Équations différentielles

0. Objectifs & méthode

  • Identifier le *type* de l’EDO (séparable, linéaire ordre 1, linéaire ordre 2 à cstes).
  • Appliquer la *méthode adaptée* (intégration, facteur intégrant, équation caractéristique).
  • Résoudre un *problème de Cauchy* (condition(s) initiale(s)).

Rédaction Bac

  1. Annonce du type + méthode.
  2. Calculs propres (intégrales/particulière/constantes) + *domaine* de validité.
  3. Conclusion : solution générale puis solution du Cauchy.

1. Définitions, vocabulaire & Cauchy

Notations

On note \(y'= \dfrac{dy}{dx}\), \(y''= \dfrac{d^2y}{dx^2}\). Une EDO d’ordre \(n\) relie \(x, y, y',\dots,y^{(n)}\).

Problème de Cauchy

Trouver \(y\) satisfaisant l’EDO et des conditions initiales, ex. \(y(x_0)=y_0\) (ordre 1), \(y(x_0)=y_0, y'(x_0)=y_1\) (ordre 2).

Toujours préciser l’*intervalle* où la solution est définie (éviter les zéros du dénominateur, etc.).

2. Équations différentielles séparables

Forme : \(y' = f(x)\,g(y)\). On sépare : \(\displaystyle \frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx\) puis on intègre.

Procédure

  1. Isoler \(y\) et \(x\) de part et d’autre.
  2. Intégrer les deux côtés.
  3. Résoudre pour \(y\) et appliquer la condition initiale.

Exemple

\(y' = 2xy\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{dy}{y}=2x\,dx\) \(\Rightarrow\) \(\ln|y|=x^2+C\) \(\Rightarrow\) \(y(x)=Ce^{x^2}\) (avec \(C\in\mathbb{R}\)).

3. Linéaires d’ordre 1 — facteur intégrant

Forme standard : \(y'+a(x)\,y=b(x)\). Le *facteur intégrant* \( \mu(x)=e^{\int a(x)\,dx} \) transforme en dérivée d’un produit.

Formule générale

\( \big(\mu y\big)'=\mu b \ \Rightarrow\ \mu(x)y(x)=\displaystyle\int \mu(x)\,b(x)\,dx + C \ \Rightarrow\ y(x)=\frac{1}{\mu(x)}\!\left(\int \mu b\,dx+C\right). \)

Exemple

\(y'+2y=e^x\). Ici \(a=2\Rightarrow \mu=e^{2x}\). Alors \((e^{2x}y)'=e^{3x}\) donc \(e^{2x}y=\dfrac{e^{3x}}{3}+C\), d’où \(y(x)=\dfrac{1}{3}e^{x}+Ce^{-2x}\).

4. Variation de la constante (ordre 1)

On écrit la solution comme \(y(x)=C(x)\,y_h(x)\) où \(y_h\) est une solution de l’homogène \(y'+a(x)y=0\) (\(y_h=Ke^{-\int a}\)). On détermine \(C'(x)\) via l’EDO.

Exemple rapide

Pour \(y'+2y=e^x\), \(y_h=Ke^{-2x}\). Poser \(y=C(x)e^{-2x}\) puis injecter donne \(C'(x)=e^{3x}\Rightarrow C=\dfrac{e^{3x}}{3}+C_0\). Retrouve la solution de la section 3.

5. Linéaires d’ordre 2 à coefficients constants

Forme : \(y''+ay'+by=0\) (homogène). On cherche \(y=e^{rx}\) \(\Rightarrow\) *équation caractéristique* \(r^2+ar+b=0\).

Trois cas

  • \(\Delta=a^2-4b>0\) : \(r_1\neq r_2\). \(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\).
  • \(\Delta=0\) : racine double \(r\). \(y=(C_1+C_2x)e^{rx}\).
  • \(\Delta<0\) : \(r=\alpha\pm i\beta\). \(y=e^{\alpha x}\big(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\big)\).

Exemple homogène

\(y''-3y'+2y=0\) \(\Rightarrow\) \(r^2-3r+2=0\ \Rightarrow\ r=1,2\). \(y=C_1e^{x}+C_2e^{2x}\).

6. Second membre (polynôme / expo / sin-cos)

Pour \(y''+ay'+by=\color{#b91c1c}{q(x)}\), on cherche \(y=y_h+y_p\). Choix de \(y_p\) selon \(q\) :

Second membre \(q(x)=P_n(x)\) (polynôme)

Chercher \(y_p\) polynôme de même degré. *Si résonance* (polynôme solution de l’homogène), multiplier par \(x\).

\(q(x)=Ke^{\lambda x}\)

Essai \(y_p=Ae^{\lambda x}\). Si \(e^{\lambda x}\) est solution de l’homogène, essayer \(y_p=Ax\,e^{\lambda x}\) (ou \(A x^2 e^{\lambda x}\) si racine double).

\(q(x)=A\cos \omega x+B\sin \omega x\)

Essai \(y_p=\alpha\cos\omega x+\beta\sin\omega x\). En cas de résonance, multiplier par \(x\).

Exemple (expo)

\(y''-3y'+2y=e^{x}\). On a \(y_h=C_1e^{x}+C_2e^{2x}\). Résonance car \(e^x\) est déjà dans \(y_h\) → essayer \(y_p=Ax\,e^{x}\). On trouve \(A=\tfrac{1}{1}\) après substitution ⇒ \(y=C_1e^{x}+C_2e^{2x}+x e^{x}\).

7. Modèles & applications

Refroidissement de Newton (ordre 1)

\(T'(t)=-k\big(T(t)-T_{\mathrm{ext}}\big)\) ⇒ \(T(t)=T_{\mathrm{ext}}+\big(T_0-T_{\mathrm{ext}}\big)e^{-kt}\).

RC (charge d’un condensateur)

\(u'(t)+\dfrac{1}{RC}u(t)=\dfrac{E}{RC}\) ⇒ \(u(t)=E+\big(u_0-E\big)e^{-t/(RC)}\).

Oscillateur harmonique (ordre 2)

\(y''+\omega^2 y=0\Rightarrow y=A\cos\omega t+B\sin\omega t\). Avec amortissement \(2\zeta\omega y'\) : trois régimes selon \(\zeta\).

8. Exercices types Bac (corrigés)

Exo 1 — Séparable + Cauchy

Résoudre \(y'=\dfrac{2x}{1+y}\) avec \(y(0)=0\).

\((1+y)dy=2x\,dx\Rightarrow y+\dfrac{y^2}{2}=x^2+C\). Cauchy \(y(0)=0\Rightarrow C=0\). Solution implicite \(y+\dfrac{y^2}{2}=x^2\) puis \(y(x)=-1+\sqrt{1+2x^2}\) (choix du signe via CI).

Exo 2 — Linéaire ordre 1

Résoudre \(y'-\dfrac{2}{x}y=x^2\) sur \(x>0\).

\(a(x)=-\tfrac{2}{x}\Rightarrow \mu=e^{\int -2/x\,dx}=x^{-2}\). \((x^{-2}y)'=x^{0}=1\Rightarrow x^{-2}y=x+C\Rightarrow y=x^3+Cx^{2}\).

Exo 3 — Ordre 2 homogène

Résoudre \(y''+y=0\) avec \(y(0)=1\), \(y'(0)=0\).

\(r^2+1=0\Rightarrow y=A\cos x+B\sin x\). CI : \(A=1\), \(B=0\). Donc \(y(x)=\cos x\).

Exo 4 — Ordre 2 avec second membre

Résoudre \(y''-3y'+2y=e^{2x}\).

Homogène : \(r=1,2\Rightarrow y_h=C_1e^{x}+C_2e^{2x}\). Résonance (\(e^{2x}\) présent) ⇒ essai \(y_p=Ax\,e^{2x}\). Substitution ⇒ \(A=\tfrac{1}{1}\). Donc \(y=C_1e^{x}+C_2e^{2x}+x e^{2x}\).

Exo 5 — Méthode complète (Cauchy)

Résoudre \(y'+y=\sin x\) avec \(y(0)=0\).

\(\mu=e^{\int 1\,dx}=e^{x}\Rightarrow (e^{x}y)'=e^{x}\sin x\). Intégrer : \(e^{x}y=\dfrac{1}{2}e^{x}(\sin x-\cos x)+C\).

\(y=\dfrac{1}{2}(\sin x-\cos x)+Ce^{-x}\). CI \(y(0)=0\Rightarrow 0=\tfrac{1}{2}(0-1)+C\Rightarrow C=\tfrac{1}{2}\). Donc \(y=\dfrac{1}{2}(\sin x-\cos x+e^{-x})\).

9. Mémo & pièges classiques

Mémo rapide

  • Ordre 1 séparables : \(\displaystyle \frac{dy}{g(y)}=\!f(x)\,dx\) → intégrer.
  • Ordre 1 linéaire : \(y'+ay=b\), \(\mu=e^{\int a}\), \(y=\mu^{-1}\!\left(\int \mu b\,dx+C\right)\).
  • Ordre 2 cstes homogène : racines de \(r^2+ar+b=0\).
  • Second membre : essayer une forme *du même type* que \(q(x)\), ajuster/résoudre la résonance.

Erreurs à éviter

  • Oublier le *+C* après une primitive.
  • Appliquer un facteur intégrant avec un signe faux.
  • Ne pas traiter la *résonance* (multiplier par \(x\) si nécessaire).
  • Oublier de *spécifier l’intervalle* (ex. \(x>0\) quand \(\ln x\) apparaît).