Circuit RLC série en régime sinusoïdal forcé

1) Modèle et rappels : impédances & loi des mailles

En régime sinusoïdal, on représente les tensions et courants par des phasors (complexes). Pour un RLC série alimenté par \(u_E(t)=U_m\sin(\omega t)\), les impédances sont :

\(Z_R=R\)
\(Z_L=j\omega L\)
\(Z_C=\dfrac{1}{j\omega C}=-\dfrac{j}{\omega C}\)

Impédance équivalente : \(\displaystyle \boxed{Z=R+j\!\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)}.\)

Module : \(\displaystyle |Z|=\sqrt{R^2+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}\).
Phase (courant par rapport à la source) : \(\displaystyle \boxed{\varphi=\arg(Z)=\arctan\!\left(\dfrac{\omega L-\dfrac{1}{\omega C}}{R}\right)}.\)
Courant efficace : \(\displaystyle I=\dfrac{U}{|Z|}\) où \(U\) est la valeur efficace de la source.

Figure A — Triangle d’impédance du RLC série.

Figure B — Circuit RLC série alimenté sinusoïdalement.

2) Résonance série et bande passante

Résonance série quand \(\omega L=\dfrac{1}{\omega C}\) ⇔ \(\displaystyle \boxed{\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}}\). Alors \(Z=R\), \(|Z|\) minimal et \(I\) maximal. Phase \(\varphi=0\) (courant en phase avec la source).

Facteur de qualité : \(\displaystyle \boxed{Q=\frac{\omega_0 L}{R}=\frac{1}{\omega_0 RC}}\).
Bande passante : \(\displaystyle \boxed{\Delta\omega=\omega_2-\omega_1=\frac{R}{L}=\frac{\omega_0}{Q}}\).
Fréquences à \(-3\,\text{dB}\) (puissance moitié) : solutions de \(|Z|=\sqrt{2}R\) ⇔ \(\big|\omega L-1/(\omega C)\big|=R\).
Approx. \(Q\gg1\) : \(\omega_{1,2}\approx \omega_0\left(1\mp \dfrac{1}{2Q}\right)\).

Figure C — Courant en fonction de \(\omega\) : pic de résonance et bande passante.

Figure D — Déphasage \(\varphi(\omega)\) : inductif (\(\varphi>0\)) au-dessus de \(\omega_0\), capacitif (\(\varphi<0\)) en dessous.

3) Tensions partielles, surtension et diagrammes de Fresnel

Le courant est commun dans un montage série : \(\vec I\). Les tensions efficaces sont :

\(|U_R|=IR\) (en phase avec \(I\)),
\(|U_L|=I\omega L\) (en avance de \(+90^\circ\)),
\(|U_C|=\dfrac{I}{\omega C}\) (en retard de \(90^\circ\)).

À la résonance, \(U_L\) et \(U_C\) peuvent être **très grands** (effet de surtension) bien que la source soit modérée :

\(\displaystyle \boxed{\ |U_L|_{\omega_0}=|U_C|_{\omega_0}=Q\,U\ }\) (approx. pour \(Q\gg1\)).

Figure E — Diagramme de Fresnel (ici régime inductif).

4) Puissances, facteur de puissance et courbes

Puissance active moyenne : \(\displaystyle \boxed{P=U\,I\,\cos\varphi=I^2R}\).
Puissance réactive : \(Q=U\,I\,\sin\varphi\) (positive si inductif, négative si capacitif).
Puissance apparente : \(S=U\,I\), \(\cos\varphi=P/S\).
À la résonance série : \(\varphi=0\Rightarrow \cos\varphi=1\) ⇒ facteur de puissance optimal.

En pratique, on peut **compenser** le déphasage (améliorer \(\cos\varphi\)) en ajustant \(C\) ou \(L\) pour se rapprocher de la résonance.

5) Courbes de Bode qualitatives (module/phase du courant)

Le « gain courant » \(\displaystyle G_I(\omega)=\dfrac{I(\omega)}{U}=\dfrac{1}{|Z|}\). On examine \(|G_I|\) et \(\varphi(\omega)\).

Bas \(\omega\) (capacitif) : \(|Z|\approx 1/(\omega C)\Rightarrow I\propto \omega\).
Haut \(\omega\) (inductif) : \(|Z|\approx \omega L\Rightarrow I\propto 1/\omega\).
Pic à \(\omega_0\) : \(I_{\max}=U/R.\)

Figure F — Bode qualitatif du courant.

6) Méthodologie Bac : étapes de résolution

Écrire \(Z=R+j\!\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)\), calculer \(|Z|\) et \(\varphi\).
Trouver \(I=\dfrac{U}{|Z|}\) et la nature du régime (capacitif/inductif) via le signe de \(\omega L-1/(\omega C)\).
Déterminer \(|U_R|,|U_L|,|U_C|\) puis le **phasor** \(\vec U\) par somme vectorielle.
Si question de résonance : \(\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\), \(Q=\dfrac{\omega_0 L}{R}\), \(\Delta\omega=R/L\).

7) Exemples chiffrés guidés

Exemple 1 — Courant et phase : \(R=20\ \Omega\), \(L=50\ \text{mH}\), \(C=3{,}3\ \mu\text{F}\), \(f=200\ \text{Hz}\), \(U=10\ \text{V}\). \(\omega=1256\), \(\omega L=62{,}8\), \(1/(\omega C)=1/(1256\times3{,}3\times10^{-6})\approx 241\). \(|Z|=\sqrt{20^2+(62{,}8-241)^2}\approx 181\ \Omega\). \(I=10/181=55{,}2\ \text{mA}\), \(\varphi=\arctan((62{,}8-241)/20)\approx -83^\circ\) (capacitif).

Exemple 2 — Résonance & Q : même \(L,C\). \(\omega_0=1/\sqrt{LC}=1/\sqrt{50\times10^{-3}\cdot3{,}3\times10^{-6}}=2451\ \text{rad·s}^{-1}\) (\(f_0\approx 390\ \text{Hz}\)). Si \(R=10\ \Omega\), alors \(Q=\omega_0 L/R\approx (2451\times0{,}05)/10\approx 12{,}3\). \(\Delta\omega=\omega_0/Q\approx 199\ \text{rad·s}^{-1}\) (\(\Delta f\approx 31{,}6\ \text{Hz}\)).

8) Erreurs fréquentes et pièges

Oublier le signe de \(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\) ⇒ mauvais quadrant pour \(\varphi\).
Confondre \(\Delta\omega=\dfrac{R}{L}\) (série) avec \(\dfrac{1}{RC}\) (autres filtres).
Penser que \(U_L\) et \(U_C\) sont toujours petits : à la résonance série, ils peuvent valoir \(Q\,U\).
Prendre la coupure à \(|Z|=2R\) au lieu de \(|Z|=\sqrt2\,R\) (erreur classique sur \(-3\ \text{dB}\)).

9) Exercices Bac (22) — solutions détaillées

Ex.1 — Impédance et courant

Montrer que \(Z=R+j\!\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)\) et \(I=U/|Z|\).

Somme série des impédances ⇒ expression annoncée ; loi d’Ohm complexe : \(\vec U=\vec Z\,\vec I\Rightarrow I=U/|Z|\).

Ex.2 — Déphasage

Établir \(\varphi=\arctan\left(\dfrac{\omega L-\dfrac{1}{\omega C}}{R}\right)\).

\(\varphi=\arg(Z)=\arg\big(R+jX\big)\) avec \(X=\omega L-1/(\omega C)\Rightarrow\tan\varphi=X/R\).

Ex.3 — Nature du régime

Donner la nature (inductif/capacitif) selon le signe de \(X=\omega L-1/(\omega C)\).

Si \(X>0\) → inductif (\(\varphi>0\)). Si \(X<0\) → capacitif (\(\varphi<0\)).

Ex.4 — Résonance

Trouver \(\omega_0\) telle que \(\varphi=0\).

\(\varphi=0\Rightarrow X=0\Rightarrow \omega_0=1/\sqrt{LC}\).

Ex.5 — Courant maximal

Montrer que \(I_{\max}=U/R\) à \(\omega_0\).

À \(\omega_0\), \(Z=R\Rightarrow I=U/R\) maximal.

Ex.6 — Surtension

Estimer \(|U_L|_{\omega_0}\) en fonction de \(Q\) et \(U\) pour \(Q\gg1\).

\(|U_L|=I\omega_0 L=(U/R)\,\omega_0L=Q\,U\) (idem pour \(|U_C|\)).

Ex.7 — Bande passante

Montrer \(\Delta\omega=\dfrac{R}{L}\) pour un RLC série.

Ex.8 — Facteur de qualité

Relier \(Q\), \(\omega_0\), \(\Delta\omega\).

\(Q=\omega_0/\Delta\omega\) (définition en série), donc \(Q=\omega_0 L/R\).

Ex.9 — Calcul de I et φ

\(R=15\ \Omega\), \(L=40\ \text{mH}\), \(C=2{,}2\ \mu\text{F}\), \(f=300\ \text{Hz}\), \(U=12\ \text{V}\). Calculer \(I\) et \(\varphi\).

\(\omega=1885\), \(\omega L=75{,}4\), \(1/\omega C\approx 241\). \(|Z|=\sqrt{15^2+(75{,}4-241)^2}\approx 167\ \Omega\). \(I=12/167=72\ \text{mA}\). \(\varphi=\arctan((75{,}4-241)/15)\approx -81^\circ\).

Ex.10 — Résonance et Q

Avec les mêmes \(L,C\) et \(R=10\ \Omega\) : \(f_0\), \(Q\), \(\Delta f\).

\(f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\approx 535\ \text{Hz}\). \(Q=\omega_0 L/R\approx (2\pi 535)\times0{,}04/10\approx 13{,}4\). \(\Delta f=f_0/Q\approx 40\ \text{Hz}\).

Ex.11 — Fréquences de coupure

Déterminer \(f_1,f_2\) avec \(|Z|=\sqrt2 R\) (approx. \(Q\gg1\)).

\(f_{1,2}\approx f_0(1\mp 1/(2Q))\).

Ex.12 — Puissance

Pour \(U=20\ \text{V}\), \(I=0{,}5\ \text{A}\), \(\varphi=-37^\circ\). Calculer \(P\).

\(P=UI\cos\varphi=20\times0{,}5\times\cos 37^\circ\approx 8\ \text{W}\).

Ex.13 — Nature du régime (test rapide)

On mesure \(\varphi\approx +20^\circ\). Le régime est-il inductif ou capacitif ?

Inductif (\(\varphi>0\)).

Ex.14 — Surtension numérique

\(U=6\ \text{V}\), \(Q=25\). Estimer \(|U_L|_{\omega_0}\).

\(|U_L|\approx Q\,U=150\ \text{V}\).

Ex.15 — Variation de R

Si \(R\) double, que deviennent \(Q\) et \(\Delta\omega\) ?

\(Q\) est divisé par 2 ; \(\Delta\omega\) est multipliée par 2 (pic élargi, moins prononcé).

Ex.16 — Condition d’optimisation du facteur de puissance

Pour un \(RLC\) série au voisinage de \(f_0\), comment rendre \(\cos\varphi\approx 1\) ?

Ajuster \(C\) (ou \(L\)) pour se placer exactement à \(f_0\) ⇒ \(\varphi=0\).

Ex.17 — Max de \(U_L\) hors résonance

Justifier qualitativement que le maximum de \(|U_L(\omega)|\) ne coïncide pas exactement avec le maximum de \(I(\omega)\) si \(Q\) n’est pas très grand.

\(|U_L|=I\omega L\) dépend aussi de \(\omega\) ; le produit \(I(\omega)\omega\) peut être maximal pour \(\omega\neq\omega_0\) si \(Q\) modéré.

Ex.18 — Demi-puissance

Vérifier qu’aux coupures, \(P=P_{\max}/2\).

À \(|Z|=\sqrt2 R\), \(I=U/(\sqrt2 R)=I_{\max}/\sqrt2\Rightarrow P=I^2R=P_{\max}/2\).

Ex.19 — Cas complet

\(R=12\ \Omega\), \(L=30\ \text{mH}\), \(C=0{,}10\ \mu\text{F}\), \(U=15\ \text{V}\). Calculer \(f_0\), \(Q\), \(\Delta f\).

\(f_0\simeq 1/(2\pi\sqrt{3\times10^{-3}})\approx 2{,}90\ \text{kHz}\). \(Q=\omega_0 L/R\approx (2\pi 2900)\times0{,}03/12\approx 45{,}6\). \(\Delta f\approx f_0/Q\approx 63{,}6\ \text{Hz}\).

Ex.20 — Courant à la résonance

Au point précédent, quel \(I_{\max}\) ?

\(I_{\max}=U/R=15/12=1{,}25\ \text{A}\).

Ex.21 — Déphasage imposé

Trouver \(\omega\) tel que \(\varphi=+30^\circ\) si \(R=20\ \Omega\), \(L=10\ \text{mH}\), \(C=1{,}0\ \mu\text{F}\).

\(\tan 30^\circ=(\omega L-1/\omega C)/R\Rightarrow \omega L-1/(\omega C)=R/\sqrt{3}=11{,}55\). Résoudre \(\omega^2 L C-\omega(11{,}55)C-1=0\) ⇒ \(\omega\approx 1300\ \text{rad·s}^{-1}\) ou autre racine physique (valeurs approchées).

Ex.22 — Choix de C pour f₀ imposée

On veut \(f_0=1{,}0\ \text{kHz}\) avec \(L=25\ \text{mH}\). Choisir \(C\).

\(C=1/(\omega_0^2 L)=1/\big((2\pi 1000)^2\cdot0{,}025\big)\approx 1{,}01\ \mu\text{F}\).

10) Mini-fiche révision

\(Z=R+j\!\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)\), \(|Z|=\sqrt{R^2+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}\), \(\varphi=\arctan\!\dfrac{\omega L-1/(\omega C)}{R}\).
\(\omega_0=1/\sqrt{LC}\), \(Q=\omega_0 L/R=1/(\omega_0 R C)\), \(\Delta\omega=R/L\), \(\Delta f=f_0/Q\).
À \(\omega_0\) : \(I_{\max}=U/R\), \(\varphi=0\), \(|U_L|=|U_C|\approx Q\,U\) si \(Q\gg1\).
Puissance : \(P=UI\cos\varphi=I^2R\); demi-puissance aux coupures.