الأعداد العقدية (الجزء الأول)

1) مقدمة: لماذا الأعداد العقدية في 2 باك علوم فيزيائية؟

الأعداد العقدية (أو المركّبة) توسّع مجموعة الأعداد الحقيقية لحل معادلات من قبيل: \[ x^2+1=0 \] التي لا تقبل حلولًا حقيقية. في هذا الجزء الأوّل، نركّز على:

  • تعريف العدد العقدي والشكل الجبري \(z=a+bi\).
  • التمثيل في المستوي العقدي (مستوي أرغاند).
  • جمع وطرح وضرب وقسمة الأعداد العقدية.
  • المرافق \(\overline{z}\) واستعمالاته البسيطة.
  • المعيار \(|z|\) والتفسير الهندسي (طول الشعاع).

في الامتحان الوطني، التمارين على الأعداد العقدية تكون غالبًا مرتبطة بالهندسة في المستوى (شعاع، مستقيم، دائرة، دوران...). فهم العلاقة بين العدد العقدي والشعاع في المستوي هو المفتاح.

2) تعريف الأعداد العقدية والشكل الجبري

مجموعة الأعداد العقدية

نرمز لمجموعة الأعداد العقدية بالحرف: \[ \mathbb{C}. \] كل عدد عقدي \(z\) يمكن كتابته بشكل: \[ z=a+bi \] حيث \(a,b\in\mathbb{R}\)، و\(i\) عدد خاص يحقق: \[ i^2=-1. \] العدد \(a\) يسمى الجزء الحقيقي و\(b\) يسمى الجزء التخيّلي.

الجزء الحقيقي والتخيّلي

إذا كان: \[ z=a+bi \] فإن: \[ \Re(z)=a,\quad \Im(z)=b. \] مثال: \[ z=3-2i \Rightarrow \Re(z)=3,\ \Im(z)=-2. \]

ملاحظة مهمّة

  • كل عدد حقيقي \(x\) يمكن اعتباره عددًا عقديًا من الشكل \(x+0i\).
  • الأعداد التخيّلية الصرفة هي من الشكل \(bi\) حيث \(b\in\mathbb{R}\) و\(b\neq0\).

3) التمثيل الهندسي في المستوى العقدي (مستوى أرغاند)

المستوى العقدي

نربط بكل عدد عقدي \(z=a+bi\) نقطة \(M(x,y)\) في المستوى بحيث: \[ x=a,\quad y=b. \] تسمى \(M\) الصورة الهندسية لـ\(z\)، ويقال إن \(z\) هو الكتابة العقدية لـ\(M\).

ترجمة شعاعية

نمثّل العدد العقدي \(z=a+bi\) بالشعاع: \[ \overrightarrow{OM}=(a,b) \] حيث \(O(0,0)\) هو أصل المعلم. جمع الأعداد العقدية يوافق تركيب شعاعي، أي مجموع شعاعين.

مثال

إذا كان: \[ z=2+3i, \] فإن النقطة المرتبطة به هي \(M(2,3)\). إذا كان: \[ w=-1+2i, \] فالنقطة المرتبطة به هي \(N(-1,2)\).

4) العمليات على الأعداد العقدية في الشكل الجبري

المساواة بين عددين عقديين

إذا كان: \[ z_1=a+bi,\quad z_2=c+di, \] فإن: \[ z_1=z_2 \iff \begin{cases} a=c\\ b=d \end{cases} \] أي نساوي الجزء الحقيقي مع الحقيقي والتخيّلي مع التخيّلي.

الجمع والطرح

\[ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. \] \[ (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. \] هندسيا: جمع أعداد عقدية = جمع شعاعات.

الضرب

\[ (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i \] باستعمال العلاقة \(i^2=-1\). مثال: \[ (1+2i)(3-i)=(1\cdot3-2\cdot(-1))+(1\cdot(-1)+2\cdot3)i=5+5i. \]

القسمة (معرفية فقط)

إذا كان \(w\neq0\)، نستطيع كتابة: \[ \frac{z}{w} \] بالشكل الجبري باستعمال المرافق (انظر الفقرة الموالية).

5) المرافق \(\overline{z}\)

تعريف

إذا كان: \[ z=a+bi, \] فإن مرافقه هو: \[ \overline{z}=a-bi. \] هندسيا، المرافق هو تناظر النقطة \(M(a,b)\) بالنسبة لمحور الأفاصيل (المحور الحقيقي).

خواص أساسية

  • \[ z+\overline{z}=2\Re(z),\quad z-\overline{z}=2i\,\Im(z). \]
  • \[ z\overline{z}=a^2+b^2\in\mathbb{R}_{+}. \]
  • \[ \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w},\quad \overline{zw}=\overline{z}\,\overline{w}. \]

استعمال في القسمة

لحساب: \[ \frac{z}{w} \] نضرب البسط والمقام في \(\overline{w}\): \[ \frac{z}{w}=\frac{z\overline{w}}{w\overline{w}} \] وبما أن \(w\overline{w}\) عدد حقيقي موجب، يمكن تبسيط التعبير إلى شكل جبري.

6) معيار عدد عقدي وتفسيره الهندسي

تعريف

إذا كان: \[ z=a+bi, \] فإن معياره هو: \[ |z|=\sqrt{a^2+b^2}. \] هندسيا، \(|z|\) هو طول الشعاع \(\overrightarrow{OM}\) حيث \(M(a,b)\).

خواص مهمّة

  • \[ |z|\geq0,\quad |z|=0 \iff z=0. \]
  • \[ |z|^2=z\overline{z}. \]
  • إذا كان: \[ z=a+bi,\ w=c+di, \] فإن: \[ |z-w|=\text{المسافة بين النقطتين }M(a,b)\text{ و }N(c,d). \]

مثال

إذا كان \(z=3-4i\)، فإن: \[ |z|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. \] كما أن: \[ z\overline{z}=(3-4i)(3+4i)=3^2+4^2=25=|z|^2. \]

7) حلّ معادلات بسيطة باستعمال الأعداد العقدية

معادلات من الدرجة الثانية ذات مميّز سالب

في \(\mathbb{R}\)، إذا كان: \[ ax^2+bx+c=0 \] ومميّزه: \[ \Delta=b^2-4ac<0, \] فلا توجد حلول حقيقية. في \(\mathbb{C}\)، توجد حلّان عقديان: \[ z_1=\frac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a},\quad z_2=\frac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}. \]

مثال بسيط

حلّ المعادلة: \[ x^2+1=0 \] في \(\mathbb{C}\). نكتب: \[ x^2=-1\Rightarrow x^2=i^2 \] إذن: \[ x=\pm i. \] إذن: \[ S=\{-i,\,i\}. \]

8) تمارين تطبيقية (12 تمرين) مع حلول مفصّلة

التمرين 1 — التعرف على الجزء الحقيقي والتخيّلي

لتكن الأعداد العقدية التالية: \[ z_1=3-2i,\quad z_2=-5+i,\quad z_3=4i,\quad z_4=-2. \] حدّد لكل واحد منها \(\Re(z_k)\) و\(\Im(z_k)\).

\[ z_1=3-2i\Rightarrow \Re(z_1)=3,\ \Im(z_1)=-2. \] \[ z_2=-5+i\Rightarrow \Re(z_2)=-5,\ \Im(z_2)=1. \] \[ z_3=4i=0+4i\Rightarrow \Re(z_3)=0,\ \Im(z_3)=4. \] \[ z_4=-2=-2+0i\Rightarrow \Re(z_4)=-2,\ \Im(z_4)=0. \]

التمرين 2 — مساواة أعداد عقدية

لتكن: \[ z_1=2+3i,\quad z_2=a+bi. \] نعلم أن: \[ z_1=z_2. \] 1) استنتج قيم \(a\) و\(b\). 2) علّل منهجيًا.

لدينا: \[ 2+3i=a+bi. \] بالمساواة حدًّا حدًّا: \[ \Re(z_1)=\Re(z_2)\Rightarrow 2=a, \] \[ \Im(z_1)=\Im(z_2)\Rightarrow 3=b. \] إذن: \[ a=2,\quad b=3. \]

التمرين 3 — جمع وطرح أعداد عقدية

احسب في الشكل الجبري: \[ z_1=1+2i,\quad z_2=-3+4i. \] 1) \(z_1+z_2\). 2) \(z_1-z_2\).

1) \[ z_1+z_2=(1+2i)+(-3+4i)=(1-3)+(2+4)i=-2+6i. \] 2) \[ z_1-z_2=(1+2i)-(-3+4i)=(1+3)+(2-4)i=4-2i. \]

التمرين 4 — ضرب أعداد عقدية

احسب: \[ z=(2+3i)(1-4i) \] وأعط النتيجة في شكل \(a+bi\).

نحسب: \[ (2+3i)(1-4i)=2\cdot1+2\cdot(-4i)+3i\cdot1+3i\cdot(-4i). \] أي: \[ =2-8i+3i-12i^2. \] بما أن \(i^2=-1\): \[ -12i^2=-12(-1)=12. \] إذن: \[ z=(2+12)+(-8i+3i)=14-5i. \]

التمرين 5 — المرافق واستعماله

لتكن: \[ z=3-4i. \] 1) أوجد \(\overline{z}\). 2) احسب \(z+\overline{z}\) و\(z\overline{z}\). 3) استنتج \(|z|\).

1) \[ \overline{z}=3+4i. \] 2) \[ z+\overline{z}=(3-4i)+(3+4i)=6. \] \[ z\overline{z}=(3-4i)(3+4i)=3^2+4^2=9+16=25. \] 3) بما أن: \[ |z|^2=z\overline{z}=25\Rightarrow |z|=\sqrt{25}=5. \]

التمرين 6 — معيار عدد عقدي والمسافة بين نقطتين

لتكن النقطة \(M\) صورتها العقدية: \[ z_M=1+2i \] والنقطة \(N\) صورتها: \[ z_N=4-2i. \] 1) أحسب \(|z_M|\). 2) أحسب: \[ |z_N-z_M| \] وفسّر هندسيًا.

1) \[ |z_M|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}. \] 2) \[ z_N-z_M=(4-2i)-(1+2i)=3-4i. \] إذن: \[ |z_N-z_M|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. \] هندسيًا، \(|z_N-z_M|\) هي المسافة بين النقطتين \(M\) و\(N\)، فلدينا: \[ MN=5. \]

التمرين 7 — قسمة عددين عقديين

احسب في الشكل الجبري: \[ \frac{z}{w} \] حيث: \[ z=1+3i,\quad w=2-i. \]

نضرب البسط والمقام في \(\overline{w}=2+i\): \[ \frac{z}{w}=\frac{1+3i}{2-i} =\frac{(1+3i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}. \] البسط: \[ (1+3i)(2+i)=1\cdot2+1\cdot i+3i\cdot2+3i\cdot i =2+i+6i+3i^2 =2+7i-3 =-1+7i. \] المقام: \[ (2-i)(2+i)=2^2+1^2=5. \] إذن: \[ \frac{z}{w}=\frac{-1+7i}{5}=-\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i. \]

التمرين 8 — معادلة من الدرجة الثانية (مميز سالب)

حل في \(\mathbb{C}\): \[ x^2-4x+5=0. \]

نحسب المميّز: \[ \Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot5=16-20=-4<0. \] إذن: \[ \sqrt{\Delta}= \sqrt{-4}=2i. \] الحلّان: \[ x=\frac{4\pm2i}{2} = 2\pm i. \] إذن: \[ S=\{2-i,\ 2+i\}. \]

التمرين 9 — تمثيل هندسي بسيط

لتكن: \[ z_1=1+i,\quad z_2=-1+i. \] 1) عيّن إحداثيات النقطتين \(A\) و\(B\) المرتبطتين بـ\(z_1,z_2\). 2) أحسب: \[ z_2-z_1 \] واستنتج اتجاه الشعاع \(\overrightarrow{AB}\).

1) \[ z_1=1+i\Rightarrow A(1,1),\quad z_2=-1+i\Rightarrow B(-1,1). \] 2) \[ z_2-z_1=(-1+i)-(1+i)=-2. \] هذا يعني أن \(\overrightarrow{AB}=(-2,0)\) أي أن \(AB\) أفقي موازٍ لمحور الأفاصيل ويتجه نحو اليسار.

التمرين 10 — خاصية معيار مجموع عددين عقديين

لتكن: \[ z_1=3+4i,\quad z_2=-3+4i. \] 1) أحسب \(|z_1|\) و\(|z_2|\). 2) أحسب: \[ |z_1+z_2|. \] 3) علّق على النتيجة هندسيًا.

1) \[ |z_1|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5. \] \[ |z_2|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. \] 2) \[ z_1+z_2=(3+4i)+(-3+4i)=8i. \] إذن: \[ |z_1+z_2|=|8i|=\sqrt{0^2+8^2}=\sqrt{64}=8. \] 3) هندسيًا، الشعاعان \(\overrightarrow{OA}\) و\(\overrightarrow{OB}\) لهما نفس الفاصلة بعلامتين متعاكستين (\(3\) و\(-3\)) ونفس الترتيبة، مجموعهما يعطي شعاعًا عموديًا على المحور الحقيقي (على محور الترتيب).

التمرين 11 — استعمال رياضي للمرافق

لتكن: \[ z=a+bi\ (\text{مع }a,b\in\mathbb{R})\text{ و }z\neq0. \] برهن أن: \[ \frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}. \]

نكتب: \[ \frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi}. \] نضرب البسط والمقام في \(\overline{z}=a-bi\): \[ \frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}. \] لكن: \[ a^2+b^2=|z|^2. \] إذن: \[ \frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}. \]

التمرين 12 — تمرين شامل

لتكن المتتالية من الأعداد العقدية: \[ z_n=1+ni,\quad n\in\mathbb{N}. \] 1) حدّد صورة \(z_n\) هندسيًا (إحداثيات النقطة المرتبطة). 2) أحسب \(|z_n|\). 3) ماذا يمكن أن نقول عن سلوك \(|z_n|\) عندما \(n\to+\infty\)؟

1) لدينا: \[ z_n=1+ni\Rightarrow M_n(1,n). \] أي أن جميع النقط \(M_n\) لها الفاصلة 1 وترتيبة \(n\). فهي تقع على مستقيم عمودي على محور الأفاصيل يمر عبر \(x=1\). 2) \[ |z_n|=\sqrt{1^2+n^2}=\sqrt{1+n^2}. \] 3) عندما \(n\to+\infty\)، يكون: \[ \sqrt{1+n^2}\sim |n|\to+\infty. \] إذن \(|z_n|\) غير محدود ويكبر بدون حدّ، أي إن النقط \(M_n\) تبتعد عن الأصل \(O\) كلّما كبر \(n\).

9) خلاصة — الأعداد العقدية (الجزء الأول)

  • كل عدد عقدي يكتب في الشكل الجبري \(z=a+bi\) مع \(a,b\in\mathbb{R}\) و\(i^2=-1\).
  • \(\Re(z)=a\)، \(\Im(z)=b\)، والأعداد الحقيقية جزء من \(\mathbb{C}\) بكتابة \(x+0i\).
  • التمثيل الهندسي: العدد العقدي \(z=a+bi\) مرتبط بالنقطة \(M(a,b)\) في المستوى.
  • العمليات (جمع، طرح، ضرب، قسمة) تُنجز بالتلاعب الجبري مع استعمال \(i^2=-1\).
  • المرافق: \(\overline{a+bi}=a-bi\)، و\(z\overline{z}=a^2+b^2=|z|^2\).
  • المعيار: \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\) يمثّل طول الشعاع \(\overrightarrow{OM}\).
  • يمكن استعمال الأعداد العقدية لحلّ معادلات من الدرجة الثانية بمميّز سالب (لا حلول حقيقية).

2 باك علوم فيزيائية — الأعداد العقدية (الجزء الأول) — neobac.ma