المعادلات التفاضلية

1) مقدمة — ما هي المعادلة التفاضلية في برنامج 2 باك علوم فيزيائية؟

المعادلة التفاضلية هي علاقة تربط دالة مجهولة بمشتقاتها. في برنامج الرياضيات للسنة الثانية باكالوريا علوم فيزيائية ندرس غالبًا:

  • معادلات تفاضلية من الرتبة الأولى على الشكل: \[ y' = f(x,y) \] أو بأشكال مكافئة بسيطة.
  • خصوصًا المعادلات من الشكل: \[ y' + a y = b \quad\text{و}\quad y' + a y = f(x), \] حيث \(a,b\) ثوابت حقيقية و\(f\) دالة بسيطة (أسية، كثير حدود...)

في الامتحان الوطني، هدف التلميذ هو:

  • التعرّف بسرعة على شكل المعادلة (مثلاً \(y'+ay=b\)).
  • استرجاع القوانين الجاهزة لطريقة الحل.
  • الربط بين الحل والتحقق (تعويض الحل في المعادلة).

2) مفاهيم أساسية: حل عام، حل خاص، شرط ابتدائي

تعريفات مهمة

  • حل لمعادلة تفاضلية: دالة \(y\) معرفة وقابلة للاشتقاق على مجال \(I\) وتحقق المعادلة التفاضلية لكل \(x\in I\).
  • حل عام: عائلة من الحلول تحتوي على ثابت (أو أكثر) مثل \[ y(x)=Ce^{-ax}+\frac{b}{a}. \]
  • حل خاص: حل معيّن نحصُل عليه باستعمال شرط ابتدائي من نوع: \[ y(x_0)=y_0. \]

مثال سريع

المعادلة: \[ y'+2y=0 \] لها حل عام: \[ y(x)=Ce^{-2x}. \] إذا أعطيت الحالة الابتدائية \(y(0)=3\)، نحصل على: \[ 3=C e^0 \Rightarrow C=3 \Rightarrow y(x)=3e^{-2x}. \]

3) المعادلة \(y'+ay=0\) — نموذج أساسي

تعريف

معادلة من الشكل: \[ (E_0)\quad y'+a y=0,\quad a\in\mathbb{R}, \] تسمّى معادلة تفاضلية خطية متجانسة من الرتبة الأولى ذات معاملات ثابتة.

خاصية وحل عام

حل المعادلة: \[ y'+ay=0 \] هو: \[ y(x)=C e^{-ax},\quad C\in\mathbb{R}. \]

فكرة البرهان (مختصرة كما في الباك)

نكتب: \[ y'+ay=0 \Rightarrow \frac{y'}{y}=-a \quad (y\neq0). \] ندمج: \[ \int\frac{y'}{y}\,\mathrm{d}x=\int -a\,\mathrm{d}x \Rightarrow \ln|y|=-ax+K. \] إذن: \[ |y|=e^{K}e^{-ax} \Rightarrow y=Ce^{-ax}. \]

مثال

حل: \[ y'-3y=0. \] نكتب: \[ a=-3\Rightarrow y(x)=Ce^{-(-3)x}=Ce^{3x}. \]

4) المعادلة \(y'+ay=b\) — حالة أساسية في البرنامج

المعادلة: \[ (E)\quad y'+ay=b,\quad a,b\in\mathbb{R},\ a\neq0, \] تسمى معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الأولى غير متجانسة.

بنية الحل

1) حل المعادلة المتجانسة الموافقة: \[ (E_0)\quad y'+ay=0 \Rightarrow y_h(x)=C e^{-ax}. \]

2) نبحث عن حل ثابت \(y_p\) لـ \((E)\) (حل خاص): إذا افترضنا \(y_p\) ثابتًا، فـ \(y_p'=0\) و: \[ 0 + a y_p = b \Rightarrow y_p=\frac{b}{a}. \]

3) الحل العام: \[ y(x)=y_h(x)+y_p=\frac{b}{a}+C e^{-ax}. \]

مثال

حل: \[ y'+2y=6. \] المتجانسة: \(y'+2y=0 \Rightarrow y_h=Ce^{-2x}\). حل ثابت: نفترض \(y_p=k\) ثابتًا: \[ 0+2k=6 \Rightarrow k=3. \] إذن: \[ y(x)=3+Ce^{-2x}. \]

في الوطني، يكفي غالبًا كتابة السطر: \[ y(x)=\frac{b}{a}+Ce^{-ax} \] مع تعويض لتحديد \(C\) من شرط ابتدائي.

5) المعادلة \(y'+ay=f(x)\) حيث \(f(x)\) دالة بسيطة

نعتبر: \[ (E_f)\quad y'+ay=f(x),\quad a\in\mathbb{R},\ a\neq0. \] الحل العام يكون دائمًا من الشكل: \[ y(x)=y_h(x)+y_p(x), \] حيث \(y_h\) حل المعادلة المتجانسة و\(y_p\) حل خاص لـ \((E_f)\).

اختيار حل خاص حسب شكل \(f(x)\)

  • إذا كانت \(f(x)=\lambda e^{kx}\) (\(\lambda,k\) ثوابت)، نجرب: \[ y_p(x)=A e^{kx}, \] ونعوّض في المعادلة للحصول على \(A\).
  • إذا كانت \(f(x)\) كثير حدود (مثلاً \(ax+b\))، نجرب كثيرة حدود من نفس الدرجة.

مثال 1 — \(f(x)=e^x\)

حل: \[ y'+y=e^x. \] المتجانسة: \[ y'+y=0\Rightarrow y_h=Ce^{-x}. \] نبحث عن حل خاص من الشكل \(y_p=A e^x\). نحسب: \[ y_p'=A e^x. \] بالتعويض: \[ y_p'+y_p = A e^x + A e^x = 2A e^x. \] نريد: \[ 2A e^x = e^x \Rightarrow 2A=1 \Rightarrow A=\frac12. \] إذن: \[ y_p(x)=\frac12 e^x,\quad y(x)=Ce^{-x}+\frac12 e^x. \]

مثال 2 — \(f(x)=2x\)

حل: \[ y'-3y=2x. \] المتجانسة: \[ y'-3y=0\Rightarrow y_h=Ce^{3x}. \] نبحث عن حل خاص \(y_p\) من الشكل: \[ y_p(x)=ax+b. \] إذن: \[ y_p'=a. \] بالتعويض: \[ a-3(ax+b)=2x \Rightarrow a-3ax-3b=2x. \] بمقارنة معاملات \(x\) والثوابت:
\(-3a=2 \Rightarrow a=-\frac{2}{3}\) و \(a-3b=0 \Rightarrow -\frac{2}{3}-3b=0 \Rightarrow b=-\frac{2}{9}.\)
إذن: \[ y_p(x)=-\frac{2}{3}x-\frac{2}{9},\quad y(x)=Ce^{3x}-\frac{2}{3}x-\frac{2}{9}. \]

6) مثال فيزيائي بسيط (شحن وتفريغ مكثف RC)

في دارة كهربائية من النوع \(RC\)، تطبّق العلاقة (بصيغة مبسطة): \[ u_C'(t)+\frac{1}{RC}u_C(t)=\frac{E}{RC}, \] حيث:

  • \(u_C(t)\): توتر المكثف عند اللحظة \(t\).
  • \(E\): توتر المصدر المستمر.
  • \(R,C\): ثابتتا المقاومة والسعة.

هذه معادلة تفاضلية من الشكل: \[ y'+ay=b, \] وحلها في الرياضيات هو: \[ u_C(t)=E + C_0 e^{-\frac{t}{RC}}. \] بتطبيق الحالة الابتدائية \(u_C(0)=0\) (مكثف فارغ)، نجد: \[ 0=E+C_0 \Rightarrow C_0=-E \Rightarrow u_C(t)=E(1-e^{-\frac{t}{RC}}). \]

هذا النوع من المعادلات يعطى كثيرًا في الفيزياء، لكن في الامتحان الوطني في الرياضيات يُطلب فقط الجانب الحسابي والمنهجي (حل المعادلة والتحقق).

7) منهجية عامة لحل معادلة من الشكل \(y'+ay=f(x)\)

  1. التعرّف على الثابت \(a\) والدالة \(f(x)\).
  2. حل المعادلة المتجانسة \(y'+ay=0\Rightarrow y_h=Ce^{-ax}\).
  3. اقتراح شكل ملائم لـ \(y_p\) حسب طبيعة \(f(x)\).
  4. حساب \(y_p'\) وتعويضه في المعادلة لإيجاد معاملات الشكل المقترح.
  5. كتابة الحل العام: \[ y(x)=y_h(x)+y_p(x). \]
  6. استعمال الشرط الابتدائي إن وجد لتحديد الثابت \(C\).
  7. التحقق النهائي بتعويض \(y\) و\(y'\) في المعادلة الأصلية.

8) تمارين تطبيقية (10 تمارين) مع حلول مفصّلة

التمرين 1 — حل المعادلة المتجانسة \(y'+3y=0\)

حل في \(\mathbb{R}\) المعادلة التفاضلية: \[ y'+3y=0. \]

معادلة من الشكل \(y'+ay=0\) مع \(a=3\). الحل العام هو: \[ y(x)=Ce^{-3x},\quad C\in\mathbb{R}. \]

التمرين 2 — معادلة من الشكل \(y'+2y=4\)

حل المعادلة: \[ y'+2y=4. \]

المتجانسة: \[ y'+2y=0 \Rightarrow y_h=Ce^{-2x}. \] نبحث عن حل ثابت \(y_p=k\): \[ 0+2k=4\Rightarrow k=2. \] إذن الحل العام: \[ y(x)=2+Ce^{-2x}. \]

التمرين 3 — شرط ابتدائي

نعتبر المعادلة: \[ y'+2y=4 \] مع الشرط الابتدائي: \[ y(0)=1. \] أوجد الحل الخاص.

من التمرين السابق: \[ y(x)=2+Ce^{-2x}. \] نستعمل \(y(0)=1\): \[ 1=2+C e^0 \Rightarrow C=-1. \] إذن: \[ y(x)=2-e^{-2x}. \]

التمرين 4 — معادلة \(y'+y=e^x\)

حل المعادلة: \[ y'+y=e^x. \]

المتجانسة: \[ y'+y=0\Rightarrow y_h=Ce^{-x}. \] نبحث عن حل خاص من الشكل \(y_p=Ae^x\). نحسب: \[ y_p'=Ae^x,\quad y_p'+y_p=2A e^x. \] نريد \(2A e^x=e^x\Rightarrow A=\frac12.\) إذن: \[ y_p(x)=\frac12 e^x,\quad y(x)=Ce^{-x}+\frac12 e^x. \]

التمرين 5 — معادلة \(y'-3y=2x\)

حل في \(\mathbb{R}\): \[ y'-3y=2x. \]

المتجانسة: \[ y'-3y=0\Rightarrow y_h=Ce^{3x}. \] نبحث عن حل خاص من الشكل \(y_p(x)=ax+b\). إذن: \[ y_p'=a,\quad y_p'-3y_p = a-3(ax+b)=a-3ax-3b. \] نساويها مع \(2x\): \[ a-3ax-3b=2x. \] مقارنة المعاملات:
\(-3a=2\Rightarrow a=-\frac{2}{3}\) و \(a-3b=0\Rightarrow -\frac{2}{3}-3b=0\Rightarrow b=-\frac{2}{9}.\)
إذن: \[ y_p(x)=-\frac{2}{3}x-\frac{2}{9},\quad y(x)=Ce^{3x}-\frac{2}{3}x-\frac{2}{9}. \]

التمرين 6 — شرط ابتدائي مع \(y'-3y=2x\)

استعمل نتيجة التمرين السابق لإيجاد الحل الذي يحقق: \[ y(0)=1. \]

لدينا: \[ y(x)=Ce^{3x}-\frac{2}{3}x-\frac{2}{9}. \] بالتعويض في \(x=0\): \[ 1=y(0)=C-\frac{2}{9}\Rightarrow C=1+\frac{2}{9}=\frac{11}{9}. \] إذن: \[ y(x)=\frac{11}{9}e^{3x}-\frac{2}{3}x-\frac{2}{9}. \]

التمرين 7 — تحديد ثوابت من خلال التحقق

نعتبر الدالة: \[ y(x)=Ae^{-2x}+1. \] 1) أوجد \(y'(x)\). 2) بيّن أن \(y\) حل للمعادلة: \[ y'+2y=2 \] لأي \(A\in\mathbb{R}\).

1) لدينا: \[ y'(x)=-2Ae^{-2x}. \]

2) نحسب: \[ y'+2y=-2Ae^{-2x}+2\left(Ae^{-2x}+1\right)=-2Ae^{-2x}+2Ae^{-2x}+2=2. \] إذن: \[ y'+2y=2 \] مهما يكن \(A\)، وبالتالي \(y\) حل للمعادلة.

التمرين 8 — معادلة فيزيائية مبسطة

تُعطى المعادلة: \[ u'(t)+5u(t)=10,\quad (t\ge0), \] مع الشرط الابتدائي: \[ u(0)=0. \] 1) أوجد الحل العام. 2) أوجد الحل الذي يحقق الشرط الابتدائي.

1) معادلة من الشكل \(y'+ay=b\) مع \(a=5,b=10\). الحل العام: \[ u(t)=\frac{b}{a}+Ce^{-at}=2+Ce^{-5t}. \]

2) باستعمال \(u(0)=0\): \[ 0=2+C\Rightarrow C=-2. \] إذن: \[ u(t)=2-2e^{-5t}. \]

التمرين 9 — اختيار شكل الحل الخاص

نعتبر المعادلة: \[ y'+4y=3e^{2x}. \] اقترح شكلًا للحل الخاص \(y_p\)، ثم أوجد الحل العام.

بما أن \(f(x)=3e^{2x}\)، نجرب: \[ y_p(x)=A e^{2x}. \] إذن: \[ y_p'=2A e^{2x}. \] بالتعويض: \[ y_p'+4y_p=2A e^{2x}+4A e^{2x}=6A e^{2x}. \] نريد: \[ 6A e^{2x}=3e^{2x}\Rightarrow 6A=3\Rightarrow A=\frac{1}{2}. \] إذن: \[ y_p(x)=\frac12 e^{2x}. \] المتجانسة: \[ y'+4y=0\Rightarrow y_h=Ce^{-4x}. \] الحل العام: \[ y(x)=Ce^{-4x}+\frac12 e^{2x}. \]

التمرين 10 — كثير حدود كمصدر

حل المعادلة: \[ y'+y=x. \]

المتجانسة: \[ y'+y=0\Rightarrow y_h=Ce^{-x}. \] بما أن \(f(x)=x\) كثير حدود من الدرجة 1، نجرب: \[ y_p(x)=ax+b. \] نحسب: \[ y_p'=a,\quad y_p'+y_p=a+ax+b. \] نريد: \[ a+ax+b=x. \] مقارنة معاملات \(x\) والثوابت:
معامل \(x\): \(a=1\). الثابت: \(a+b=0\Rightarrow 1+b=0\Rightarrow b=-1.\)
إذن: \[ y_p(x)=x-1. \] الحل العام: \[ y(x)=Ce^{-x}+x-1. \]

9) خلاصة سريعة — المعادلات التفاضلية في 2 باك علوم فيزيائية

  • المعادلات المدروسة في البرنامج غالبًا من الشكل: \[ y'+ay=b\quad \text{أو}\quad y'+ay=f(x). \]
  • المعادلة المتجانسة: \[ y'+ay=0\Rightarrow y_h(x)=Ce^{-ax}. \]
  • عند وجود ثابت \(b\): \[ y'+ay=b\Rightarrow y(x)=\frac{b}{a}+Ce^{-ax}. \]
  • عند وجود \(f(x)\) بسيطة، نختار حلًا خاصًا بنفس طبيعة \(f(x)\) (أسية، كثير حدود...).
  • الحل العام دائمًا: \[ y=y_h+y_p. \]
  • الشرط الابتدائي (مثل \(y(x_0)=y_0\)) يسمح بتحديد الثابت \(C\).
  • خطوة التحقق (تعويض \(y\) و\(y'\) في المعادلة) مهمّة لتجنّب الأخطاء في الوطني.

2 باك علوم فيزيائية — المعادلات التفاضلية — neobac.ma