Dipôle RL

1) Définitions, rappels et constantes

Un dipôle RL est l’association en série d’une résistance \(R\) (loi d’Ohm \(u_R=Ri\)) et d’une inductance \(L\) (relation \(u_L=L\,\dfrac{\mathrm di}{\mathrm dt}\)). La constante de temps est \(\boxed{\tau=\dfrac{L}{R}}\).

  • Loi des mailles (entrée \(u_E(t)\)) : \(u_E(t)=u_R(t)+u_L(t)=Ri(t)+L\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}\).
  • Énergie magnétique stockée : \(\displaystyle E_L=\tfrac12 L\,i^2\).
  • Unités : \(R[\Omega]\), \(L[\text{H}]\), \(\tau[\text{s}]\), \(f_c=\dfrac{R}{2\pi L}[\text{Hz}]\).
E R L
Figure A — Dipôle RL série alimenté par \(u_E(t)\).

2) Équation différentielle, CI et interprétation

\(\displaystyle \boxed{\,L\dfrac{\mathrm di}{\mathrm dt}+Ri=u_E(t)\,}\qquad\) avec \(\tau=\dfrac{L}{R}\).

Maille : \(u_E=u_R+u_L=Ri+L\dfrac{\mathrm di}{\mathrm dt}\Rightarrow L\dfrac{\mathrm di}{\mathrm dt}+Ri=u_E(t)\).

  • Continuité du courant : \(i(0^+)=i(0^-)\) (un courant dans une inductance ne peut pas sauter).
  • Pente initiale : \(\displaystyle \left.\dfrac{\mathrm di}{\mathrm dt}\right|_{0^+}=\dfrac{u_E(0^+)-Ri(0^+)}{L}\).
  • État final (si \(u_E\to E_f\) constant) : \(i(\infty)=\dfrac{E_f}{R}\) (inductance \(\to\) court-circuit en régime continu).

3) Réponse à un échelon : établissement et extinction du courant

Pour \(u_E(t)=E\,u(t)\) et \(i(0)=i_0\) : \(\displaystyle \boxed{\,i(t)=\frac{E}{R}+\Big(i_0-\frac{E}{R}\Big)e^{-t/\tau}\,}\).

  • Établissement (mise sous tension) avec \(i_0=0\) : \(i(t)=\dfrac{E}{R}\big(1-e^{-t/\tau}\big)\).
  • Extinction (source coupée, circuit fermé sur \(R\)) : \(i(t)=i_0\,e^{-t/\tau}\).
  • À \(t=\tau\) : \(i=0{,}632\,\dfrac{E}{R}\).
t = τ établissement i(t) extinction
Figure B — Réponse exponentielle (temps \(\tau=L/R\)).

4) Puissance, énergie et bilans

  • Puissance instantanée aux bornes de \(L\) : \(p_L=u_L\,i=L\,i\,\dfrac{\mathrm di}{\mathrm dt}\).
  • Énergie stockée : \(E_L(t)=\dfrac12 L i^2(t)\) (maximale à l’état établi).
  • En mise sous tension : l’énergie fournie par la source se partage entre \(E_L\) et l’énergie dissipée par \(R\).

Établissement depuis \(0\) : \(E_{\text{stock}}=\tfrac12 L (E/R)^2\).

5) Régime sinusoïdal : impédances, gain et phase

Impédances : \(Z_R=R\), \(Z_L=j\omega L\). Pour un **RL série** :

  • Sortie sur \(R\) (passe-haut) : \(\displaystyle H_{PH}(j\omega)=\frac{U_R}{U_E}=\frac{R}{R+j\omega L}=\frac{j\omega\tau}{1+j\omega\tau}\).
  • Sortie sur \(L\) (passe-bas) : \(\displaystyle H_{PB}(j\omega)=\frac{U_L}{U_E}=\frac{j\omega L}{R+j\omega L}=\frac{1}{1+\dfrac{1}{j\omega\tau}}\).
  • \(\omega_c=\dfrac{R}{L}\), \(f_c=\dfrac{R}{2\pi L}\).
  • À \(\omega_c\) : \(|H|=1/\sqrt2\) et \(|H_{PH}|=1/\sqrt2\), \(\varphi=\mp 45^\circ\) selon la sortie.
|H| (passe-haut RL, sortie R) φ (°) f_c
Figure C — Filtre passe-haut RL (sortie R) : module et phase (qualitatif).

6) Approximations de Bode & ordres de grandeur

  • Pour \(\omega\ll \omega_c\) (passe-haut) : \(|H_{PH}|\approx \omega\tau\) (−20 dB/dec sous la coupure), \(\varphi\approx +90^\circ\to 0^\circ\) quand \(\omega\to 0\).
  • Pour \(\omega=\omega_c\) : \(|H|=1/\sqrt2\), \(|H_{PH}|=1/\sqrt2\), \(|H_{PB}|=1/\sqrt2\), \(|\varphi|=45^\circ\).
  • Pour \(\omega\gg \omega_c\) : \(|H_{PH}|\to 1\), \(\varphi\to 0^\circ\) ; \(|H_{PB}|\approx \dfrac{\omega_c}{\omega}\) (−20 dB/dec), \(\varphi\to +90^\circ\).
Gain en dB : \(G_{\text{dB}}=20\log_{10}|H|\).

7) Réponses à d’autres entrées (rampe, créneau, impulsion)

Équation \(L\dfrac{\mathrm di}{\mathrm dt}+Ri=u_E(t)\) : solution \(i(t)=i_h(t)+i_p(t)\) (homogène + particulière) ou via convolution.

  • Rampe \(u_E=kt\,u(t)\) : \(i(t)=\dfrac{k}{R}\Big(t-\tau+\tau e^{-t/\tau}\Big)\) si \(i(0)=0\).
  • Créneau : alternance d’établissements/extinctions sur chaque intervalle.
  • Impulsion courte : approximation différenciatrice sur certaines plages (sortie \(u_L=L\,\mathrm di/\mathrm dt\)).

8) Tolérances et incertitudes

  • Tolérances typiques : \(R\) (1–5 %), \(L\) (5–20 %).
  • Propagation : \(\displaystyle \frac{\Delta \tau}{\tau}\approx \frac{\Delta L}{L}+\frac{\Delta R}{R}\).
  • Donc \(\displaystyle \frac{\Delta f_c}{f_c}\approx \frac{\Delta R}{R}+\frac{\Delta L}{L}\).
Toujours annoncer l’incertitude sur \(\tau\) et \(f_c\) en TP.

9) TP Bac : protocoles de mesure

  1. Chronogramme du courant (shunt \(R_s\)) : mesurer \(u_{R_s}\propto i\) ; lire \(\tau\) au temps où \(i=0{,}632\,E/R\).
  2. Mesure de \(f_c\) : signal sinusoïdal, relever \(|H|\) vs \(f\) (sortie choisie) ; lire \(-3\) dB.
  3. Validation : comparer \(\tau\) mesurée avec \(L/R\) et \(f_c\) avec \(R/(2\pi L)\).

10) Exemples chiffrés guidés

Exemple 1 — Transitoire : \(R=100\ \Omega\), \(L=50\ \text{mH}\) ⇒ \(\tau=L/R=0{,}0005\ \text{s}\). Mise sous \(E=5\ \text{V}\) : \(i(t)=0{,}05\,(1-e^{-t/0{,}0005})\ \text{A}\).

Exemple 2 — Coupure : \(R=220\ \Omega\), \(L=10\ \text{mH}\) ⇒ \(f_c=\dfrac{R}{2\pi L}\approx 3{,}50\ \text{kHz}\).

11) Erreurs fréquentes et pièges

  • Penser que le courant peut sauter dans \(L\) (faux) ; c’est \(u_L\) qui peut être grande pour imposer une variation rapide de \(i\).
  • Confondre passe-haut (sortie \(R\)) et passe-bas (sortie \(L\)).
  • Oublier \(\omega=2\pi f\) ; oublier les unités d’\(L\) (H) et de \(\tau\) (s).
  • Lire la coupure à \(|H|=0{,}5\) (faux) au lieu de \(1/\sqrt2\approx 0{,}707\).

12) Exercices Bac (22) — solutions détaillées

Ex.1 — Constante de temps

\(R=47\ \Omega\), \(L=150\ \text{mH}\). Calculer \(\tau\).

\(\tau=L/R=0{,}150/47\approx 3{,}19\ \text{ms}\).

Ex.2 — Établissement

\(E=12\ \text{V}\), \(R=120\ \Omega\), \(L=60\ \text{mH}\). Donner \(i(t)\).

\(\tau=0{,}06/120=0{,}5\ \text{ms}\), \(i(t)=\frac{12}{120}\big(1-e^{-t/0{,}0005}\big)=0{,}1(1-e^{-t/0{,}0005})\ \text{A}\).

Ex.3 — Extinction

Circuit isolé avec \(R\) : \(i(0)=0{,}2\ \text{A}\), \(\tau=2\ \text{ms}\). Donner \(i(5\ \text{ms})\).

\(i=0{,}2\,e^{-5/2}\approx 0{,}2\,e^{-2{,}5}\approx 0{,}0164\ \text{A}\).

Ex.4 — Pente initiale

À \(t=0^+\), \(u_E=5\ \text{V}\), \(R=50\ \Omega\), \(L=20\ \text{mH}\), \(i(0)=0\). Calculer \(\left.\dfrac{\mathrm di}{\mathrm dt}\right|_{0^+}\).

\(\dfrac{\mathrm di}{\mathrm dt}=(u_E-Ri)/L=5/0{,}02=250\ \text{A·s}^{-1}\).

Ex.5 — Énergie stockée

État établi \(E=6\ \text{V}\), \(R=30\ \Omega\), \(L=40\ \text{mH}\). Calculer \(E_L\).

\(i_\infty=E/R=0{,}2\ \text{A}\) ; \(E_L=\tfrac12 L i^2=0{,}5\times0{,}04\times0{,}04=8{,}0\times10^{-4}\ \text{J}\).

Ex.6 — 90 % de l’état final

Combien de \(\tau\) pour \(i=0{,}9\,E/R\) ?

\(1-e^{-t/\tau}=0{,}9\Rightarrow t=\tau\ln(10)\approx 2{,}303\,\tau\).

Ex.7 — 99 %

Temps pour 99 % ?

\(t\approx 4{,}605\,\tau\) (≈\(5\tau\)).

Ex.8 — Tension inductive

Au tout début de l’établissement, exprimer \(u_L(0^+)\).

\(u_L(0^+)=u_E-Ri(0^+)=u_E\) si \(i(0)=0\) (toute la tension est sur \(L\)).

Ex.9 — Coupure

\(R=330\ \Omega\), \(L=22\ \text{mH}\). Calculer \(f_c\).

\(f_c=\dfrac{R}{2\pi L}\approx \dfrac{330}{2\pi\times0{,}022}\approx 2{,}38\ \text{kHz}\).

Ex.10 — Gain passe-haut

À \(f=10\,f_c\), évaluer \(|H_{PH}|\).

\(|H_{PH}|=\dfrac{10}{\sqrt{1+10^2}}=0{,}995\).

Ex.11 — Gain passe-bas (sortie L)

À \(f=0{,}1\,f_c\), \(|H_{PB}|\) ?

\(|H_{PB}|\approx \dfrac{0{,}1}{\sqrt{1+0{,}1^2}}\approx 0{,}0995\).

Ex.12 — Phase à la coupure

Donner \(\varphi\) à \(f=f_c\) pour \(H_{PH}\).

\(\varphi=+45^\circ\) (courant en avance sur \(u_E\) pour la sortie \(R\)).

Ex.13 — Identification

On mesure \(|H|\approx 0{,}1\) à 100 Hz et \(|H|\approx 0{,}98\) à 10 kHz. Quelle topologie et quelle sortie ?

Passe-haut RL, sortie sur \(R\).

Ex.14 — dB

À \(f=5\,f_c\) pour \(H_{PH}\), calculer \(G_{\text{dB}}\).

\(|H|=\frac{5}{\sqrt{26}}=0{,}981\Rightarrow G=20\log_{10}0{,}981\approx -0{,}17\ \text{dB}\).

Ex.15 — Rampe

Montrer pour \(u_E=kt\) et \(i(0)=0\) : \(i(t)=\dfrac{k}{R}(t-\tau+\tau e^{-t/\tau})\).

Particulière \(i_p=\dfrac{k}{R}t\). Homogène \(K e^{-t/\tau}\). CI \(\Rightarrow K=-\dfrac{k}{R}\tau\).

Ex.16 — Créneau

Décrire qualitativement \(i(t)\) pour un créneau \(E\), période \(T\), rapport \(D\).

Établissement pendant \(DT\), extinction pendant \((1-D)T\). Régime périodique si \(T\) fini ; niveaux dépendant de \(\tau\) et \(D\).

Ex.17 — Lecture de τ

Lire \(\tau\) sur le chronogramme d’établissement de \(i\).

Temps pour atteindre \(0{,}632\,E/R\) ou intersection de la tangente à l’origine avec l’asymptote.

Ex.18 — Tolérances

\(R=100\ \Omega\) (±5 %), \(L=20\ \text{mH}\) (±10 %). Donner \(\Delta\tau/\tau\).

\(\Delta\tau/\tau\approx 0{,}05+0{,}10=0{,}15\) soit ±15 %.

Ex.19 — Résolution ED

Résoudre \(L\dfrac{\mathrm di}{\mathrm dt}+Ri=E\), \(i(0)=i_0\).

\(i(t)=\dfrac{E}{R}+\big(i_0-\dfrac{E}{R}\big)e^{-t/\tau}\).

Ex.20 — Énergie dissipée

En établissement depuis \(0\), montrer que l’énergie dissipée par \(R\) vaut \(\tfrac12 L(E/R)^2\).

Énergie fournie = \(E\cdot Q\) ; bilan: \(E_{\text{source}}=E_L+E_R\) avec \(E_L=\tfrac12 L I_\infty^2\), \(I_\infty=E/R\). On trouve \(E_R=E_L\).

Ex.21 — Surtension

Pourquoi une ouverture brusque du circuit RL peut créer une grande tension ?

Car \(i\) ne peut pas sauter : \(u_L=L\,\mathrm di/\mathrm dt\) devient très grand si la coupure impose \(\mathrm di/\mathrm dt\) très élevé → risque d’arc.

Ex.22 — Dimensionnement

Cibler \(f_c=1{,}2\ \text{kHz}\) avec \(L=10\ \text{mH}\). Calculer \(R\).

\(R=2\pi f_c L=2\pi\times1200\times0{,}01\approx 75{,}4\ \Omega\).

13) Mini-fiche révision

  • \(\tau=\dfrac{L}{R}\) ; échelon : \(i(t)=\dfrac{E}{R}+\big(i_0-\dfrac{E}{R}\big)e^{-t/\tau}\).
  • Énergie : \(E_L=\tfrac12 L i^2\).
  • Passe-haut (sortie \(R\)) : \(H_{PH}(j\omega)=\dfrac{j\omega\tau}{1+j\omega\tau}\).
  • Passe-bas (sortie \(L\)) : \(H_{PB}(j\omega)=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{j\omega\tau}}\).
  • \(f_c=\dfrac{R}{2\pi L}\), \(|H|=1/\sqrt2\) à la coupure.

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