Calcul de probabilités

0. Objectifs & méthode Bac

Compétences attendues

  • Modéliser une expérience aléatoire finie : univers \(\Omega\), événements, probabilités.
  • Utiliser arbres pondérés / tableaux, calculer des proba conditionnelles, tester l’indépendance.
  • Reconnaître et exploiter les lois Bernoulli, Binomiale, Géométrique, Uniforme.
  • Calculer une espérance/variance ; appliquer la linéarité de l’espérance.

Méthode d’examen

  1. Schématiser (arbre ou tableau) avant de calculer.
  2. Écrire clairement la formule utilisée (conditionnelle, Bayes, binomiale…).
  3. Donner un résultat *numérique* et/ou *exact* (fraction), avec phrase de conclusion.

1. Univers discret, événements, axiomes

Univers & événements

Une expérience aléatoire a un ensemble de résultats possibles \( \Omega \) (fini ici). Un événement \(A\subseteq \Omega\) est un sous-ensemble de \(\Omega\).

Axiomes de Kolmogorov (cas fini)

  • \(\mathbb{P}(\Omega)=1\), \(\mathbb{P}(A)\ge 0\).
  • Si \(A\cap B=\varnothing\) : \(\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)\).
  • \(\mathbb{P}(\bar A)=1-\mathbb{P}(A)\).

Cas équiprobable

Si tous les issus sont équiprobables : \(\displaystyle \mathbb{P}(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\).

2. Rappels de combinatoire

Outils

  • Arrangements sans répétition : \(A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}\).
  • Combinaisons : \(\displaystyle C_n^k=\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\).
  • Avec répétition (au Bac, cas simples seulement).

Exemple

Combien de tirages de 3 cartes dans un paquet de 32 ? \(C_{32}^3\).

3. Arbres pondérés & tableaux à double entrée

Un arbre pondéré associe à chaque branche une probabilité. La proba d’un chemin est le *produit* des pondérations, et on *additionne* les chemins menant à un même événement.

Exemple (contrôle qualité)

Machine \(M_1\) (60 %) fabrique 2 % de défauts, \(M_2\) (40 %) en fabrique 5 %. Proba « pièce défectueuse » : \(0{,}6\times0{,}02+0{,}4\times0{,}05=0{,}032\).

4. Probabilité conditionnelle & indépendance

Conditionnelle

\(\displaystyle \mathbb{P}(A\mid B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}\) dès que \(\mathbb{P}(B)>0\).

Formules utiles

\(\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A\mid B)\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(B\mid A)\mathbb{P}(A)\)
\(\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)\)

Indépendance

\(A\) et \(B\) *indépendants* \(\iff \mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)\) (avec \(\mathbb{P}(A),\mathbb{P}(B)>0\)).

Indépendance \(\neq\) incompatibilité. Incompatibles \(\Rightarrow \mathbb{P}(A\cap B)=0\) (pas nécessairement \(=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)\)).

5. Probabilités totales & formule de Bayes

Formule des probabilités totales

Si \((B_i)_i\) est une partition de \(\Omega\) (\(B_i\) disjoints, \(\cup B_i=\Omega\), \(\mathbb{P}(B_i)>0\)) :

\(\displaystyle \mathbb{P}(A)=\sum_i \mathbb{P}(A\mid B_i)\,\mathbb{P}(B_i)\).

Formule de Bayes

\(\displaystyle \mathbb{P}(B_j\mid A)=\frac{\mathbb{P}(A\mid B_j)\,\mathbb{P}(B_j)}{\sum_i \mathbb{P}(A\mid B_i)\,\mathbb{P}(B_i)}\).

6. Épreuves de Bernoulli & loi de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès \(S\) (proba \(p\)) et échec \( \bar S \) (proba \(q=1-p\)).

Loi de Bernoulli \(\mathcal{B}(p)\)

Variable \(X\in\{0,1\}\) avec \(\mathbb{P}(X=1)=p\), \(\mathbb{P}(X=0)=1-p\). Espérance \( \mathbb{E}[X]=p \), variance \( \mathrm{Var}(X)=pq\).

7. Loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\)

Répétition indépendante de \(n\) épreuves de Bernoulli \(p\) : \(X=\) nombre de succès suit \(\mathcal{B}(n,p)\).

Formule

\(\displaystyle \mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^{\,k}(1-p)^{\,n-k}\quad (k=0,\dots,n)\).
\(\mathbb{E}[X]=np,\qquad \mathrm{Var}(X)=np(1-p)\).

Exemple

On tire 10 fois, succès \(p=0{,}3\). \(\mathbb{P}(X=4)=\binom{10}{4}0{,}3^4 0{,}7^6\).

8. Loi géométrique

On répète des épreuves de Bernoulli de paramètre \(p\), \(X=\) rang du *premier succès*. Alors \(\mathbb{P}(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\ k\ge1\).

\(\mathbb{E}[X]=\dfrac{1}{p},\qquad \mathrm{Var}(X)=\dfrac{1-p}{p^2}\).
Mémoire sans vieillissement : \(\mathbb{P}(X>m+k\mid X>m)=(1-p)^k\).

9. Loi uniforme discrète

Sur \(\{a,a+1,\dots,b\}\) ( \(n=b-a+1\) valeurs ), \(\mathbb{P}(X=x)=\dfrac{1}{n}\). Espérance \( \dfrac{a+b}{2} \), variance \( \dfrac{n^2-1}{12} \).

10. Espérance, variance, linéarité

Définitions (discret)

\(\displaystyle \mathbb{E}[X]=\sum_x x\,\mathbb{P}(X=x),\quad \mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}[X]^2\).

Propriétés utiles

  • Linéarité : \(\mathbb{E}[aX+bY]=a\,\mathbb{E}[X]+b\,\mathbb{E}[Y]\) (sans condition d’indépendance).
  • Si \(X,Y\) indépendantes : \(\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]\) et \(\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)\).

11. Exercices types Bac (corrigés)

Exo 1 — Arbre & Bayes

Une population : 30 % de fumeurs. Test positif chez fumeur : 90 %, chez non-fumeur : 10 %. On choisit une personne au hasard et le test est positif. Quelle est la proba qu’elle soit fumeuse ?

\(\mathbb{P}(F)=0{,}3\), \(\mathbb{P}(\bar F)=0{,}7\). \(\mathbb{P}(T^+\mid F)=0{,}9\), \(\mathbb{P}(T^+\mid \bar F)=0{,}1\).

\(\mathbb{P}(T^+)=0{,}9\times0{,}3+0{,}1\times0{,}7=0{,}34\).

Bayes : \(\displaystyle \mathbb{P}(F\mid T^+)=\frac{0{,}9\times0{,}3}{0{,}34}\approx 0{,}794\).

Exo 2 — Binomiale (au moins / au plus)

Un tir réussit avec \(p=0{,}4\). On tire \(n=5\) fois. Calculer \(\mathbb{P}(X\ge 2)\) pour \(X\sim \mathcal{B}(5,0{,}4)\).

\(\mathbb{P}(X\ge2)=1-\mathbb{P}(X=0)-\mathbb{P}(X=1)=1-(0{,}6)^5-5\cdot0{,}4\cdot(0{,}6)^4\approx 0{,}663\).

Exo 3 — Géométrique

On répète un tir \(p=0{,}2\) jusqu’au premier succès. Trouver \(\mathbb{P}(X\le 3)\) et \(\mathbb{E}[X]\).

\(\mathbb{P}(X\le3)=1-\mathbb{P}(X\ge4)=1-(1-p)^3=1-0{,}8^3=0{,}488\).

\(\mathbb{E}[X]=1/p=5\).

Exo 4 — Uniforme discrète

On choisit uniformément un entier de 1 à 9. Calculer \( \mathbb{E}[X] \) et \( \mathrm{Var}(X) \).

\(n=9\), \(\mathbb{E}[X]=(1+9)/2=5\). \(\mathrm{Var}(X)=(n^2-1)/12=(81-1)/12=80/12=20/3\).

Exo 5 — Mélange : conditionnelle + binomiale

Une pièce est truquée avec probabilité \(0{,}1\) : si truquée, \(\mathbb{P}(\text{Pile})=0{,}7\), sinon \(\mathbb{P}(\text{Pile})=0{,}5\). On la lance \(n=3\) fois, on observe exactement 3 piles. Quelle est la proba qu’elle soit truquée ?

\(\mathbb{P}(T)=0{,}1\), \(\mathbb{P}(\bar T)=0{,}9\).

\(\mathbb{P}(3P\mid T)=0{,}7^3\), \(\mathbb{P}(3P\mid \bar T)=0{,}5^3\).

Bayes : \(\displaystyle \mathbb{P}(T\mid 3P)=\frac{0{,}7^3\cdot0{,}1}{0{,}7^3\cdot0{,}1+0{,}5^3\cdot0{,}9}\approx 0{,}352\).

12. Mémo & erreurs fréquentes

Mémo rapide

  • \(\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A\mid B)\mathbb{P}(B)\).
  • \(\mathbb{P}(A)=\sum_i \mathbb{P}(A\mid B_i)\mathbb{P}(B_i)\).
  • Bayes : \(\displaystyle \mathbb{P}(B_j\mid A)=\frac{\mathbb{P}(A\mid B_j)\mathbb{P}(B_j)}{\sum_i \mathbb{P}(A\mid B_i)\mathbb{P}(B_i)}\).
  • Binomiale : \( \mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k} \), \( \mathbb{E}=np \), \( \mathrm{Var}=np(1-p) \).
  • Géométrique : \( \mathbb{P}(X=k)=(1-p)^{k-1}p \), \( \mathbb{E}=1/p \).

Pièges classiques

  • Confondre indépendance et incompatibilité.
  • Oublier d’additionner plusieurs chemins dans un arbre.
  • Dans la binomiale, lire « au moins / au plus » et penser au complément.
  • Arrondir trop tôt : garder 3–4 chiffres puis conclure.