Fonctions logarithmiques et exponentielles
Table des matières
- 1. Introduction historique
- 2. Définition rigoureuse de la fonction exponentielle
- 3. Propriétés détaillées de la fonction exponentielle
- 4. Définition et propriétés du logarithme népérien
- 5. Étude approfondie des fonctions ln et exp
- 6. Dérivation et intégration
- 7. Limites et comparaison de croissances
- 8. Équations et inéquations
- 9. Applications concrètes
- 10. Exercices avancés avec corrigés détaillés
1. Introduction historique
Les fonctions exponentielles et logarithmiques ont une riche histoire qui remonte au XVIIe siècle. John Napier (1550-1617) a introduit les logarithmes pour simplifier les calculs astronomiques, tandis que Leonhard Euler (1707-1783) a formalisé la notion de fonction exponentielle et a introduit la notation e pour la base du logarithme népérien.
Pourquoi ces fonctions sont-elles importantes?
Les fonctions exponentielles et logarithmiques sont omniprésentes en mathématiques et dans les sciences :
- Croissance exponentielle : populations, intérêts composés, réactions nucléaires
- Décroissance exponentielle : désintégration radioactive, refroidissement d'objets
- Échelles logarithmiques : pH en chimie, décibels en acoustique, magnitude des séismes
- Calcul différentiel : solutions d'équations différentielles fondamentales
2. Définition rigoureuse de la fonction exponentielle
Définition par l'équation différentielle
La fonction exponentielle est l'unique fonction \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) vérifiant :
On note cette fonction \( \exp(x) \) ou \( e^x \), où \( e \approx 2,718281828459045... \)
Définition comme limite
La fonction exponentielle peut également être définie comme :
Cette définition historique montre comment une croissance discrète (intérêts composés) tend vers une croissance continue.
Définition comme série entière
Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), on a :
Cette série converge absolument pour tout \( x \in \mathbb{R} \).
Exemple de calcul avec la série
Pour \( x = 1 \), on obtient une approximation de \( e \) :
Plus on ajoute de termes, plus l'approximation est précise.
3. Propriétés détaillées de la fonction exponentielle
Théorème fondamental
La fonction exponentielle vérifie les propriétés suivantes :
- Relation fonctionnelle : \( \forall a, b \in \mathbb{R}, e^{a+b} = e^a \cdot e^b \)
- Dérivée : \( \forall x \in \mathbb{R}, \frac{d}{dx}e^x = e^x \)
- Positivité : \( \forall x \in \mathbb{R}, e^x > 0 \)
- Croissance : La fonction est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \)
- Limites :
- \( \lim_{x \to -\infty} e^x = 0^+ \)
- \( \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \)
Démonstration de \( e^{a+b} = e^a \cdot e^b \)
Fixons \( b \in \mathbb{R} \) et considérons la fonction \( f(x) = \frac{e^{x+b}}{e^x} \).
Sa dérivée est :
Donc \( f \) est constante. Comme \( f(0) = e^b \), on a \( f(x) = e^b \) pour tout \( x \), d'où \( e^{x+b} = e^x \cdot e^b \).
Fonctions exponentielles de bases différentes
Pour \( a > 0 \), la fonction \( x \mapsto a^x \) peut s'écrire \( e^{x \ln a} \).
- Si \( a > 1 \) : fonction croissante
- Si \( a = 1 \) : fonction constante
- Si \( 0 < a < 1 \) : fonction décroissante
Comparaison des croissances
Pour \( a > 1 \), plus \( a \) est grand, plus la croissance est rapide :
4. Définition et propriétés du logarithme népérien
Définition comme fonction réciproque
La fonction exponentielle étant continue et strictement croissante de \( \mathbb{R} \) sur \( \mathbb{R}_+^* \), elle admet une fonction réciproque appelée logarithme népérien, notée \( \ln \).
Propriétés algébriques fondamentales
Pour tous réels strictement positifs \( a \) et \( b \), et pour tout réel \( \alpha \) :
- \( \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \)
- \( \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b) \)
- \( \ln(a^\alpha) = \alpha \ln(a) \)
- \( \ln(1) = 0 \) et \( \ln(e) = 1 \)
Démonstration de \( \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \)
Posons \( x = \ln(a) \) et \( y = \ln(b) \), donc \( a = e^x \) et \( b = e^y \).
Alors \( ab = e^x \cdot e^y = e^{x+y} \), donc \( \ln(ab) = x + y = \ln(a) + \ln(b) \).
Importance de ces propriétés
Historiquement, ces propriétés ont rendu les logarithmes extrêmement utiles pour effectuer des calculs complexes avant l'invention des calculatrices. La multiplication se réduisait à une addition, la division à une soustraction, et l'exponentiation à une multiplication.
Représentation graphique
La courbe de la fonction \( \ln \) est symétrique à celle de la fonction exponentielle par rapport à la droite \( y = x \).
Elle passe par les points : \( (1, 0) \), \( (e, 1) \), \( \left(\frac{1}{e}, -1\right) \).
5. Étude approfondie des fonctions ln et exp
5.1 Dérivées et variations
| Fonction | Dérivée | Variations | Limites importantes |
|---|---|---|---|
| \( \exp(x) = e^x \) | \( e^x \) | Strictement croissante sur \( \mathbb{R} \) | \( \lim_{x \to -\infty} e^x = 0^+ \), \( \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \) |
| \( \ln(x) \) | \( \frac{1}{x} \) | Strictement croissante sur \( \mathbb{R}_+^* \) | \( \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \), \( \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \) |
5.2 Convexité et concavité
Théorème :
- La fonction exponentielle est convexe sur \( \mathbb{R} \) (sa dérivée seconde \( e^x \) est toujours positive)
- La fonction logarithme est concave sur \( \mathbb{R}_+^* \) (sa dérivée seconde \( -\frac{1}{x^2} \) est toujours négative)
Application : Inégalité de convexité
Pour la fonction convexe \( \exp \), on a pour tous réels \( a, b \) et tout \( t \in [0, 1] \) :
Pour la fonction concave \( \ln \), l'inégalité est inversée :
5.3 Résolution graphique d'équations
Exemple : Résolution de \( e^x = x + 2 \)
On trace les courbes de \( y = e^x \) et \( y = x + 2 \).
On observe qu'elles se coupent en deux points : un point d'abscisse négative et un point d'abscisse positive.
Par dichotomie ou méthode de Newton, on trouve approximativement \( x \approx -1,84 \) et \( x \approx 1,15 \).
6. Dérivation et intégration
6.1 Dérivées des fonctions composées
| Fonction | Dérivée | Conditions |
|---|---|---|
| \( e^{u(x)} \) | \( u'(x) \cdot e^{u(x)} \) | \( u \) dérivable |
| \( \ln(u(x)) \) | \( \frac{u'(x)}{u(x)} \) | \( u \) dérivable et \( u(x) > 0 \) |
| \( \ln(|u(x)|) \) | \( \frac{u'(x)}{u(x)} \) | \( u \) dérivable et \( u(x) \neq 0 \) |
| \( a^{u(x)} \) | \( u'(x) \cdot \ln(a) \cdot a^{u(x)} \) | \( u \) dérivable, \( a > 0 \) |
6.2 Primitives usuelles
| Fonction | Primitive | Conditions |
|---|---|---|
| \( e^x \) | \( e^x + C \) | \( C \in \mathbb{R} \) |
| \( e^{ax+b} \) | \( \frac{1}{a} e^{ax+b} + C \) | \( a \neq 0 \) |
| \( \frac{1}{x} \) | \( \ln|x| + C \) | \( x \neq 0 \) |
| \( \frac{u'(x)}{u(x)} \) | \( \ln|u(x)| + C \) | \( u(x) \neq 0 \) |
6.3 Dérivation logarithmique
Méthode de dérivation logarithmique
Pour dériver une fonction de la forme \( f(x) = u(x)^{v(x)} \), on utilise la dérivation logarithmique :
Étape 1 : Prendre le logarithme : \( \ln(f(x)) = v(x) \cdot \ln(u(x)) \)
Étape 2 : Dériver : \( \frac{f'(x)}{f(x)} = v'(x) \ln(u(x)) + v(x) \frac{u'(x)}{u(x)} \)
Étape 3 : Isoler \( f'(x) \) : \( f'(x) = f(x) \left[ v'(x) \ln(u(x)) + v(x) \frac{u'(x)}{u(x)} \right] \)
Exemple : Dériver \( f(x) = x^x \) pour \( x > 0 \)
\( \ln(f(x)) = x \ln(x) \)
\( \frac{f'(x)}{f(x)} = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1 \)
\( f'(x) = x^x (\ln(x) + 1) \)
7. Limites et comparaison de croissances
7.1 Croissances comparées
En \( +\infty \), la fonction exponentielle croît plus vite que toute puissance :
En \( +\infty \), le logarithme croît plus lentement que toute puissance positive :
7.2 Limites fondamentales
| Limite | Valeur | Commentaire |
|---|---|---|
| \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \) | \( 1 \) | Dérivée de l'exponentielle en 0 |
| \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \) | \( 1 \) | Dérivée du logarithme en 1 |
| \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} \) | \( 0 \) | Croissance comparée |
| \( \lim_{x \to 0^+} x \ln(x) \) | \( 0 \) | Croissance comparée en 0 |
| \( \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \) | \( e \) | Définition historique de e |
7.3 Formes indéterminées courantes
Attention aux pièges :
- \( \infty - \infty \) : \( \lim_{x \to +\infty} (e^x - x) = +\infty \) (l'exponentielle l'emporte)
- \( 0 \times \infty \) : \( \lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0 \)
- \( 1^\infty \) : \( \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \)
Exemple : Calcul de \( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^2}{e^x + \ln(x)} \)
On factorise par \( e^x \) au numérateur et au dénominateur :
Or \( \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = 0 \) et \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{e^x} = 0 \), donc la limite vaut 1.
8. Équations et inéquations
8.1 Équations exponentielles
Méthode de résolution
Pour résoudre \( a^{f(x)} = b^{g(x)} \) avec \( a, b > 0 \) :
Étape 1 : Prendre le logarithme des deux membres : \( f(x) \ln(a) = g(x) \ln(b) \)
Étape 2 : Résoudre l'équation linéaire obtenue
Exemple : Résoudre \( 2^{x+1} = 3^{x-1} \)
\( (x+1) \ln(2) = (x-1) \ln(3) \)
\( x \ln(2) + \ln(2) = x \ln(3) - \ln(3) \)
\( x (\ln(2) - \ln(3)) = -\ln(3) - \ln(2) \)
\( x = \frac{-\ln(6)}{\ln(2) - \ln(3)} = \frac{\ln(6)}{\ln(3) - \ln(2)} \)
8.2 Inéquations logarithmiques
Attention : Le sens des inégalités change selon la base du logarithme !
- Si \( a > 1 \) : \( \ln_a(u) \leq \ln_a(v) \iff u \leq v \) (même sens)
- Si \( 0 < a < 1 \) : \( \ln_a(u) \leq \ln_a(v) \iff u \geq v \) (sens inverse)
Exemple : Résoudre \( \ln(2x-1) \geq \ln(x+3) \)
Conditions d'existence : \( 2x-1 > 0 \) et \( x+3 > 0 \) donc \( x > \frac{1}{2} \)
Comme la fonction ln est croissante : \( 2x-1 \geq x+3 \)
\( x \geq 4 \)
Solution : \( [4, +\infty[ \)
9. Applications concrètes
9.1 Croissance exponentielle
Modèle de Malthus
Si une population croît avec un taux constant \( r \), son effectif \( P(t) \) vérifie :
où \( P_0 \) est la population initiale.
9.2 Décroissance radioactive
Loi de désintégration
La quantité \( N(t) \) d'un élément radioactif vérifie :
où \( \lambda \) est la constante de désintégration et \( N_0 \) la quantité initiale.
La demi-vie \( T \) (temps au bout duquel la moitié de la substance s'est désintégrée) vérifie :
9.3 Intérêts composés
Capitalisation continue
Un capital \( C_0 \) placé à un taux annuel \( r \) pendant \( t \) années donne :
Le temps de doublement du capital est \( t = \frac{\ln(2)}{r} \).
10. Exercices avancés avec corrigés détaillés
Exercice 1 — Étude complète de fonction
Soit \( f(x) = x e^{-x} \). Étudier les variations de \( f \), ses limites aux bornes, et tracer sa courbe représentative.
Corrigé :
1. Domaine de définition : \( \mathbb{R} \)
2. Dérivée : \( f'(x) = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x}(1 - x) \)
3. Signe de la dérivée : \( f'(x) > 0 \) pour \( x < 1 \), \( f'(x) < 0 \) pour \( x > 1 \)
4. Variations : \( f \) croissante sur \( ]-\infty, 1] \), décroissante sur \( [1, +\infty[ \)
5. Maximum : \( f(1) = e^{-1} \approx 0,368 \)
6. Limites :
- \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \) (car \( e^{-x} \to +\infty \) plus vite que \( x \to -\infty \))
- \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0^+ \) (croissance comparée)
Exercice 2 — Résolution d'équation avec paramètre
Discuter selon les valeurs du paramètre \( m \) le nombre de solutions de l'équation : \( e^x - e^{-x} = m \).
Corrigé :
1. \( g(x) = e^x - e^{-x} \) est impaire et strictement croissante sur \( \mathbb{R} \)
2. \( g'(x) = e^x + e^{-x} > 0 \) pour tout \( x \)
3. Limites : \( \lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty \), \( \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty \)
4. Conclusion :
- Pour tout \( m \in \mathbb{R} \), l'équation admet une unique solution
- Si \( m = 0 \), la solution est \( x = 0 \)
Exercice 3 — Inégalité à démontrer
Démontrer que pour tout \( x > -1 \), on a \( \frac{x}{1+x} \leq \ln(1+x) \leq x \).
Corrigé :
1. Pour \( \ln(1+x) \leq x \) :
Soit \( h(x) = x - \ln(1+x) \), \( h'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x} \)
\( h'(x) \geq 0 \) pour \( x \geq 0 \), \( h'(x) \leq 0 \) pour \( -1 < x \leq 0 \)
\( h \) admet un minimum en \( x = 0 \) avec \( h(0) = 0 \), donc \( h(x) \geq 0 \)
2. Pour \( \frac{x}{1+x} \leq \ln(1+x) \) :
Soit \( k(x) = \ln(1+x) - \frac{x}{1+x} \), \( k'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^2} = \frac{x}{(1+x)^2} \)
Même étude que précédemment, \( k(x) \geq 0 \)
🔍 Un contre-exemple à une erreur naïve : Si \( u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 1 \) alors on ne peut pas dire que \( (u_n)^n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 1 \). En effet pour \( u_n = 1 + \frac{1}{n} \), on a \( (u_n)^n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e^{n \ln(1 + \frac{1}{n})} \), donc \( (u_n)^n \) tend vers \( e \).