).
\(\int_1^{\infty} x^{-2}dx = \lim_{b\to\infty} [-x^{-1}]_1^b = \lim_{b\to\infty}(1 - \tfrac{1}{b}) = 1\). L'intégrale converge et vaut 1.
11 — Primitive composée
Trouver une primitive de \(f(x)=\dfrac{\cos(\ln x)}{x}\) ( \(x>0\) ).
Poser \(u=\ln x\Rightarrow du=\dfrac{dx}{x}\). Alors \(\int \dfrac{\cos(\ln x)}{x}dx = \int \cos u\,du = \sin u + C = \sin(\ln x)+C.\)
12 — Application physique
Si la vitesse \(v(t)=3t^2\) (en m/s), donner la position \(s(t)\) sachant \(s(0)=5\).
\(s(t)=\int v(t)\,dt + C = \int 3t^2 dt + C = t^3 + C\). Condition \(s(0)=5\Rightarrow C=5\). Donc \(s(t)=t^3+5\).
11) Conseils méthodologiques Bac & pièges
- Toujours vérifier le domaine de définition (logarithmes, racines, division).
- Identifier si la dérivée d'une partie de l'expression apparaît (substitution simple).
- Pour les fractions rationnelles, commencer par la division polynomiale si le numérateur a un degré ≥ celui du dénominateur.
- Ne pas oublier la constante d'intégration \(+C\) pour les primitives ; pour une intégrale définie, utiliser la primitive et faire la différence \(F(b)-F(a)\).
- Vérifier la réponse en dérivant — c'est le contrôle le plus sûr au Bac.