الاشتقاق

1) لماذا نحتاج إلى الاشتقاق في 2 باك علوم فيزيائية ؟

في شعبة العلوم الفيزيائية، الاشتقاق أداة أساسية لـدراسة تغير الدوال (تزايد، تناقص، قيم قصوى) وفهم السرعة الفورية في الفيزياء (سرعة حركة، شدة تيار تتغير مع الزمن، …).

  • الاشتقاق يربط بين النهايات والمماس والتغيرات.
  • كل مرة ترى عبارة «سرعة آنية»، «تزايد/تناقص»، «أكبر قيمة» → فكّر مباشرة في المشتق.

في الامتحان الوطني، أسئلة الاشتقاق غالباً مرتبطة بدراسة دالة، رسم منحنى، أو تفسير فيزيائي (سرعة، شدة، قدرة…).

2) التعريف الحدّي للمشتق عند نقطة

تعريف

لتكن \(f\) دالة معرفة على مجال يحتوي العدد \(a\). نقول إن الدالة \(f\) قابلة للاشتقاق في \(a\) إذا وُجدت النهاية:

\(f'(a)=\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)

إذا وُجدت هذه النهاية وكانت عددًا حقيقيًا، نسمي العدد \(f'(a)\) المشتق في \(a\).

  • إذا كانت \(f\) قابلة للاشتقاق في \(a\) ⇒ فهي مستمرة في \(a\).
  • العكس غير صحيح دائماً: الاستمرارية لا تكفي للاشتقاق (زوايا، رؤوس…).

مثال بسيط

لتكن \(f(x)=x^2\). لدينا:

\(\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{x^2-a^2}{x-a}=\frac{(x-a)(x+a)}{x-a}=x+a\) إذا \(x\neq a\).

\(\displaystyle f'(a)=\lim_{x\to a}(x+a)=2a.\)

إذن \(f'(a)=2a\) ومنه \(f'(x)=2x\) لكل \(x\in\mathbb{R}\).

3) التفسير الهندسي والفيزيائي للمشتق

هندسياً

  • نعتبر منحنى الدالة \(C_f\) في معلم متعامد منسوب إلى \(O\). المشتق \(f'(a)\) هو ميل المماس لـ \(C_f\) في النقطة ذات الفاصلة \(a\).
  • معادلة المماس في \(a\) تكتب عادة: \(\displaystyle y=f'(a)(x-a)+f(a)\).

فيزيائياً (سرعة آنية)

إذا كان متغير فيزيائي \(s(t)\) (مسافة، شحنة، كمية مادة…) بدلالة الزمن، فإن \(s'(t)\) يمثل السرعة الآنية للتغير:

  • \(x(t)\) مسافة ⇒ \(x'(t)\) سرعة (م/ث).
  • \(q(t)\) شحنة ⇒ \(q'(t)\) شدة تيار (أمبير).

4) دالة المشتق على مجال

إذا كانت \(f\) قابلة للاشتقاق في كل نقطة من مجال \(I\)، يمكن تعريف دالة جديدة \(f'\) على \(I\) بحيث:

لكل \(x\in I\)، \(f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.\)

ترميز

  • \(f'(x)\) أو \(\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x)\).
  • إذا كانت \(y=f(x)\) ⇒ يمكن كتابة \(y'(x)\) أو \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\).

5) قواعد الاشتقاق الأساسية

قواعد خطية

  • \((c)'=0\) لأي ثابت \(c\).
  • \((cf)'(x)=c\,f'(x)\) حيث \(c\) ثابت.
  • \((f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)\).
  • \((f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)\).

قواعد الجداء والخارج

  • \((fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\).
  • إذا كان \(g(x)\neq0\): \(\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\).

اشتقاق تركيب بسيط من النوع \(u(ax+b)\)

إذا كانت \(u\) قابلة للاشتقاق و\(g(x)=ax+b\) فإن: \[ (u\circ g)'(x)=u'(g(x))\cdot g'(x)=a\,u'(ax+b). \]

في المستوى Bac، نحتاج غالباً إلى هذه القواعد مع الدوال القياسية (قوى، جذر، أسي، لوغاريتم، جيب، جيب تمام…)

6) مشتقات الدوال الأولية (مستوى 2 باك علوم فيزيائية)

دوال كثيرات الحدود والجذور

  • \((x^n)'=n x^{n-1}\) حيث \(n\in\mathbb{Z}\) و\(n\ge 1\).
  • \((ax+b)'=a\).
  • \(\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2}\) على \(\mathbb{R}^\ast\).
  • \(\left(\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) على \(]0,+\infty[\).

الدالة الأسية واللوغاريتمية (إذا كانت في البرنامج)

  • \((e^x)'=e^x\).
  • \((\ln x)'=\dfrac{1}{x}\) على \(]0,+\infty[\).

الدوال المثلثية (إن كانت مطلوبة)

  • \((\sin x)'=\cos x\).
  • \((\cos x)'=-\sin x\).

أمثلة تطبيقية

  • \(f(x)=3x^2-5x+1 \Rightarrow f'(x)=6x-5\).
  • \(g(x)=\sqrt{x} \Rightarrow g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) على \(]0,+\infty[\).
  • \(h(x)=\dfrac{1}{x} \Rightarrow h'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\) على \(\mathbb{R}^\ast\).

جدول تلخيص المشتقات المستعملة بكثرة

الدالة \(f(x)\) المشتق \(f'(x)\) مجال التعريف
\(c\)\(0\)\(\mathbb{R}\)
\(x\)\(1\)\(\mathbb{R}\)
\(x^n\)\(n x^{n-1}\)\(\mathbb{R}\)
\(\dfrac{1}{x}\)\(-\dfrac{1}{x^2}\)\(\mathbb{R}^\ast\)
\(\sqrt{x}\)\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)\(]0,+\infty[\)
\(e^x\)\(e^x\)\(\mathbb{R}\)
\(\ln x\)\(\dfrac{1}{x}\)\(]0,+\infty[\)

7) المشتق، المماس، والتزايد/التناقص

إشارة المشتق والتغيرات

  • إذا كان \(f'(x) > 0\) على مجال ⇒ \(f\) متزايدة على ذلك المجال.
  • إذا كان \(f'(x) < 0\) ⇒ \(f\) متناقصة.
  • إذا تغيّرت إشارة \(f'\) من \(+\) إلى \(-\) في نقطة \(a\) ⇒ \(f(a)\) أقصى محلي.
  • إذا تغيّرت من \(-\) إلى \(+\) ⇒ \(f(a)\) أدنى محلي.

معادلة المماس في نقطة من المنحنى

إذا كانت \(f\) قابلة للاشتقاق في \(a\)، ونقطة التماس هي \(A(a,f(a))\)، فإن معادلة المماس إلى المنحنى \(C_f\) في \(A\) هي:

\(y=f'(a)(x-a)+f(a).\)

مثال نموذجي Bac

لتكن \(f(x)=x^2-4x+1\). نحسب \(f'(x)=2x-4\). نريد معادلة المماس في النقطة ذات الفاصلة \(x=1\).

  • \(f'(1)=2\cdot1-4=-2\).
  • \(f(1)=1-4+1=-2\).

إذن معادلة المماس: \(y=-2(x-1)-2=-2x\).

8) منهجية دراسة دالة باستعمال الاشتقاق (نموذج وطني)

  1. تحديد مجال التعريف بدقة.
  2. حساب \(f'(x)\) وتبسيطه قدر الإمكان.
  3. دراسة إشارة المشتق (مقارنة ببعض الحدود، تحليل جداء/خارج…).
  4. إنشاء جدول التغيرات (x، \(f'(x)\)، \(f(x)\)).
  5. استنتاج التزايد/التناقص، القيم القصوى، ثم استعمالها في الأسئلة الموالية (مساحة، سرعة، فيزياء…).

9) تمارين تطبيقية (12 تمرين) مع حلول مفصلة

التمرين 1 — حساب مشتق دالة كثير حدود

لتكن \(f(x)=2x^3-3x^2+5x-4\). احسب \(f'(x)\).

باستعمال \((x^n)'=n x^{n-1}\): \(f'(x)=2\cdot3x^2-3\cdot2x+5=6x^2-6x+5.\)

التمرين 2 — اشتقاق خارج دالتين

لتكن \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}\) على \(\mathbb{R}^\ast\). احسب \(f'(x)\).

نكتب \(f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\) حيث \(u(x)=x^2+1\), \(v(x)=x\). إذن \(u'(x)=2x\), \(v'(x)=1\). \[ f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} =\frac{2x\cdot x-(x^2+1)\cdot1}{x^2} =\frac{x^2-1}{x^2}. \]

التمرين 3 — مشتق دالة جذرية

لتكن \(f(x)=\sqrt{x}+2x\) على \(]0,+\infty[\). احسب \(f'(x)\).

لدينا \((\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) و\((2x)'=2\). إذن \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+2\).

التمرين 4 — دراسة إشارة المشتق والتغيرات

لتكن \(f(x)=x^2-4x+3\). احسب \(f'(x)\) ثم حدد تغيرات \(f\) على \(\mathbb{R}\).

\(f'(x)=2x-4=2(x-2)\). إشارة \(f'(x)\):

  • إذا \(x<2\) ⇒ \(x-2<0\) ⇒ \(f'(x)<0\) ⇒ \(f\) متناقصة على \((-\infty,2]\).
  • إذا \(x>2\) ⇒ \(x-2>0\) ⇒ \(f'(x)>0\) ⇒ \(f\) متزايدة على \([2,+\infty)\).

نحسب \(f(2)=4-8+3=-1\). إذن \(f\) تقبل أدنى محلي في \(x=2\) بقيمة \(-1\).

التمرين 5 — معادلة مماس

لتكن \(f(x)=x^3\). أوجد معادلة المماس لـ\(C_f\) في النقطة ذات الفاصلة \(x=1\).

\(f'(x)=3x^2\) ⇒ \(f'(1)=3\). كما أن \(f(1)=1\). معادلة المماس: \[ y=f'(1)(x-1)+f(1)=3(x-1)+1=3x-2. \]

التمرين 6 — ارتباط فيزيائي (سرعة)

حركة مستقيمة موصوفة بـ \(x(t)=t^2+3t\) (بالمتر) حيث \(t\) بالثواني. احسب السرعة الآنية \(v(t)\) ثم \(v(2)\).

السرعة الآنية \(v(t)=x'(t)\). لدينا \(x'(t)=2t+3\). إذن \(v(2)=2\cdot2+3=7\ \text{m·s}^{-1}\).

التمرين 7 — استعمال جدول التغيرات للبحث عن قيم قصوى

لتكن \(f(x)=x-\ln x\) على \(]0,+\infty[\). احسب \(f'(x)\) وحدد اتجاه تغير \(f\).

\(f'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}\). إشارة \(f'(x)\) هي إشارة \(x-1\) لأن \(x>0\):

  • \(0<x<1\) ⇒ \(x-1<0\) ⇒ \(f'(x)<0\).
  • \(x>1\) ⇒ \(x-1>0\) ⇒ \(f'(x)>0\).

إذن \(f\) متناقصة على \(]0,1]\) ومتزايدة على \([1,+\infty[\) وتقبل أدنى محلي في \(x=1\).

التمرين 8 — تركيب بسيط من النوع \(u(ax+b)\)

لتكن \(f(x)=\sqrt{2x+1}\) على المجال حيث \(2x+1>0\). احسب \(f'(x)\).

نكتب \(u(t)=\sqrt{t}\) حيث \(t=2x+1\). \(u'(t)=\dfrac{1}{2\sqrt{t}}\) و\(t'(x)=2\). إذن \(f'(x)=u'(t)\cdot t'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{2x+1}}\cdot2=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}.\)

التمرين 9 — دالة نسبية وجدول تغيراتها

لتكن \(f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}\) على \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\). احسب \(f'(x)\) وادرس إشارة \(f'(x)\).

\(u(x)=x+1, u'(x)=1\) و\(v(x)=x-1, v'(x)=1\). \[ f'(x)=\frac{(1)(x-1)-(x+1)(1)}{(x-1)^2} =\frac{x-1-x-1}{(x-1)^2} =\frac{-2}{(x-1)^2}. \] المقام دائمًا موجب (ما عدا \(x=1\) غير منتمي للمجال) ⇒ إشارة \(f'(x)\) هي إشارة \(-2\) أي سالبة دائماً. إذن \(f\) متناقصة تماماً على كل مجال تعريفها.

التمرين 10 — تعيين نقطة قصوى باستعمال المشتق

لتكن \(f(x)=-x^2+4x+1\). أوجد إحداثيتي النقطة التي يكون فيها \(f\) أكبر ما يمكن.

\(f'(x)=-2x+4=-2(x-2)\). \(f'(x)=0 \iff x=2\). إشارة \(f'(x)\): موجبة قبل 2 وسالبة بعد 2 ⇒ \(f\) متزايدة ثم متناقصة ⇒ أقصى محلي في \(x=2\).

قيمة الدالة: \(f(2)=-4+8+1=5\). إذن النقطة القصوى هي \(A(2,5)\).

التمرين 11 — سؤال قصير على الاستمرارية والاشتقاق

هل يكفي أن تكون الدالة \(f\) مستمرة في \(a\) لكي تكون قابلة للاشتقاق في \(a\) ؟ علل بإعطاء مثال.

الجواب: لا. مثال دالة القيمة المطلقة \(f(x)=|x|\). هي مستمرة في \(0\) لكن لا تقبل مشتقاً في \(0\) لأن: \[ \lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=-1,\quad \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=1 \] والنهايتان غير متساويتين.

التمرين 12 — تمرين شامل (مماس + تغيرات)

لتكن \(f(x)=x^3-3x\).
1) احسب \(f'(x)\).
2) أوجد معادلة المماس في النقطة ذات الفاصلة \(x=1\).
3) ادرس تغيرات \(f\) على \(\mathbb{R}\).

1) \(f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)\).

2) \(f'(1)=3(1-1)(1+1)=0\), \(f(1)=1-3=-2\). معادلة المماس الأفقي: \(y=-2\).

3) إشارة \(f'(x)\) تعادل إشارة \((x-1)(x+1)\):

  • \(x<-1\): جداء موجب ⇒ \(f'(x)>0\) ⇒ \(f\) متزايدة.
  • \(-1<x<1\): جداء سالب ⇒ \(f'(x)<0\) ⇒ \(f\) متناقصة.
  • \(x>1\): جداء موجب ⇒ \(f'(x)>0\) ⇒ \(f\) متزايدة.

إذن \(f\) تقبل أقصى محلي في \(x=-1\) وأدنى محلي في \(x=1\) مع القيم \(f(-1)= -1+3=2\) و\(f(1)=-2\).

10) خلاصة سريعة للاشتقاق (بطاقة مراجعة)

  • التعريف: \(f'(a)=\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) إذا وُجدت النهاية.
  • قابلية الاشتقاق ⇒ استمرارية، لكن العكس غير صحيح دائماً.
  • المشتق = ميل المماس = سرعة آنية للتغير في التطبيقات الفيزيائية.
  • استعمل قواعد الاشتقاق + جدول المشتقات الأولية لحساب \(f'(x)\) بسرعة.
  • إشارة \(f'(x)\) تعطي التزايد/التناقص والقيم القصوى عبر جدول التغيرات.

2 باك علوم فيزيائية — الاشتقاق — neobac.ma