RLC التذبذبات القسرية في دارة متوالية

1) تمهيد: التذبذبات القسرية في دارة \(RLC\) متوالية

في الدرس السابق درسنا التذبذبات الحرّة في دارة \(RLC\) متوالية عندما تُترك بدون مولّد. في هذا الدرس نهتم بحالة وجود مولّد جيبي \[ e(t)=E_m\cos(\omega t) \] يفرض توتراً متغيّراً. في هذه الحالة تظهر تذبذبات قسرية: بعد مرحلة عابرة قصيرة، يستقر التيار والتوترات على نظام جيبي ثابت له نفس التردد \(\omega\) لكن بسعة وطور يختلفان حسب التردد.

في برنامج 2 باك علوم رياضية يجب أن يكون التلميذ قادراً على:

  • تمثيل دارة \(RLC\) متوالية تحت توتر جيبي.
  • استعمال الممانعة والمخططات الطورية البسيطة لحساب شدة التيار.
  • تعريف الرنين واستغلال منحنى \(I(\omega)\) لتحديد \(\omega_0\) و\(Q\) تقريبياً.
  • ربط التذبذبات القسرية بتطبيقات: دوائر الانتقاء في أنظمة الإرسال والاستقبال.

2) دارة \(RLC\) متوالية في النظام الجيبي

ترتيب التجربة

نركّب على التوالي: مقاومة \(R\)، وشيعة حثها \(L\)، مكثّفة سعتها \(C\)، ومولّد توتر جيبي: \[ e(t)=E_m\cos(\omega t) \] نعتبر التيار يمر من القطب الموجب للمولّد نحو الدارة.

G R L C i(t)
دارة \(RLC\) متوالية تحت تأثير مولّد جيبي \(e(t)\).

في النظام المستقر (بعد زوال المرحلة العابرة) يكون التيار جيبياً: \[ i(t) = I_m \cos(\omega t + \varphi) \] حيث \(\varphi\) هو فرق الطور بين التيار والتوتر المطبَّق.

3) الممانعة المكافئة لدارة \(RLC\) متوالية

ممانعة كل عنصر في النظام الجيبي

  • مقاومة: \(Z_R = R\) (لا تغير الطور).
  • وشيعة: \(Z_L = j\,\omega L\) (تيار متأخر عن التوتر بـ \(\dfrac{\pi}{2}\)).
  • مكثّفة: \(Z_C = \dfrac{1}{j\,\omega C} = -\dfrac{j}{\omega C}\) (تيار متقدّم بـ \(\dfrac{\pi}{2}\)).

الممانعة المكافئة للمتوالية \(RLC\)

في المتوالية نجمع الممانعات جبرياً: \[ Z(\omega) = R + j\left(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}\right) \] معيار الممانعة: \[ |Z(\omega)| = Z = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}\right)^2} \] وبالتالي سعة التيار: \[ I_m = \dfrac{E_m}{Z} \] وفي القيم الفعالة: \[ I_{\text{eff}} = \dfrac{E_{\text{eff}}}{Z} \]

فرق الطور

زاوية الطور \(\varphi\) (تيار بالنسبة للتوتر) تحقق: \[ \tan\varphi = \dfrac{\omega L - \dfrac{1}{\omega C}}{R} \]

  • إذا \(\omega L > \dfrac{1}{\omega C}\): الدارة تحريضية (التيار متأخر: \(\varphi > 0\)).
  • إذا \(\omega L < \dfrac{1}{\omega C}\): الدارة سعوية (التيار متقدّم: \(\varphi < 0\)).

4) الرنين في دارة \(RLC\) متوالية

تعريف الرنين

يحدث الرنين عندما يكون التيار الأعظمي في الدارة، أي عندما تكون الممانعة \(Z\) أصغر ما يمكن. يتحقق هذا الشرط عندما: \[ \omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0 \quad \Rightarrow \quad \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} \]

خصائص الرنين

  • التردد الرنيني: \[ \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}, \quad f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi} \]
  • عند الرنين: \(Z(\omega_0)=R\)، وبالتالي \[ I_m^{\max} = \dfrac{E_m}{R} \]
  • فرق الطور يساوي صفر: \[ \varphi(\omega_0)=0 \] أي التيار متوافق في الطور مع التوتر المطبَّق.
تغيّر شدة التيار \(I\) حسب التردد \(\omega\) \(\omega\) \(|I|\) \(\omega_0\)
شدة التيار تبلغ قيمة قصوى عند التردد الرنيني \(\omega_0\).

5) القدرة الفعّالة وعامل القدرة

القدرة اللحظية: \[ p(t) = u(t)\,i(t) \] في النظام الجيبي، القدرة الفعّالة المتوسّطة على فترة: \[ P = U_{\text{eff}}\,I_{\text{eff}}\cos\varphi \] حيث \(\cos\varphi\) هو عامل القدرة. عند الرنين يكون \(\varphi=0\) وبالتالي \(\cos\varphi=1\) ⇒ القدرة المنتقلة إلى المقاومة أعظمية.

في التطبيقات الصناعية نحاول جعل \(\cos\varphi\) قريباً من 1 لتقليل التيار في الشبكة. في دارة \(RLC\) يمكن تقريب الدارة من الحالة الرنينية بضبط \(L\) و\(C\).

6) عامل النوعية والانتقائية (إشارة نوعية)

تُستعمل دوائر \(RLC\) المتوالية في الانتقائية الترددية (radio, communication). نعرّف تقريبياً: \[ Q = \dfrac{\omega_0 L}{R} \] كلما كان \(Q\) كبيراً كان منحنى \(I(\omega)\) رفيعاً ⇒ الدارة انتقائية أكثر (لا تستجيب إلا لنطاق ضيق حول \(\omega_0\)).

يربط البرنامج بين \(Q\) وعرض الحزمة: \[ Q \approx \dfrac{\omega_0}{\Delta\omega} \] حيث \(\Delta\omega\) عرض الترددات التي تكون فيها الشدة أكبر من \(I_{\max}/\sqrt{2}\) تقريباً.

7) تمارين تطبيقية (10) مع حلول مفصّلة

تمرين 1 — ممانعة دارة \(RLC\)

دارة \(RLC\) متوالية تحت توتر جيبي تردد زاوي \(\omega\)، قيم المعطيات: \(R = 50\,\Omega\)، \(L = 0{,}30\,\mathrm{H}\)، \(C = 2{,}0\,\mu\mathrm{F}\).

  1. اكتب تعبير \(Z(\omega)\).
  2. احسب \(Z\) عددياً من أجل \(\omega = 500\,\mathrm{rad\,s^{-1}}\).

1) \[ Z(\omega) = R + j\left(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}\right) \]

2) أولاً: \[ \omega L = 500\times0{,}30 = 150\,\Omega \] \[ \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{500\times2{,}0\times10^{-6}} = \dfrac{1}{1{,}0\times10^{-3}} = 1{,}0\times10^{3}\,\Omega \] إذن الجزء التخيلي: \[ X = \omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 150 - 1000 = -850\,\Omega \] المعيار: \[ Z = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{50^2 + 850^2} \approx \sqrt{2500 + 722500} \approx \sqrt{725000} \approx 851\,\Omega \] الدارة إذن سعوية (لأن \(X<0\)).

تمرين 2 — التيار في النظام المستقر

لنفس الدارة في التمرين السابق، يكون التوتر الفعّال للمولّد \(E_{\text{eff}} = 100\,\mathrm{V}\).

  1. احسب شدة التيار الفعّالة \(I_{\text{eff}}\) عند \(\omega = 500\,\mathrm{rad\,s^{-1}}\).
  2. استنتج إذا كانت الدارة ذات طابع سعوي أو تحريضي.

\[ I_{\text{eff}} = \dfrac{E_{\text{eff}}}{Z} = \dfrac{100}{851} \approx 0{,}118\,\mathrm{A} \] سبق أن وجدنا \(X=-850\,\Omega\) ⇒ \(\omega L < 1/(\omega C)\) ⇒ الدارة سعوية والطور \(\varphi <0\) (التيار متقدّم).

تمرين 3 — التردد الرنيني

استعمل قيم \(L\) و\(C\) نفسها: \(L = 0{,}30\,\mathrm{H}\)، \(C = 2{,}0\,\mu\mathrm{F}\).

  1. احسب التردد الزاوي الرنيني \(\omega_0\) والتردد العادي \(f_0\).
  2. احسب الممانعة عند الرنين، ثم شدة التيار إذا كان \(E_{\text{eff}} = 100\,\mathrm{V}\) و\(R = 50\,\Omega\).

\[ \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{\sqrt{0{,}30\times2{,}0\times10^{-6}}} = \dfrac{1}{\sqrt{6{,}0\times10^{-7}}} \approx \dfrac{1}{7{,}75\times10^{-4}} \approx 1{,}29\times10^{3}\,\mathrm{rad\,s^{-1}} \] \[ f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi} \approx \dfrac{1{,}29\times10^{3}}{6{,}28} \approx 205\,\mathrm{Hz} \]

عند الرنين: \(Z=R=50\,\Omega\) \[ I_{\text{eff}}^{\max} = \dfrac{E_{\text{eff}}}{R} = \dfrac{100}{50} = 2{,}0\,\mathrm{A} \]

تمرين 4 — فرق الطور

لدائرة \(RLC\) السابقة، احسب فرق الطور \(\varphi\) من أجل:
أ) \(\omega = 500\,\mathrm{rad\,s^{-1}}\).
ب) \(\omega = \omega_0\).

أ) عند \(\omega = 500\): سبق أن وجدنا: \[ X = \omega L - \frac{1}{\omega C} = -850\,\Omega \] إذن: \[ \tan\varphi = \frac{X}{R} = \frac{-850}{50} = -17 \] أي \(\varphi \approx -86{,}6^\circ\): التيار متقدّم كثيراً (دارة سعوية قوية).

ب) عند الرنين \(\omega=\omega_0\) يكون \(X=0\) ⇒ \[ \tan\varphi = 0 \Rightarrow \varphi = 0 \] أي التيار في الطور مع التوتر.

تمرين 5 — القدرة الفعّالة

في دارة \(RLC\) ذات \(R = 40\,\Omega\)، \(E_{\text{eff}} = 80\,\mathrm{V}\)، نحصل عند تردد معيّن على \(I_{\text{eff}} = 1{,}0\,\mathrm{A}\) وفرق طور \(\varphi = 60^\circ\). احسب القدرة الفعّالة ومن ثم القدرة الضائعة على شكل حرارة.

\[ P = U_{\text{eff}} I_{\text{eff}}\cos\varphi = 80\times1{,}0\times\cos 60^\circ = 80\times0{,}5 = 40\,\mathrm{W} \] بما أنّ عنصر التبديد هو المقاومة، فالقدرة الحرارية في \(R\) هي نفسها \(P = 40\,\mathrm{W}\).

تمرين 6 — عامل القدرة عند الرنين

بيّن نظرياً أن عامل القدرة \(\cos\varphi\) يساوي 1 عند الرنين في دارة \(RLC\) متوالية، ثم علّق على فائدة استغلال الرنين في بعض الأجهزة الكهربائية.

عند الرنين: \[ \omega_0 L = \dfrac{1}{\omega_0 C} \Rightarrow X = \omega_0 L - \dfrac{1}{\omega_0 C} = 0 \] إذن: \[ \tan\varphi = \dfrac{X}{R} = 0 \Rightarrow \varphi = 0 \Rightarrow \cos\varphi = 1 \] أي أنّ القدرة المنتقلة من المولّد تستعمل كلياً في المقاومة دون جزء تفاعلي.

في التطبيقات، يسمح الرنين بنقل قدرة كبيرة إلى حمولة معيّنة مع تيار أقل في الخطوط، كما يمكّن من انتقاء التردد في دوائر الاستقبال (radio, TV).

تمرين 7 — عامل النوعية من منحنى \(I(\omega)\)

نحصل تجريبياً على منحنى \(I(\omega)\) لدائرة رنين. يكون التيار الأعظمي \(I_{\max} = 0{,}80\,\mathrm{A}\) عند \(\omega_0 = 10^4\,\mathrm{rad\,s^{-1}}\). تبيّن أن \(I = I_{\max}/\sqrt{2}\) عند \(\omega_1 = 9{,}2\times10^3\) و\(\omega_2 = 1{,}08\times10^4\,\mathrm{rad\,s^{-1}}\).

  1. احسب عرض الحزمة \(\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1\).
  2. استنتج عامل النوعية \(Q\approx \omega_0/\Delta\omega\).

\[ \Delta\omega = 1{,}08\times10^4 - 9{,}2\times10^3 = (10{,}8 - 9{,}2)\times10^3 = 1{,}6\times10^3\,\mathrm{rad\,s^{-1}} \] \[ Q \approx \dfrac{\omega_0}{\Delta\omega} = \dfrac{10^4}{1{,}6\times10^3} \approx 6{,}25 \] دارة ذات نوعية متوسطة (منحنى ليس حاداً جداً).

تمرين 8 — اختيار مكوّنات لرنين عند تردد معيّن

نريد إنجاز دارة \(RLC\) متوالية يحدث فيها الرنين عند \(f_0 = 50\,\mathrm{kHz}\) باستعمال وشيعة حثها \(L = 2{,}0\,\mathrm{mH}\).

  1. احسب التردد الزاوي \(\omega_0\).
  2. استنتج سعة المكثّفة \(C\) التي تحقق الرنين.

\[ \omega_0 = 2\pi f_0 = 2\pi\times50\times10^3 \approx 3{,}14\times10^5\,\mathrm{rad\,s^{-1}} \] من: \[ \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} \Rightarrow C = \dfrac{1}{L\omega_0^2} \] \[ C = \dfrac{1}{2{,}0\times10^{-3}\times(3{,}14\times10^{5})^2} \approx \dfrac{1}{2{,}0\times10^{-3}\times9{,}86\times10^{10}} \approx \dfrac{1}{1{,}97\times10^{8}} \approx 5{,}1\times10^{-9}\,\mathrm{F} \] أي \(C \approx 5\,\mathrm{nF}\).

تمرين 9 — مقارنة بين دائرتين (انتقائية)

لدينا دائرتان رنانتان لهما نفس \(L\) و\(C\) لكن مقاومتَهما: \(R_1 = 20\,\Omega\)، \(R_2 = 80\,\Omega\).

  1. أي دارة لها عامل نوعية أكبر؟
  2. أي منحنى \(I(\omega)\) يكون أضيق وأكثر انتقائية؟

عامل النوعية: \[ Q = \dfrac{\omega_0 L}{R} \] إذن: \[ Q_1 = \dfrac{\omega_0 L}{20},\quad Q_2 = \dfrac{\omega_0 L}{80} \Rightarrow Q_1 = 4 Q_2 \] الدارة (1) ذات مقاومة أصغر ⇒ نوعية أكبر.

بما أنّ \(Q\) يتناسب عكساً مع عرض الحزمة، تكون الدارة (1) صاحبة منحنى \(I(\omega)\) الأضيق والأكثر انتقائية.

تمرين 10 — مسألة شاملة على التذبذبات القسرية

دارة \(RLC\) متوالية: \(R = 60\,\Omega\)، \(L = 0{,}25\,\mathrm{H}\)، \(C = 1{,}0\,\mu\mathrm{F}\)، تحت تأثير مولّد جيبي \(E_{\text{eff}} = 120\,\mathrm{V}\).

  1. احسب التردد الرنيني \(\omega_0\) و\(f_0\).
  2. احسب \(I_{\text{eff}}\) عند الرنين.
  3. احسب الممانعة والتيار الفعّال عند \(\omega = \dfrac{\omega_0}{2}\).
  4. استنتج من النتائج السابقة أهمية الضبط على الرنين.

1) \[ \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{\sqrt{0{,}25\times1{,}0\times10^{-6}}} = \dfrac{1}{\sqrt{2{,}5\times10^{-7}}} \approx \dfrac{1}{5{,}0\times10^{-4}} = 2{,}0\times10^{3}\,\mathrm{rad\,s^{-1}} \] \[ f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi} \approx \dfrac{2{,}0\times10^{3}}{6{,}28} \approx 318\,\mathrm{Hz} \]

2) عند الرنين: \(Z=R=60\,\Omega\) \[ I_{\text{eff}}^{(0)} = \dfrac{E_{\text{eff}}}{R} = \dfrac{120}{60} = 2{,}0\,\mathrm{A} \]

3) عندما \(\omega = \omega_0/2 = 10^{3}\): \[ \omega L = 10^{3}\times0{,}25 = 250\,\Omega \] \[ \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{10^{3}\times10^{-6}} = 10^{3}\,\Omega \] إذن: \[ X = 250 - 1000 = -750\,\Omega \] \[ Z = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{60^2 + 750^2} \approx \sqrt{3600 + 562500} \approx \sqrt{566100} \approx 752\,\Omega \] \[ I_{\text{eff}} = \dfrac{E_{\text{eff}}}{Z} \approx \dfrac{120}{752} \approx 0{,}16\,\mathrm{A} \]

4) نلاحظ أنّ التيار عند الرنين \(2{,}0\,\mathrm{A}\) بينما عند \(\omega=\omega_0/2\) ينخفض إلى \(0{,}16\,\mathrm{A}\) فقط ⇒ الاستجابة القصوى للدارة تكون عندما نضبط التردد على الرنين، وهذا يفسّر دور دوائر \(RLC\) المتوالية كمرشّحات وانتقائية للتردد.

8) خلاصة للباك

  • في دارة \(RLC\) متوالية تحت توتر جيبي: \[ Z(\omega) = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}\right)^2},\quad I_{\text{eff}} = \dfrac{E_{\text{eff}}}{Z} \]
  • فرق الطور: \[ \tan\varphi = \dfrac{\omega L - \dfrac{1}{\omega C}}{R} \] (دارة سعوية إذا \(\varphi<0\)، تحريضية إذا \(\varphi>0\)).
  • الرنين: \[ \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}},\quad Z(\omega_0)=R,\quad I_{\max}=\dfrac{E_{\text{eff}}}{R},\quad \varphi=0 \]
  • القدرة الفعّالة: \[ P = U_{\text{eff}}I_{\text{eff}}\cos\varphi \] أعظمية عند الرنين.
  • عامل النوعية: \[ Q = \dfrac{\omega_0 L}{R} \approx \dfrac{\omega_0}{\Delta\omega} \] يصف انتقائية الدارة.
>