Arithmétique dans ℤ

0. Objectifs & méthode Bac

Compétences attendues

Maîtriser divisibilité & congruences (règles, calculs, « divisions » autorisées).
Calculer PGCD (Euclide) et produire les coefficients de Bézout.
Utiliser Gauss pour « remonter » une divisibilité.
Factoriser un entier et appliquer le théorème fondamental.
Employer τ, σ, φ et résoudre CRT & ax+by=c.

Méthode de rédaction

Nommer l’outil (Euclide, Bézout, Gauss, Fermat/Euler, CRT…).
Justifier toute « division » d’une congruence par la coprimalité.
Conclure (unicité modulo, forme générale des solutions, etc.).

1. Divisibilité, congruences, PGCD/PPCM

Divisibilité

\(a\mid b \iff \exists k\in\mathbb{Z},\, b=ak\). Si \(a\mid b\) et \(a\mid c\) alors \(a\mid ub+vc\) pour tout \(u,v\in\mathbb{Z}\).

Conséquence : tout PGCD divise toute combinaison linéaire.

Congruence modulo \(n\)

\(a\equiv b\,[n]\iff n\mid(a-b)\). Stabilité par \(+,-,\times\) et puissances. Si \(\gcd(c,n)=1\) et \(ac\equiv bc\,[n]\) alors \(a\equiv b\,[n]\).

Attention : on ne « divise » une congruence que par un élément inversible modulo \(n\).

PGCD & PPCM

\(a\land b=\gcd(a,b)\ge 0\), \(a\lor b=\mathrm{lcm}(a,b)>0\) (si \(ab\neq0\)). Relation : \(|ab|=(a\land b)(a\lor b)\).

Exemples rapides

\(17=5\cdot3+2\Rightarrow 17\equiv2\,[5]\).
\(10^k\equiv1\,[9]\Rightarrow 9\mid(10^k-1)\).

2. Algorithme d’Euclide & Bézout

Identité d’Euclide

Si \(a=bq+r\) (\(0\le r<|b|\)) alors \(\gcd(a,b)=\gcd(b,r)\). L’itération termine \(\Rightarrow\) PGCD bien défini.

Relation de Bézout

\(\exists (u,v)\in\mathbb{Z}^2: au+bv=\gcd(a,b)\). En particulier, \(\gcd(a,b)=1 \iff \exists u,v: au+bv=1\).

Exemple (coefficients)

272=2·119+34; 119=3·34+17; 34=2·17 → 17=119−3(272−2·119)=7·119−3·272.

Donc \((u,v)=(7,-3)\) et \(7·119-3·272=17\).

Inverse modulaire : \(a\) inversible mod \(n\) \(\iff\) \(\gcd(a,n)=1\). Utiliser Euclide étendu pour trouver \(a^{-1}\,[n]\).

Piège : ne « simplifie » jamais \(ax\equiv b\,[n]\) par \(a\) sans vérifier \(\gcd(a,n)=1\).

3. Lemme de Gauss & applications

Énoncé

Si \(c\mid ab\) et \(\gcd(c,a)=1\) alors \(c\mid b\). (Permet « d’annuler » un facteur non commun.)

Application

Si \(ac\mid bc\) et \(\gcd(a,c)=1\) alors \(a\mid b\). Idée : Bézout sur \(a,c\) puis combinaison linéaire.

4. Nombres premiers & décomposition unique

Théorème fondamental

Tout \(n\ge2\) s’écrit de façon unique (à l’ordre près) \(n=\prod p_i^{\alpha_i}\) (premiers \(p_i\), exposants \(\alpha_i\ge1\)).

Test \(\sqrt{n}\) : si \(n\) est composé, il admet un diviseur \(\le \sqrt{n}\).

5. Fonctions arithmétiques (\(\tau,\sigma,\varphi\))

Définitions

Pour \(n=\prod p_i^{\alpha_i}\) : \(\tau(n)\)=nbre de diviseurs; \(\sigma(n)\)=somme des diviseurs; \(\varphi(n)\)=nbre d’entiers \(\le n\) premiers à \(n\).

Formules utiles

\(\tau(n)=\prod(\alpha_i+1),\quad \sigma(n)=\prod\frac{p_i^{\alpha_i+1}-1}{p_i-1}\)

\(\varphi(n)=n\displaystyle\prod_{p\mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right)\)

Exemple

\(n=2^3\cdot 3^2=72\Rightarrow \tau=12,\ \sigma=195,\ \varphi=24\).

6. Fermat – Euler – Wilson

Fermat

\(p\) premier : \(a^p\equiv a\,[p]\). Si \(\gcd(a,p)=1\), \(a^{p-1}\equiv1\,[p]\).

Euler

Si \(\gcd(a,n)=1\), alors \(a^{\varphi(n)}\equiv1\,[n]\).

Wilson

\(p\) premier \(\iff (p-1)!\equiv -1\,[p]\).

Application rapide

Montrer \(7\mid 2^{21}-1\). Or \(2^6\equiv1\,[7]\Rightarrow 2^{21}\equiv2^3\equiv8\equiv1\,[7]\).

7. Théorème chinois des restes (CRT) & inverses

Énoncé (cas copremiers)

Si les modules \(n_i\) sont deux à deux premiers, le système \(x\equiv a_i\,[n_i]\) admet une solution unique modulo \(N=\prod n_i\).

Routine CRT : poser \(N\), \(N_i=N/n_i\), calculer \(e_i\equiv N_i^{-1}\,[n_i]\), puis \(x\equiv \sum a_i N_i e_i\,[N]\).

Exemple

\(x\equiv2\,[3],\ x\equiv3\,[5]\Rightarrow N=15\). On obtient \(x\equiv8\,[15]\).

8. Équations diophantiennes linéaires

Critère d’existence & forme des solutions

\(ax+by=c\) a des solutions entières \(\iff d=\gcd(a,b)\mid c\). Si oui : \(x=x_0+\frac{b}{d}t,\ y=y_0-\frac{a}{d}t\).

Exemple

\(26x+39y=13\Rightarrow d=13\mid13\). Une solution \((-1,1)\). Solutions : \(x=-1+3t,\ y=1-2t\).

9. Exercices type Bac (corrigés)

Exo 1 — Simplification de congruences (3 pts)

Résoudre \(14x\equiv 21\,[35]\).

\(d=\gcd(14,35)=7\mid21\Rightarrow 2x\equiv3\,[5]\). Or \(2^{-1}\equiv3\,[5]\Rightarrow x\equiv4\,[5]\).\br> Solutions modulo 35 : \(x\equiv4+5k\).

Exo 2 — Produit et PGCD (4 pts)

Montrer : si \(\gcd(c,d)=1\) alors \(\gcd(ac,bd)=\gcd(a,b)\).

Double divisibilité + Bézout sur \(c,d\) \(\Rightarrow\) on élimine \(c\) puis \(d\); égalité des valeurs positives.

Exo 3 — CRT à trois modules (4 pts)

\(x\equiv 1\,[2],\ x\equiv 2\,[3],\ x\equiv 3\,[5]\). Donner la solution modulo 30.

Modules copremiers, \(N=30\). Routine CRT \(\Rightarrow x\equiv23\,[30]\).

Exo 4 — Inverse modulaire (2 pts)

Trouver \(7^{-1}\,[26]\).

Euclide étendu : \(26=3·7+5,\ 7=1·5+2,\ 5=2·2+1\) \(\Rightarrow 1=3·26-11·7\Rightarrow 7^{-1}\equiv15\,[26]\).

10. Annexes : algorithmes, checklists & erreurs

Pseudo-code Euclide

function gcd(a,b):
  a:=|a|; b:=|b|
  while b≠0 do (a,b):=(b, a mod b)
  return a

Euclide étendu (Bézout)

function egcd(a,b):
  if b=0 then return (a,1,0)
  (d,u1,v1):=egcd(b, a mod b)
  return (d, v1, u1 - ⌊a/b⌋·v1)

Erreurs fréquentes

« Diviser » une congruence par un élément non inversible.
Oublier la condition \(d=\gcd(a,b)\mid c\) pour \(ax+by=c\).
Confondre « premier » et « premier entre eux ».

Checklist rapide

Quel outil ? Euclide, Bézout, Gauss, Fermat/Euler, CRT…
Conditions ? coprimalité, existence d’inverse, etc.
Conclusion claire (solution modulo, unicité, forme générale).

Contenu :

Ex.1 — Fonction par morceaux : domaine & continuité en \(2\).
Ex.2 — \( \sin(\pi/x)\sin(\pi/(1-x)) \) : continuité en \(0\) et \(1\).
Ex.3 — \( f(x)=\tfrac{x}{2}\lfloor 3/x\rfloor \) : continuité en \(0\).
Ex.4 — \( f_n(x)=x^n-(1-x)^2 \) : croissance & racine unique.
Ex.5 — \( x+\sqrt{x}-4 \) : bijection sur \(\mathbb{R}_+\) et \(f^{-1}\).
Ex.6 — Équations avec racines : domaines & résolution.
Ex.7 — Cinq limites typiques.
Ex.8 — \( 2-\sqrt[3]{x^2-1} \) : étude complète sur \([1,+\infty[\).

1 Fonction par morceaux — domaine & continuité en \(2\)

Soit \[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{3x^2-4x-4}{x^2-x-2}, & x>2\\[6pt] \dfrac{\sqrt{x^2+5}-3}{\sqrt{x+2}-2}, & x<2\\[6pt] \dfrac{8}{3}, & x=2 \end{cases} \]

Déterminer \(D_f\).
Montrer que \(f\) est continue en \(2\).
Étudier la continuité sur \(D_f\).

Objectif. Traiter chaque morceau (restrictions radicande/dénominateur), puis comparer les limites à gauche et à droite en \(2\).

Domaine \(D_f\)

Pour \(x>2\): \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\neq0\Rightarrow x\neq2,-1\). Sur \(x>2\), seul \(x=2\) est au bord.

Pour \(x<2\): \(\sqrt{x+2}\) impose \(x\ge-2\) et \(\sqrt{x+2}-2\neq0\Rightarrow x\neq2\).

DomaineEn tenant compte de \(f(2)=\tfrac83\), on a \(D_f=[-2,+\infty[\).

Limite \(x\to2^+\)

\[ \frac{3x^2-4x-4}{x^2-x-2} =\frac{(x-2)(3x+2)}{(x-2)(x+1)}\xrightarrow[x\to2^+]{}\frac{8}{3}. \]

Indétermination \(\tfrac00\) levée par factorisation/simplification.

Limite \(x\to2^-\)

Utiliser le conjugué pour supprimer la racine au numérateur :

\[ \frac{\sqrt{x^2+5}-3}{\sqrt{x+2}-2} \cdot \frac{\sqrt{x^2+5}+3}{\sqrt{x^2+5}+3} = \frac{x^2-4}{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x^2+5}+3)}. \]\[ \frac{x^2-4}{\sqrt{x+2}-2} =(x+2)(\sqrt{x+2}+2)\Rightarrow \lim_{x\to2^-}f(x)=\frac{(2+2)(2+2)}{3+3}=\frac{8}{3}. \]

Conclusion

Continuité en 2\(\lim_{x\to2^-}f=\lim_{x\to2^+}f=\tfrac83=f(2)\). \(f\) est continue en \(2\) et, par morceaux continus, sur tout \(D_f\).

2 Continuité de \( \sin(\pi/x)\sin(\pi/(1-x)) \) en \(0\) et \(1\)

On prolonge \(f\) par \(f(0)=f(1)=0\).

Montrer la continuité en \(0\) et en \(1\).
Étudier la continuité sur \(\mathbb{R}\).

Idée. Encadrer \(|f(x)|\) par une fonction qui tend vers \(0\) au point étudié (théorème des gendarmes).

Au voisinage de \(1\)

\(|f(x)|\le |\sin(\pi/x)|\) et \(\pi/x\to \pi\Rightarrow \sin(\pi/x)\to 0\). Donc \(\lim_{x\to1}f(x)=0=f(1)\).

Au voisinage de \(0\)

\(|f(x)|\le |\sin(\pi/(1-x))|\) et \(\pi/(1-x)\to \pi\Rightarrow \sin(\pi/(1-x))\to 0\). Donc \(\lim_{x\to0}f(x)=0=f(0)\).

Conclusion

Partout continueSur \(\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\), produit de fonctions continues \(\Rightarrow\) \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

3 \( f(x)=\dfrac{x}{2}\lfloor 3/x\rfloor \) — Continuité en \(0\)

On pose \(f(0)=\frac{3}{2}\). Montrer que \(f\) est continue en \(0\).

Outil. Encadrer \(\lfloor 3/x\rfloor\) par deux entiers consécutifs, puis multiplier par \(\tfrac{x}{2}\) (attention au signe).

Pour \(x>0\)

\[ \frac{3}{x}-1<\Big\lfloor\frac{3}{x}\Big\rfloor\le \frac{3}{x} \ \Rightarrow\ \frac{3}{2}-\frac{x}{2} < f(x)\le \frac{3}{2}. \]

Pour \(x<0\)

La multiplication par \(\tfrac{x}{2}<0\) inverse le sens des inégalités :

\[ \frac{3}{2}\le f(x) < \frac{3}{2}-\frac{x}{2}. \]

Conclusion

GendarmesDans les deux cas \(f(x)\to\tfrac{3}{2}=f(0)\). \(f\) est continue en \(0\).

4 \( f_n(x)=x^n-(1-x)^2 \) — Croissance & racine unique

Montrer que \(f_n\) est strictement croissante sur \([0,1]\).
En déduire l’existence et l’unicité de \(\alpha_n\in]0,1[\) telle que \(f_n(\alpha_n)=0\).

Dérivée et signe

\[ f_n'(x)=n x^{n-1}+2(1-x). \]

Sur \([0,1]\), les deux termes sont \(\ge0\) et non tous nuls simultanément sur \(]0,1[\) \(\Rightarrow\) \(f_n'>0\) \(\Rightarrow\) \(f_n\) *strictement croissante*.

IVT + Monotonicité

\(f_n(0)=-1<0\), \(f_n(1)=1>0\). Par continuité, il existe \(\alpha_n\in]0,1[\) tel que \(f_n(\alpha_n)=0\). La stricte croissance assure *l’unicité* de \(\alpha_n\).

5 \( f(x)=x+\sqrt{x}-4 \) — Bijection sur \(\mathbb{R}_+\) et \(f^{-1}\)

Montrer que \(f\) est bijective de \(\mathbb{R}_+\) vers son image \(J\).
Déterminer \(f^{-1}\) sur \(J\).

Monotonicité et image

\(f\) est continue sur \([0,+\infty[\) et \(f'(x)=1+\frac{1}{2\sqrt{x}}>0\) pour \(x>0\) \(\Rightarrow\) *croissante* \(\Rightarrow\) *bijective* de \(\mathbb{R}_+\) vers \(J=f(\mathbb{R}_+)=[f(0),+\infty[=[-4,+\infty[\).

Expression de l’inverse

\[ y=x+\sqrt{x}-4,\ \ t=\sqrt{x}\ (\ge0)\Rightarrow y=t^2+t-4. \]\[ t=\frac{-1+\sqrt{4y+17}}{2}\ (\text{branche } \ge0),\quad x=t^2=\left(\frac{\sqrt{4y+17}-1}{2}\right)^2. \]

Inverse\(f^{-1}(y)=\left(\dfrac{\sqrt{4y+17}-1}{2}\right)^2\) pour \(y\in[-4,+\infty[\).

6 Équations avec racines — domaines & résolution

(E\(_1\)) \(\sqrt[25]{x+2}-4\sqrt[5]{x+2}+3=0\). (E\(_2\)) \(\sqrt[3]{1-2x}=\sqrt{x+1}\).

(E\(_1\)) Substitution \(X=\sqrt[5]{x+2}\)

Domaine : \(x\ge-2\). L’équation devient \(X^2-4X+3=0\Rightarrow X\in\{1,3\}\).

Solutions\(x=-1\) et \(x=241\) (toutes deux dans \([ -2, +\infty [\)).

(E\(_2\)) Domaine & puissance

Domaine commun : \(x\ge-1\) et \(\sqrt[3]{1-2x}\ge0\Rightarrow x\le \tfrac12\). Donc \(x\in[-1,\tfrac12]\).

\[ \sqrt[3]{1-2x}=\sqrt{x+1}\iff (1-2x)^2=(x+1)^3. \]\[ \Rightarrow\ 1-4x+4x^2=x^3+3x^2+3x+1 \Rightarrow x(x^2-x+7)=0. \]

Solution réelle\(x=0\) (les autres racines sont complexes). Vérif : \(1=1\).

Rappel : déterminer le domaine avant d’élever à une puissance évite les solutions parasites.

7 Cinq limites typiques

\(\displaystyle \lim_{x\to9}\frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-9}\)
\(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[6]{x+1}}{\sqrt[3]{x^2+3}}\)
\(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x^2}-1}{x-1}\)
\(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+x}-8x\right)\)
\(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[5]{x}+1}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[5]{x}+1}\)

1) Factorisation cubique

\[ x-9=(\sqrt[3]{x}-2)\big((\sqrt[3]{x})^2+2\sqrt[3]{x}+4\big) \Rightarrow \frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-9}= \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2+2\sqrt[3]{x}+4}\to \frac{1}{12}. \]

2) Comparaison des puissances

\(\sqrt[6]{x+1}\sim x^{1/6}\), \(\sqrt[3]{x^2+3}\sim x^{2/3}\Rightarrow\) rapport \(\sim x^{-1/2}\to0\).

3) Astuce \(a^3-b^3\)

\[ \sqrt[3]{x^2}-1=\frac{x^2-1}{\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{x^2}+1} \Rightarrow \frac{\sqrt[3]{x^2}-1}{x-1}\to \frac{2}{3}. \]

4) Développement limité de \(\sqrt[3]{1+t}\)

\(\sqrt[3]{x^3+x}=x\sqrt[3]{1+\tfrac1{x^2}}=x(1+\tfrac{1}{3x^2}+o(\tfrac1{x^2}))\Rightarrow \sim x+\tfrac{1}{3x}\). Donc \(\sqrt[3]{x^3+x}-8x\sim -7x\to -\infty\).

5) Domination par \(x^{1/3}\)

\[ \frac{x^{1/12}+x^{1/15}+x^{-1/3}}{1+x^{-2/15}+x^{-1/3}}\to 0. \]

8 Étude de \( f(x)=2-\sqrt[3]{x^2-1} \) sur \(I=[1,+\infty[\)

Déterminer \(D_f\) et \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)\).
Sur \(I\) : a) monotonie de \(g=f_{\mid I}\). b) image \(J\) & bijectivité. c) \(g^{-1}\).
Équation \(g(x)=x\) : unicité de \(\alpha\in(1,2)\) et encadrement d’amplitude \(0{,}5\) (dichotomie).

Domaine & limite

\(x^2-1\ge0\Rightarrow |x|\ge1\) donc \(D_f=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty[\). \(\sqrt[3]{x^2-1}\to+\infty\Rightarrow f(x)\to -\infty\) quand \(x\to+\infty\).

Monotonie et image

\[ g'(x)=-\frac{1}{3}(x^2-1)^{-2/3}\cdot 2x<0\ \text{ sur }(1,+\infty). \]

Donc \(g\) est *strictement décroissante*. Valeurs extrêmes : \(g(1)=2\), \(\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty\) \(\Rightarrow\) image \(J=(-\infty,2]\) et bijectivité \(I\to J\).

Inverse

\[ y=2-\sqrt[3]{x^2-1}\Rightarrow \sqrt[3]{x^2-1}=2-y\ (\ge0) \Rightarrow x^2-1=(2-y)^3 \Rightarrow x=\sqrt{\,1+(2-y)^3\,}. \]

Inverse\(g^{-1}(y)=\sqrt{1+(2-y)^3}\) pour \(y\le2\) (branche \(x\ge1\)).

Équation \(g(x)=x\)

\(h(x)=g(x)-x\) est décroissante. \(h(1)=1>0\), \(h(2)=1-2=-1<0\) \(\Rightarrow\) *unicité* \(\alpha\in(1,2)\) (TVI).

Dichotomie : \(m=\tfrac{1+2}{2}=1{,}5\). \(g(1{,}5)=2-\sqrt[3]{1{,}25}\approx 0{,}923\), donc \(h(1{,}5)=0{,}923-1{,}5<0\). Conclusion : \(\alpha\in(1,1{,}5)\) (amplitude \(0{,}5\)).

Méthode examen : annoncer le domaine, la technique (conjugué, équivalents, TVI…), expliciter chaque passage clé, et finir par une phrase *claire* de conclusion.